Биномиальное распределение

У спортивного обозревателя газеты Dallas Morning News выдалась особенно неудачная неделя в предсказании победителей футбольных матчей НФЛ — он угадал 1 и ошибся 12 раз, при 1 ничьей. Впоследствии он написал: «Теоретически павиан из Далласского зоопарка может посмотреть на расписание из 14 матчей НФЛ, указать на одну команду в каждом матче и в итоге угадать не менее 7 победителей». На следующей неделе Канда Великий, горилла из Далласского зоопарка, сделал свои предсказания, выбирая листки бумаги, предложенные дрессировщиком. Канда угадал девять и ошибся четыре раза — лучше, чем все шесть спортивных обозревателей Morning News. Полагая отсутствие ничьих, какова вероятность того, что павиан, предсказывающий победителей 13 матчей, угадает не менее 9?

Единогласный вердикт присяжных исторически гарантировался в федеральных уголовных делах, но не в делах штатов. В деле Рамос против Луизианы (2019) Верховный суд США рассматривал оспаривание конституционности закона Луизианы, допускающего осуждение, если не менее 10 из 12 присяжных проголосуют «виновен». Профессор юридической школы Стэнфорда утверждал, что единогласный вердикт 6 присяжных заслуживает большего доверия, чем решение большинства из 12 или даже 20 присяжных.

Предположим, что каждый присяжный случайным образом выбирается из большого пула, из которого $90 \%$ потенциальных присяжных проголосовали бы «виновен», а $10 \%$ проголосовали бы «невиновен». Сравните вероятность того, что 6 случайно выбранных присяжных все проголосуют «виновен», с вероятностью того, что большинство из 20 присяжных проголосует «виновен».

Джеймс Фишкин, директор Центра совещательной демократии в Стэнфорде, утверждал: «На обсуждение остаётся так мало времени, что некоторые люди выбирают лидера, основываясь на том, нравится ли им причёска кандидата». Фишкин предложил, чтобы $200-300$ случайно выбранных граждан провели 1-2 дня, слушая, как эксперты обсуждают инициативу или кандидата, вынесенных на голосование, а затем проголосовали. Если $55 \%$ всех граждан проголосовали бы «за» инициативу после того, как выслушают экспертов, какова точная вероятность того, что более $50 \%$ из 250 случайно выбранных граждан проголосуют «за»?

Две бейсбольные команды сыграют друг с другом до пяти игр, при этом победителем становится команда, первой выигравшая три игры. В каждой игре у Команды A вероятность выигрыша .6, а у Команды B — .4.

В первый день в колледже декан по работе со студентами сказал: «Посмотрите на студента слева от вас и на студента справа; один из вас не закончит обучение». Полагая, что у каждого студента вероятность не закончить обучение равна $1/3$, какова вероятность того, что из трёх случайно выбранных студентов двое закончат обучение, а один нет?

Инвестиционный менеджер написал: «Если 1000 человек подбрасывают монеты, у некоторых просто по случайности выпадет орёл 10 раз подряд. Вы бы не стали называть их выдающимися подбрасывателями монет». Если 1000 человек каждый подбрасывают десять монет,

Внешне здоровая женщина проходит медицинский осмотр, включающий батарею тестов на 20 факторов риска (таких как холестерин), которые могут указывать на проблему со здоровьем. Для каждого теста результат помечается как аномальный, если показание необычно высокое или низкое — конкретно, если оно выходит за пределы диапазона, охватывающего $95 \%$ показаний здоровых женщин. Таким образом, если женщина здорова, вероятность того, что её показание по тесту выйдет за пределы нормального диапазона, составляет лишь $5 \%$. Полагая результаты тестов независимыми, какова вероятность того, что у здоровой женщины, прошедшей 20 таких тестов, будет два или более аномальных показания?

