Глава 2

Линейные уравнения

[47/85%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 2.1.1

Пусть

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}.

Найдите решения системы линейных уравнений $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ .

Задача 2.1.2

Пусть $\alpha , b_{1}, b_{2} \in \mathbb {R}$ . Решите систему линейных уравнений

\begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix}.

Задача 2.1.3

(i)(ii)

(i)

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ и

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 3 \\ \epsilon \end{pmatrix}.

Найдите условие на $\epsilon$ , при котором существует решение $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ .

(ii)

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \epsilon \\ \epsilon ^{2} \end{pmatrix}

с $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Найдите условие на $\epsilon$ , при котором существует решение.

Задача 2.1.4

Найдите все решения системы линейных уравнений

\begin{pmatrix} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ -\sin (\theta ) & -\cos (\theta ) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}, \qquad \theta \in \mathbb {R}

с $\overrightarrow {x} \neq \overrightarrow {0}$ . Какого типа это уравнение?

Задача 2.1.5

Найдите все решения системы линейных уравнений

\begin{pmatrix} 5 & -2 & -4 \\ -2 & 2 & 2 \\ -4 & 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}.

Задача 2.1.6

Пусть $A \in \mathbb {R}^{n \times n}$ и $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {b} \in \mathbb {R}^{n}$ . Рассмотрим линейное уравнение $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ . Покажите, что его можно записать в виде $\overrightarrow {x} = T\overrightarrow {x}$ , т.е. найдите $T\overrightarrow {x}$ .

Задача 2.1.7

Если система линейных уравнений $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ не имеет решения, мы называем уравнения несовместными. Если решение существует, уравнения называются совместными. Пусть $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ — система из $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными, и пусть ранг $A$ равен $m$ . Покажите, что в этом случае система $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ совместна.

Задача 2.1.8

Найдите все решения линейной системы из трёх уравнений с четырьмя неизвестными

x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}+x_{4} = 3, \qquad 2 x_{1}-3 x_{2}+x_{3}+5 x_{4} = -4, \qquad 7 x_{1}-10 x_{3}+13 x_{4} = 0.

Задача 2.1.9

(i)(ii)

(i)

Решите линейное уравнение

\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{pmatrix}.

(ii)

Найдите $x, y \in \mathbb {R}$ такие, что

\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2/3 & x \\ y & 2 \end{pmatrix}.

Задача 2.1.10

Покажите, что задача интерполяции (подгонки кривой)

\begin{array}{c|ccccc} j & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline t_{j} & -1.0 & -0.5 & 0.0 & 0.5 & 1.0 \\ y_{j} & 1.0 & 0.5 & 0.0 & 0.5 & 2.0 \end{array}

с помощью квадратичного многочлена вида $p(t) = a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}$ приводит к переопределённой линейной системе.

Задача 2.1.11

Рассмотрим переопределённую линейную систему $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ . Найдите $\hat{\overrightarrow {x}}$ такое, что

\left\| A\hat{\overrightarrow {x}}-\overrightarrow {b}\right\| _{2} = \min _{\overrightarrow {x}} \left\| A\overrightarrow {x}-\overrightarrow {b}\right\| _{2} \equiv \min _{\overrightarrow {x}} \left\| \overrightarrow {r}(\overrightarrow {x})\right\| _{2}

с вектором невязки $\overrightarrow {r}(\overrightarrow {x}) := \overrightarrow {b}-A\overrightarrow {x}$ , где $\left\| \cdot \right\|_{2}$ обозначает евклидову норму.

Задача 2.1.12

Рассмотрим переопределённую линейную систему $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ с

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 5 \\ 1 & 6 \\ 1 & 7 \\ 1 & 8 \\ 1 & 9 \\ 1 & 10 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {x} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 444 \\ 458 \\ 478 \\ 493 \\ 506 \\ 516 \\ 523 \\ 531 \\ 543 \\ 571 \end{pmatrix}.

