Задачи главы

Пусть

Вычислите $A \bullet B$, $A \bullet A^{-1}$, $A \bullet J$, $J \bullet B$.

Пусть $n \in \mathbb {N}$ и

Таким образом $\operatorname {det}\left(A\right) = \operatorname {det}\left(A^{-1}\right) = 1$. Найдите $\operatorname {det}\left(A \bullet A^{-1}\right)$.

Пусть $A$, $B$ — матрицы размера $m \times n$. Покажите, что $\operatorname {rk}\left(A \bullet B\right) \leq \left(\operatorname {rk}\left(A\right)\right)\left(\operatorname {rk}\left(B\right)\right)$.

Пусть

— симметричные матрицы над $\mathbb {R}$. Предположим, что $A$ и $B$ положительно определены. Покажите, что $A \bullet B$ положительно определена, используя след и определитель.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Спектральный радиус $\rho (A)$ — это радиус наименьшего круга на комплексной плоскости, содержащего все её собственные значения. Каждый характеристический многочлен имеет хотя бы один корень. Пусть $A$, $B$ — неотрицательные матрицы. Тогда $\rho (A \bullet B) \leq \rho (A)\rho (B)$. Примените это неравенство к неотрицательным матрицам

Существует матрица выбора $J$ размера $n^{2} \times n$ такая, что $A \bullet B = J^{T}(A \otimes B)J$, где $J^{T}$ определяется как матрица размера $n \times n^{2}$ $\begin{bmatrix} E_{11} & E_{22} & \ldots & E_{nn} \end{bmatrix}$, где $E_{ii}$ — матрица размера $n \times n$, состоящая из нулей, за исключением $1$ на $(i,i)$-й позиции (элементарные матрицы). Докажите это тождество для частного случая $n = 2$.

Если $A, B$ — положительно определённые матрицы размера $n \times n$ и $(a_{jj})$ — диагональные элементы $A$, то

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $A$ — диагональная матрица. Пусть

Сначала покажите, что $A$ и $B$ положительно определены, а затем вычислите левую и правую части $(1)$.

Рассмотрим симметричные матрицы $4 \times 4$

Вычислите произведение Адамара $A \bullet B$. Покажите, что $\left\| A \bullet B\right\| \leq \left\| A^{*}A\right\| \left\| B^{*}B\right\|$, где норма — это норма Гильберта-Шмидта.

Пусть $A$, $B$, $C$ и $D^{T}$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Покажите, что

Пусть $V$, $W$ — две матрицы одного порядка. Если все элементы $V$ ненулевые, то мы говорим, что $X$ обратима по Шуру, и определяем её обратную по Шуру, $V^{(-)}$, соотношением $V^{(-)} \bullet V = J$, где $J$ — матрица, все элементы которой равны $1$.

Векторное пространство $M_{n}(F)$ матриц размера $n \times n$ действует на себе тремя различными способами: если $C \in M_{n}(F)$, мы можем определить эндоморфизмы $X_{C}$, $\Delta_{C}$ и $Y_{C}$ формулами

Пусть $A$, $B$ — матрицы размера $n \times n$. Предположим, что $X_{A}$ обратима и $\Delta_{B}$ обратима в смысле Шура. Заметим, что $X_{A}$ обратима тогда и только тогда, когда обратима $A$, а $\Delta_{B}$ обратима тогда и только тогда, когда определена обратная по Шуру $B^{(-)}$. Мы говорим, что $(A, B)$ является односторонней парой Джонса, если

Мы называем это соотношением косы. Приведите пример односторонней пары Джонса.

Пусть $A$, $B$ — матрицы размера $n \times n$. Пусть $\overrightarrow {e}_{1}, \ldots , \overrightarrow {e}_{n}$ — стандартные базисные векторы в $\mathbb {C}^{n}$. Образуем $n^{2}$ векторов-столбцов $(A\overrightarrow {e}_{j}) \bullet (B\overrightarrow {e}_{k})$, $j, k = 1, \ldots , n$. Если $A$ обратима, а $B$ обратима по Шуру, то для любого $j$

является базисом векторного пространства $\mathbb {C}^{n}$. Пусть

Найдите эти базисы для данных матриц.

Пусть $B = (b_{jk})$ — диагонализируемая матрица размера $n \times n$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$. Таким образом, существует невырожденная матрица $A$ размера $n \times n$ такая, что

Покажите, что

Таким образом, вектор собственных значений $B$ преобразуется в вектор его диагональных элементов с помощью матрицы коэффициентов $A \bullet (A^{-1})^{T}$.

Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$. Пусть $\overrightarrow {s}^{T} = (1 \; \ldots \; 1)$ — вектор-строка в $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что

где $\Gamma = (\gamma_{ij})$ — диагональная матрица с $\gamma_{jj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}b_{ij}$ и $j = 1, \ldots , n$.

Даны две матрицы $A$ и $B$ одинакового размера. Если все элементы $A$ ненулевые, то говорят, что $A$ обратима по Шуру, и определяют её обратную по Шуру матрицу $A^{(-)}$ формулой $A_{ij}^{(-)} := 1/A_{ij}$. Эквивалентно, $A^{(-)} \bullet A = J$, где $J$ — матрица, все элементы которой равны единице. Матрица $W$ размера $n \times n$ называется матрицей типа II, если

где $I_{n}$ — единичная матрица размера $n \times n$. Найдите такую матрицу для $n = 2$.

Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — матрицы размера $2 \times 2$, а $\otimes$ — произведение Кронекера. Верно ли, что