В 1980 году США предприняли дерзкую попытку освободить американских заложников, которых иранцы удерживали в американском посольстве в Тегеране. Американский план состоял в том, чтобы доставить солдат на восьми вертолётах, пролетев 800 миль через пустыню на малой высоте ночью. Военные командиры полагали, что как минимум шесть из восьми вертолётов должны были достичь Тегерана, чтобы у миссии был шанс на успех. Как оказалось, попытка спасения была отменена, когда три вертолёта вышли из строя. Полагая независимость, вычислите вероятность того, что как минимум шесть из восьми вертолётов достигли бы Тегерана, если у каждого вероятность успеха .75. Почему предположение о независимости может быть не оправдано?

Пипс спросил Ньютона, какое из следующих трёх событий наиболее вероятно при броске обычных шестигранных костей:

В судебном деле 1979 года военный поставщик утверждал, что правительство США протестировало слишком маленькую выборку, когда забраковало партию из 20 000 носовых взрывателей-адаптеров, компонента артиллерийских снарядов. Стандарты военных закупок предписывали, что партия от 10 001 до 35 000 адаптеров должна тестироваться выборкой из 315 штук, однако правительство забраковало эту партию из 20 000 штук после тестирования 20 адаптеров и обнаружения, что все они дефектны. Если 20 предметов случайным образом выбираются из бесконечной популяции, в которой $10 \%$ предметов дефектны, какова вероятность того, что все 20 предметов окажутся дефектными? Что 15 или более окажутся дефектными?

Статья о баскетболе в Los Angeles Times была озаглавлена «Райт бросает вызов процентам, и USC удерживает Орегон, 62-54». В статье объяснялось, что «стратегия Орегона в заключительные минуты была очевидна — фолить на Джерри Райте, штрафном бросающем с процентом попаданий $37.5 \%$. Но Райт, запасной центровой, не дрогнул под давлением. Он реализовал 3 из своих 6 штрафных бросков в последние 2 минуты». Если у игрока вероятность попадания броска составляет .375, и каждый бросок независим, какова вероятность попасть как минимум три из шести бросков?

У каждого студента, принятого в колледж ABC, вероятность записаться на обучение равна .6, и решение каждого студента независимо от решений других студентов. Сравните колледж, принимающий 1000 студентов, с колледжем, принимающим 2500 студентов. У какого колледжа выше вероятность того, что процент принятых студентов, которые запишутся на обучение, будет

Сообщалось, что честную монету подбрасывали в шестидесяти наборах по десять бросков (всего шестьсот бросков), и что в двух из этих наборов по десять бросков все десять бросков выпали орлом, а в ещё одном наборе все десять бросков выпали решкой. Какова вероятность того, что честно подбрасываемая монета выпадет либо всеми орлами, либо всеми решками в трёх или более из шестидесяти наборов по десять бросков?

Морской биолог утверждал, что при длинном интервале между отёлами самки китов с большей вероятностью рожают сыновей, чем дочерей. Данные, собранные Центром прибрежных исследований, показали, что у китих с интервалом $1-2$ года между отёлами родилось 22 сына и 20 дочерей. У матерей с интервалами отёлов 3, 4 или 5 лет родилось 16 сыновей и только 4 дочери. Полагая, что эти данные — испытания Бернулли с вероятностью .5 рождения сына, какова вероятность того, что из 20 детёнышей 16 или более окажутся самцами? (Не используйте нормальное приближение.)

В 2018 году Эрик Рид, игрок Carolina Panthers, сказал, что Национальная футбольная лига (НФЛ) использует свою якобы случайную программу тестирования на наркотики, чтобы преследовать его, поскольку его тестировали 7 раз за 11 недель. НФЛ и Ассоциация игроков НФЛ провели расследование и заключили, что тесты Рида были случайными. Его первый тест был обязательным тестом после подписания контракта с Panthers. После этого первоначального теста каждую неделю случайным образом отбирают десять игроков от каждой команды НФЛ. В составе Carolina 72 игрока, подлежащих тестированию; предположим, что во всех 32 командах НФЛ по 72 игрока, подлежащих тестированию. Если тестирование действительно случайно, какова вероятность того, что

Исследователь тестировал предвидение, попросив добровольца предсказать, каким будет следующий цвет, показанный на экране компьютера — красным или зелёным. Программа использовала генератор случайных событий с вероятностью .5 показать зелёный и вероятностью .5 показать красный. Доброволец угадал 60 из 100. Вычислите точную вероятность того, что доброволец угадает как минимум 60, просто гадая. Если протестировать 25 гадающих добровольцев, какова вероятность того, что хотя бы один угадает 60 или более верно?