Решите эту линейную систему в смысле наименьших квадратов (см. предыдущую задачу) методом нормальных уравнений.

Задача 2.1.13

Недоопределённая линейная система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. Рассмотрим недоопределённую линейную систему $H\overrightarrow {x} = \overrightarrow {y}$ , где $H$ — матрица размера $n \times m$ с $m>n$ , и

\overrightarrow {x} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {y} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}.

Предположим, что $H\overrightarrow {x} = \overrightarrow {y}$ имеет бесконечно много решений. Пусть $Q$ — матрица размера $n \times m$

Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}.

Определим $\hat{\overrightarrow {x}} := Q\overrightarrow {x}$ . Найдите

\min _{\overrightarrow {x}} \left\| Q\overrightarrow {x}-\overrightarrow {y}\right\| _{2}^{2}

при ограничении $\left\| H\overrightarrow {x}-\overrightarrow {y}\right\|_{2}^{2} = 0$ . Предположим, что $(\lambda H^{T} H+Q^{T} Q)^{-1}$ существует для всех $\lambda >0$ . Примените метод множителей Лагранжа.

Задача 2.1.14

Покажите, что решение системы нелинейных уравнений с неизвестными $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$

\begin{aligned} (x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+x_{3}^{2} & = a^{2}(x_{4}-b_{1})^{2} \\ (x_{1}-2)^{2}+x_{2}^{2}+(x_{3}-2)^{2} & = a^{2}(x_{4}-b_{2})^{2} \\ (x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+(x_{3}-1)^{2} & = a^{2}(x_{4}-b_{3})^{2} \\ (x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+x_{3}^{2} & = a^{2}(x_{4}-b_{4})^{2} \end{aligned}

приводит к линейной недоопределённой системе. Решите эту систему относительно $x_{1}$ , $x_{2}$ и $x_{3}$ .

Задача 2.1.15

(i)(ii)

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ над $\mathbb {R}$ . Определим

N_{A} := \left\{ \overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n} : A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0} \right\} .

$N_{A}$ называется ядром матрицы $A$ , а $\nu (A) := \dim (N_{A})$ называется дефектом матрицы $A$ . Если $N_{A}$ содержит только нулевой вектор, то $\nu (A) = 0$ .

(i)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}.

Найдите $N_{A}$ и $\nu (A)$ .

(ii)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -6 & 3 & -9 \end{pmatrix}.

Найдите $N_{A}$ и $\nu (A)$ .

Задача 2.1.16

(i)(ii)

(i)

Пусть $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb {Z}$ . Найдите все решения системы линейных уравнений

7 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3} = 8, \qquad 17 x_{1}+10 x_{2}-15 x_{3} = -42.

(ii)

Найдите все положительные решения.

Задача 2.1.17

Рассмотрим неоднородное линейное интегральное уравнение

\int _{0}^{1} (\alpha _{1}(x) \beta _{1}(y)+\alpha _{2}(x) \beta _{2}(y)) \varphi (y) \, dy+f(x) = \varphi (x) \tag {1}

относительно неизвестной функции $\varphi$ , где $f(x) = x$ и

\alpha _{1}(x) = x, \qquad \alpha _{2}(x) = \sqrt{x}, \qquad \beta _{1}(y) = y, \qquad \beta _{2}(y) = \sqrt{y}.

Таким образом, $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ непрерывны на $[0,1]$ , и аналогично для $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ . Определим

B_{1} := \int _{0}^{1} \beta _{1}(y) \varphi (y) \, dy, \qquad B_{2} := \int _{0}^{1} \beta _{2}(y) \varphi (y) \, dy

a_{\mu \nu } := \int _{0}^{1} \beta _{\mu }(y) \alpha _{\nu }(y) \, dy, \qquad b_{\mu } := \int _{0}^{1} \beta _{\mu }(y) f(y) \, dy

где $\mu , \nu = 1, 2$ . Покажите, что интегральное уравнение можно свести к системе линейных уравнений для $B_{1}$ и $B_{2}$ . Решите эту систему линейных уравнений и тем самым найдите решение интегрального уравнения.

