Дополнительные задачи

Покажите, что произведение Адамара линейно. Покажите, что произведение Адамара ассоциативно.

Пусть $A$, $B$ — положительно полуопределённые матрицы размера $n \times n$. Покажите, что $A \bullet B$ также положительно полуопределена.

Пусть $A$ — положительно полуопределённая матрица размера $n \times n$. Пусть $B$ — матрица размера $n \times n$ с $\left\| B\right\| \leq 1$, где $\left\| \cdot \right\|$ обозначает спектральную норму. Покажите, что

где $\left\| \cdot \right\|$ обозначает спектральную норму и $j = 1, \ldots , n$.

Пусть $A$, $B$ — матрицы размера $m \times n$, а $D$ и $E$ — диагональные матрицы размера $m \times m$ и $n \times n$ соответственно. Покажите, что

Пусть $A$ — диагонализируемая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ и диагонализацией $A = TDT^{-1}$, где $D$ — диагональная матрица такая, что $D_{jj} = \lambda_{j}$ для всех $j = 1, \ldots , n$. Покажите, что

Покажите, что $\operatorname {tr}(A(B \bullet C)) \equiv (\operatorname {vec}(A^{T} \bullet B))^{T}\operatorname {vec}(C)$. Левая часть даёт

Рассмотрим матрицы размера $n \times n$ с элементами $\pm 1$. Если $A$, $B$ — такие матрицы, то $A \bullet B$ снова является такой матрицей. Образуют ли эти матрицы группу относительно произведения Адамара? Нейтральным элементом была бы матрица $J$, все элементы которой равны $1$.

Рассмотрим матрицы размера $n \times n$ с элементами $0$ и $1$. Пусть $\oplus$ — операция XOR, и определим $A \bullet B = (a_{ij} \oplus b_{ij})$. Тогда $A \bullet B$ снова является матрицей с элементами $0$ и $1$. Образуют ли эти матрицы группу?