Сильверы планируют семью и хотят равное число мальчиков и девочек. Миссис Сильвер говорит, что их шансы лучше всего, если планировать двоих детей. Мистер Сильвер говорит, что у них лучше шанс получить равное число мальчиков и девочек, если планировать десять детей. Полагая, что рождение мальчика и девочки равновероятно и независимо от предыдущих рождений, какая вероятность, по-вашему, выше? Объясните ваши рассуждения.

Лотерейный билет штата стоит $\$ 2$ и предполагает выбор шести разных чисел от 1 до 46. Игрок выигрывает приз, если часть или все его числа совпадают с шестью случайно выбранными числами, объявленными штатом. Какова вероятность совпадения ровно четырёх чисел? (Например, выбраны числа $1,2,3,4,5,6$, а выигрышными оказались числа 3, 13, 2, 1, 6, 23.)

Всего 98 студентов колледжа спросили, сколько раз они разговаривали со своими матерями и отцами за прошедший год: 36 разговаривали с обоими родителями одинаково часто; 9 разговаривали больше с отцами; и 53 разговаривали больше с матерями. Если 62 студента, разговаривавших больше с одним из родителей, с равной вероятностью называют мать или отца, какова вероятность того, что менее 10 разговаривают больше с отцом?

Мендель предположил, что самоопыление гибридного жёлтосемянного душистого горошка даст потомство с вероятностью .75 иметь жёлтые семена и вероятностью .25 иметь зелёные семена. В 1865 году он сообщил, что 8023 таких эксперимента дали $6,021/8,023=.7505$ растений с жёлтыми семенами и $2,002/8,023=.2495$ растений с зелёными семенами. Если бы это были честные независимые испытания, где у каждого потомка вероятность иметь жёлтые семена равна .75, какова точная вероятность того, что число растений с жёлтыми семенами окажется в диапазоне 6013-6021 (менее пяти растений от математического ожидания, $6,017.25$)?

Сообщалось, что исследование противопаразитарного препарата ивермектин для лечения COVID-19 охватило 600 пациентов, из которых у 410 возраст был чётным числом, а у 190 — нечётным. Если чётный и нечётный возраст равновероятны, какова вероятность такого большого расхождения?

Известный отборщик акций утверждает, что у него более $50 \%$ шансов выбрать акции, которые покажут результат лучше медианной акции за следующие 12 месяцев. Чтобы продемонстрировать это мастерство, он выбирает десять акций из индекса Russell 3000 (состоящего из 3000 крупнейших американских компаний), и год спустя оказывается, что шесть показали результат лучше медианной доходности, а четыре — хуже.

В классе из 18 студентов каждую неделю случайным образом выбирают пять команд по 2 человека для работы над внеклассными проектами. (Каждую неделю никто не может состоять более чем в одной команде; каждый студент либо в команде, либо нет.) Если в семестре 10 недель, какова вероятность того, что одна из студенток, Джилл Маккензи,

Преподаватель статистики попросил 14 студентов представить 10 бросков монеты и записать последовательность орлов и решек. Из 14 студентов 13 представили последовательности, в которых было 4, 5 или 6 орлов. Если бы каждый студент подбросил честную монету 10 раз и записал получившуюся последовательность, какова вероятность того, что 13 или более студентов получили бы последовательности с 4, 5 или 6 орлами?

В книге Нейта Силвера «Сигнал и шум» рассматриваются пять ипотечных кредитов, у каждого из которых вероятность дефолта $5 \%$. Полагая независимость, он вычисляет вероятность того, что хотя бы один окажется в дефолте, как

Какова правильная вероятность?