Задача 2.1.18

Рассмотрим сохраняющее площадь отображение двумерного тора (по модулю 1)

\begin{pmatrix} x_{1}' \\ x_{2}' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 4 & 15 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}

где $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$ (сохранение площади). Рассмотрим рациональную точку на торе

\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_{1}/p \\ n_{2}/p \end{pmatrix}

где $p$ — простое число (кроме 2, 3, 5), а $n_{1}$ , $n_{2}$ — целые числа от 0 до $p-1$ . Оказывается, орбита обладает следующим свойством. Она периодична, и её период $T$ зависит только от $p$ . Рассмотрим $p = 7$ , $n_{1} = 2$ , $n_{2} = 3$ . Найдите орбиту и период $T$ .

Задача 2.1.19

(i)(ii)

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ над $\mathbb {R}$ , а $\overrightarrow {c}$ — $n$ -вектор из $\mathbb {R}^{n}$ .

(i)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Выясните, имеет ли решение система (1) или система (2).

(ii)

Пусть

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Выясните, имеет ли решение система (1) или система (2).

Примечание.

Теорема Гордана утверждает следующее. Тогда ровно одна из следующих систем имеет решение: Система 1: $A\overrightarrow {x}<\overrightarrow {0}$ для некоторого $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}$ . Система 2: $A^{T} \overrightarrow {p} = \overrightarrow {0}$ и $\overrightarrow {p} \geq \overrightarrow {0}$ для некоторого $\overrightarrow {p} \in \mathbb {R}^{m}$ .

Задача 2.1.20

Пусть

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Выясните, имеет ли решение система (1) или система (2).

Примечание.

Теорема Фаркаша утверждает следующее. Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ над $\mathbb {R}$ , а $\overrightarrow {c}$ — $n$ -вектор из $\mathbb {R}^{n}$ . Тогда ровно одна из следующих систем имеет решение: Система 1: $A\overrightarrow {x} \leq \overrightarrow {0}$ и $\overrightarrow {c}^{T} \overrightarrow {x}>0$ для некоторого $\overrightarrow {x} \in \mathbb {R}^{n}$ . Система 2: $A^{T} \overrightarrow {y} = \overrightarrow {c}$ и $\overrightarrow {y} \geq \overrightarrow {0}$ для некоторого $\overrightarrow {y} \in \mathbb {R}^{m}$ .

Задача 2.1.21

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ . Рассмотрим линейное уравнение $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}$ . Если матрица $A$ имеет ранг $r$ , то существует $n-r$ линейно независимых решений уравнения $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}$ . Пусть $n = 3$ и

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите ранг $A$ и линейно независимые решения.

Задача 2.1.22

(i)(ii)

Рассмотрим кривую, описываемую уравнением

2 x^{2}+4 x y-y^{2}+4 x-2 y+5 = 0 \tag {1}

относительно естественного базиса (стандартный базис $\overrightarrow {e}_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}^{T}$ , $\overrightarrow {e}_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}^{T}$ ).

(i)

Запишите уравнение в матричной форме.

(ii)

Найдите ортогональную замену базиса такую, чтобы уравнение относительно нового базиса не содержало перекрёстных членов, т.е. члена $x'y'$ . Эта смена системы координат не меняет начало координат.

Задача 2.1.23

Рассмотрим матрицу $2 \times 2$

\begin{pmatrix} b & -a \\ a & b \end{pmatrix}

с $a, b \in \mathbb {R}$ и положительным определителем, т.е. $a^{2}+b^{2}>0$ . Решите уравнение

\begin{pmatrix} b & -a \\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & a \\ -a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{pmatrix}

относительно вектора $\begin{pmatrix} x_{1} & y_{1} \end{pmatrix}^{T}$ при заданном векторе $\begin{pmatrix} x_{0} & y_{0} \end{pmatrix}^{T}$ .