Радиостанция предложила приз в $\$ 100$ слушателю, который: (a) обладает счастливой однодолларовой купюрой, у которой не менее трёх девяток среди восьми цифр серийного номера (например, 23944199 и 93944199 были бы счастливыми долларами); и (b) является нужным дозвонившимся, например, 47-м человеком, позвонившим на радиостанцию во время конкурса.

Гипотеза случайного блуждания гласит, что вероятность роста цен на акции сегодня не зависит от прошлых результатов. Если в любой конкретный день вероятность роста индекса Dow Jones Industrial Average равна .52, а вероятность падения равна .48, то (полагая независимость) какова вероятность того, что в течение года из 250 торговых дней у индекса Dow будет больше растущих дней, чем падающих?

В среднем $70 \%$ пассажиров рейса из Лос-Анджелеса в Бостон предпочитают курицу рыбе. Предположим, что эти предпочтения можно смоделировать как испытания Бернулли. Если на рейсе из Лос-Анджелеса в Бостон 200 пассажиров, и авиакомпания везёт 140 куриных обедов и 60 рыбных обедов, какова вероятность того, что никто не будет разочарован? Что более пяти пассажиров будут разочарованы?

Джин и Чой договариваются подбросить монету девять раз, при этом Джин выигрывает, если выпадает хотя бы пять орлов, а Чой выигрывает, если выпадает хотя бы пять решек. После четырёх бросков выпало три решки и один орёл. Какова вероятность выигрыша Джин?

В 1941 году Джо Ди Маджио выполнял результативный удар в 56 бейсбольных играх подряд. Какова вероятность того, что игрок, у которого вероятность результативного удара при каждом выходе на биту равна .325, выполнит хотя бы один удар в каждой из следующих 56 бейсбольных игр? Предположим, что применима модель испытаний Бернулли, и что у игрока четыре выхода на биту в каждой игре. Почему модель испытаний Бернулли может быть неуместна?

Монету подбросят четыре раза, чтобы определить, кто платит за обед. Вы можете либо предсказать, что орёл и решка выпадут по два раза каждый, либо предсказать, что орёл и решка не выпадут поровну. Какое предсказание даёт вам более высокую вероятность выигрыша?

Во время баскетбольного матча между Чикаго и Детройтом телекомментатор Марв Альберт сказал, что у Майкла Джордана проблемы с линией штрафных бросков — он реализовал лишь 9 из 12 бросков, тогда как перед этой игрой он реализовывал $84 \%$ своих штрафных бросков. Полагая, что применима модель испытаний Бернулли, какова точная вероятность 9 или менее успехов в 12 испытаниях, каждое с вероятностью успеха .84?

Тренер школьной баскетбольной команды, названный «тренером десятилетия» по версии Los Angeles Times, говорил своим игрокам, что промахнувшиеся броски отскакивают далеко (от бросающего) в $60 \%$ случаев. Исследование видеозаписей трёх мужских баскетбольных матчей Дивизиона III обнаружило, что из 169 промахнувшихся бросков 84 отскочили близко, а 85 отскочили далеко. Полагая, что применима модель испытаний Бернулли с вероятностью p того, что промахнувшийся бросок отскочит далеко, определите, что больше: \mathbb {P}\left(\mathrm{X}=85 если \mathrm{p}=.6\right) или \mathbb {P}\left(\mathrm{X}=85 если \mathrm{p}=.5\right).

В настольной игре «Колонизаторы» игроки по очереди бросают пару обычных шестигранных костей, и каждый игрок может получить «ресурсы» в зависимости от выпавшего числа. В одной недавней игре три из первых шести бросков дали 3 (1 на одной кости и 2 на другой). Каковы шансы на три или более троек в следующих шести бросках? Если вы играете в «Колонизаторов» 500 раз, какова вероятность того, что хотя бы одна игра начнётся с трёх или более троек на первых шести бросках?