Задача 2.1.24

(i)(ii)

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\mathbb {R}$ . Пусть $W$ — подпространство пространства $V$ . Определим отношение эквивалентности $\sim$ на $V$ , полагая $v_{1} \sim v_{2}$ , если $v_{1}-v_{2} \in W$ . Факторпространство $V/W$ — это множество классов эквивалентности $[v]$ , где $v_{1}-v_{2} \in W$ . Таким образом, можно сказать, что $v_{1}$ эквивалентно $v_{2}$ по модулю $W$ , если $v_{1} = v_{2}+w$ для некоторого $w \in W$ . Пусть

V = \mathbb {R}^{2} = \left\{ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} : x_{1}, x_{2} \in \mathbb {R} \right\}

и подпространство

W = \left\{ \begin{pmatrix} x_{1} \\ 0 \end{pmatrix} : x_{1} \in \mathbb {R} \right\} .

(i)

Верно ли, что

\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \; ?

(ii)

Найдите факторпространство $V/W$ .

Задача 2.1.25

(i)(ii)

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\mathbb {R}$ и $U \subset V$ — подпространство. Определим отношение эквивалентности $\sim$ на $V$ соотношением $x \sim y$ тогда и только тогда, когда $x-y \in U$ . Пусть $V/U = V/\sim$ . Определим сложение и умножение на скаляр на $V/U$ формулами $[x]+[y] = [x]+[y]$ , $c[x] = [cx]$ , где $c \in \mathbb {R}$ и

[x] = \left\{ y \in V : y \sim x \right\} .

(i)

Покажите, что эти операции не зависят от выбора представителя $x$ .

(ii)

Пусть $V = \mathbb {C}^{2}$ и подпространство $U = \left\{ (x_{1}, x_{2}) : x_{1} = 2 x_{2} \right\}$ . Найдите $V/U$ .

Задача 2.1.26

Пусть $b>a$ . Рассмотрим систему линейных уравнений

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{0}^{2} & x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \ldots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{0}^{n} & x_{1}^{n} & x_{2}^{n} & \ldots & x_{n}^{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b-a \\ (b^{2}-a^{2})/2 \\ (b^{3}-a^{3})/3 \\ \vdots \\ (b^{n+1}-a^{n+1})/(n+1) \end{pmatrix}.

Пусть $n = 2$ , $a = 0$ , $b = 1$ , $x_{0} = 0$ , $x_{1} = 1/2$ , $x_{2} = 1$ . Найдите $w_{0}, w_{1}, w_{2}$ .

Задача 2.1.27

Пусть $Y, X, A, B, C, E$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Рассмотрим систему матричных уравнений $Y+C E+D X = 0_{n}$ , $A E+B X = 0_{n}$ . Предположим, что $A$ обратима. Исключите матрицу $E$ и решите систему относительно $Y$ .

Задача 2.1.28

(i)(ii)

В задаче трёх тел важную роль играет следующее линейное преобразование

\begin{aligned} X(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = \frac{1}{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}) \\ x(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = \frac{1}{\sqrt{2}}(x_{1}-x_{2}) \\ y(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = \frac{1}{\sqrt{6}}(x_{1}+x_{2}-2 x_{3}). \end{aligned}

(i)

Найдите обратное преобразование.

(ii)

Введите полярные координаты $x(r,\phi ) = r\sin (\phi )$ , $y(r,\phi ) = r\cos (\phi )$ и

r^{2} = \frac{1}{3} \left( (x_{1}-x_{2})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}+(x_{3}-x_{1})^{2} \right).

Выразите $(x_{1}-x_{2})$ , $(x_{2}-x_{3})$ , $(x_{3}-x_{1})$ через эти три координаты.

Задача 2.1.29

Пусть $\alpha \in [0, 2\pi )$ . Найдите все решения линейного уравнения

\begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & \sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Таким образом, $x_{1}$ и $x_{2}$ зависят от $\alpha$ .

Задача 2.1.30

Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных (уравнение Лапласа)

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 \quad \text{на} \quad [0,1] \times [0,1]

с граничными условиями

u(x,0) = 1, \qquad u(x,1) = 2, \qquad u(0,y) = 1, \qquad u(1,y) = 2.

Примените схему центральных разностей

\left( \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} \right)_{j,k} \approx \frac{u_{j-1,k}-2 u_{j,k}+u_{j+1,k}}{(\Delta x)^{2}}, \qquad \left( \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} \right)_{j,k} \approx \frac{u_{j,k-1}-2 u_{j,k}+u_{j,k+1}}{(\Delta y)^{2}}

и затем решите полученное линейное уравнение. Рассмотрите случаи $\Delta x = \Delta y = 1/3$ и $\Delta x = \Delta y = 1/4$ .

Задача 2.1.31

(i)(ii)

(i)

Уравнение прямой в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{2}$ , проходящей через точки $(x_{1}, y_{1})$ и $(x_{2}, y_{2})$ , задаётся формулой

(y-y_{1})(x_{2}-x_{1}) = (y_{2}-y_{1})(x-x_{1}).

Примените это уравнение к точкам в $\mathbb {R}^{2}$ , заданным как $(x_{1}, y_{1}) = (1, 1/2)$ , $(x_{2}, y_{2}) = (1/2, 1)$ . Рассмотрите единичный квадрат с угловыми точками $(0,0)$ , $(0,1)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ и отображение

(0,0) \to 0, \quad (0,1) \to 0, \quad (1,0) \to 0, \quad (1,1) \to 1.

Мы можем рассматривать это как логический элемент И (AND) с двумя входами. Покажите, что построенная выше прямая классифицирует это отображение.

(ii)

Уравнение плоскости в $\mathbb {R}^{3}$ , проходящей через точки $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , $(x_{3}, y_{3}, z_{3})$ в $\mathbb {R}^{3}$ , задаётся формулой

\operatorname {det}\left( \begin{pmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{pmatrix} \right) = 0.

Примените это уравнение к точкам $(1, 1, 1/2)$ , $(1, 1/2, 1)$ , $(1/2, 1, 1)$ . Рассмотрите единичный куб в $\mathbb {R}^{3}$ с угловыми точками (вершинами)

(0,0,0), \quad (0,0,1), \quad (0,1,0), \quad (0,1,1), \quad (1,0,0), \quad (1,0,1), \quad (1,1,0), \quad (1,1,1)

и отображение, при котором все угловые точки переходят в 0, кроме $(1,1,1)$ , которая переходит в 1. Мы можем рассматривать это как логический элемент И (AND) с тремя входами. Покажите, что плоскость, построенная в (i), разделяет эти решения.

Задача 2.1.32

Найдите систему линейных уравнений для $a$ и $b$ , заданную формулой

\frac{x+15}{(x+3)(x-1)} = \frac{a}{x+3}+\frac{b}{x-1}.

Решите систему линейных уравнений.

Задача 2.1.33

Пусть $k = 1, 2, 3, 4$ и $x_{0} = 1$ , $x_{5} = 0$ . Решите уравнение $x_{k-1}-2 x_{k}+x_{k+1} = 0$ .

Задача 2.1.34

Рассмотрим многочлен $p(x) = a+bx+cx^{2}$ . Найдите $a, b, c$ из условий $p(0)=0$ , $p(1)=1$ , $p(2)=0$ .

Задача 2.1.35

(i)(ii)

Пусть $A \in \mathbb {C}^{n \times m}$ , где $n \geq m$ и $\operatorname {rk}\left(A\right) = m$ .

(i)

Покажите, что матрица $A^{*} A$ размера $m \times m$ обратима.

(ii)

Положим $\Pi := A(A^{*} A)^{-1} A$ . Покажите, что $\Pi$ является матрицей проектирования, т.е. $\Pi^{2} = \Pi$ и $\Pi = \Pi^{*}$ .

Задача 2.1.36

Пусть $a, b, c \in \mathbb {R}$ и $abc \neq 0$ . Найдите решение системы линейных уравнений

\begin{pmatrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) \\ \cos (\beta ) \\ \cos (\gamma ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}.

Задача 2.1.37

Пусть $A$ — обратимая матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Рассмотрим систему линейных уравнений $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ или

\sum _{j=1}^{n} a_{ij} x_{j} = b_{i}, \qquad i = 1, \ldots , n.

Пусть $A = C-R$ . Это называется расщеплением матрицы $A$ , а $R$ — дефектной матрицей расщепления. Рассмотрим итерацию

C \overrightarrow {x}^{(k+1)} = R \overrightarrow {x}^{(k)}+\overrightarrow {b}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots .

Пусть

A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow {x}^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

Итерация сходится, если $\rho (C^{-1} R)<1$ , где $\rho (C^{-1} R)$ обозначает спектральный радиус матрицы $C^{-1} R$ . Покажите, что $\rho (C^{-1} R)<1$ . Выполните итерацию.

Задача 2.1.38

(i)(ii)

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {R}$ и пусть $\overrightarrow {b} \in \mathbb {R}^{n}$ . Рассмотрим линейное уравнение $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ . Предположим, что $a_{jj} \neq 0$ при $j = 1, \ldots , n$ . Определим диагональную матрицу $D = \operatorname {diag}(a_{jj})$ . Тогда линейное уравнение $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ можно записать в виде

\overrightarrow {x} = B\overrightarrow {x}+\overrightarrow {c}

с $B := -D^{-1}(A-D)$ , $\overrightarrow {c} := D^{-1} \overrightarrow {b}$ . Метод Якоби для решения линейного уравнения $A\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ задаётся формулой

\overrightarrow {x}^{(k+1)} = B \overrightarrow {x}^{(k)}+\overrightarrow {c}, \qquad k = 0, 1, \ldots

где $\overrightarrow {x}^{(0)}$ — произвольный начальный вектор в $\mathbb {R}^{n}$ . Последовательность сходится, если

\rho (B) := \max _{j=1,\ldots ,n} \left|\lambda _{j}(B)\right| < 1

где $\rho (B)$ — спектральный радиус матрицы $B$ . Пусть

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

(i)

Покажите, что метод Якоби можно применить к этой матрице.

(ii)

Найдите решение линейного уравнения при $\overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{T}$ .

Задача 2.1.39

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма всех токов, втекающих в узел, равна 0. Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма всех напряжений в замкнутом контуре равна 0. Используйте законы Кирхгофа и закон Ома ( $V = RI$ ), чтобы составить систему линейных уравнений для цепи, изображённой на рисунке.

Цепь к задаче 2.1.39

Даны напряжения $V_{A}$ , $V_{B}$ и сопротивления $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ . Найдите $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ .

Задача 2.1.40

Напишите программу на C++, реализующую метод Гаусса для решения линейных уравнений. Примените её к системе

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 8 & 4 & 2 \\ 27 & 9 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 14 \end{pmatrix}.

2.2 · Дополнительные задачи[7/0%]

Задача 2.2.1

Пусть $\overrightarrow {n}$ и $\overrightarrow {p}$ — векторы в $\mathbb {R}^{n}$ с $\overrightarrow {n} \neq \overrightarrow {0}$ . Множество всех векторов $\overrightarrow {x}$ в $\mathbb {R}^{n}$ , удовлетворяющих уравнению $\overrightarrow {n} \cdot (\overrightarrow {x}-\overrightarrow {p}) = 0$ , называется гиперплоскостью, проходящей через точку $\overrightarrow {p} \in \mathbb {R}$ . Мы называем $\overrightarrow {n}$ нормальным вектором гиперплоскости, а $\overrightarrow {n} \cdot (\overrightarrow {x}-\overrightarrow {p}) = 0$ — нормальным уравнением гиперплоскости. Найдите $\overrightarrow {n}$ и $\overrightarrow {p}$ в $\mathbb {R}^{4}$ такие, что мы получим гиперплоскость, заданную формулой

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = \frac{7}{2}.

Любая гиперплоскость евклидова пространства $\mathbb {R}^{n}$ имеет ровно два единичных нормальных вектора.

Задача 2.2.2

Гиперплоскости $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 1$ , $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 2$ в $\mathbb {R}^{4}$ не пересекаются. Найдите кратчайшее расстояние.

Задача 2.2.3

(i)(ii)

(i)

Найдите решения уравнения

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

(ii)

Найдите решения уравнения

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Задача 2.2.4

Пусть $A$ — заданная матрица $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ с $\operatorname {det}\left(A\right) \neq 0$ . Является ли преобразование

x_{1}'(x_{1}, x_{2}) = \frac{a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13}}{a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+a_{33}}, \qquad x_{2}'(x_{1}, x_{2}) = \frac{a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+a_{23}}{a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+a_{33}}

обратимым? Если да, найдите обратное преобразование.

Задача 2.2.5

(i)(ii)(iii)

(i)

Рассмотрим линейное уравнение, записанное в матричной форме

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.

Определитель матрицы $3 \times 3$ отличен от нуля ( $+1$ ), а обратная матрица равна

\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Примените два разных метода (метод Гаусса и метод Леверье) для нахождения решения. Сравните эти два метода и обсудите результат.

(ii)

Примените метод Гаусса--Зейделя для решения линейной системы

\begin{pmatrix} 4 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

и покажите, что решение имеет вид

x_{1} = \frac{7}{24}, \qquad x_{2} = \frac{1}{12}, \qquad x_{3} = \frac{1}{12}, \qquad x_{4} = \frac{1}{24}.

(iii)

Покажите, что решение системы линейных уравнений

x_{1}+x_{2}+x_{3} = 0, \qquad x_{1}+2 x_{2}+x_{3} = 1, \qquad 2 x_{1}+x_{2}+x_{3} = 2

имеет вид $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 1$ , $x_{3} = -3$ .

Задача 2.2.6

(i)(ii)

(i)

Дана матрица $2 \times 2$ $A$ . Найти все матрицы $2 \times 2$ $X$ , такие что $AX = XA$ . Из $AX = XA$ получаем

\begin{pmatrix} a_{11} x_{11}+a_{12} x_{21} & a_{11} x_{12}+a_{12} x_{22} \\ a_{21} x_{11}+a_{22} x_{21} & a_{21} x_{12}+a_{22} x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} x_{11}+a_{21} x_{12} & a_{12} x_{11}+a_{22} x_{12} \\ a_{11} x_{21}+a_{21} x_{22} & a_{12} x_{21}+a_{22} x_{22} \end{pmatrix}.

Таким образом, получаем четыре уравнения

a_{12} x_{21} = a_{21} x_{12}, \qquad a_{11} x_{12}+a_{12} x_{12} = a_{12} x_{11}+a_{22} x_{12}

a_{21} x_{12} = a_{12} x_{21}, \qquad a_{21} x_{11}+a_{22} x_{21} = a_{11} x_{21}+a_{21} x_{22}.

(ii)

Показать, что решение уравнения

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

задаётся как $x_{11} = x_{22}$ , $x_{12} = x_{21}$ .

Задача 2.2.7

Пусть $\alpha , b_{1}, b_{2} \in \mathbb {R}$ . Решить систему линейных уравнений

\begin{pmatrix} \cosh (\alpha ) & \sinh (\alpha ) \\ \sinh (\alpha ) & \cosh (\alpha ) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix}.