Банк задач по математике

Задача 10.1

В письме в New England Journal of Medicine доктор Сандерс Фрэнк сообщил, что у 20 его пациентов-мужчин со складками на мочках ушей были многие из факторов риска (таких как высокий уровень холестерина, высокое кровяное давление и интенсивное курение), связанных с сердечными заболеваниями. Например, средний уровень холестерина у его пациентов со складками на мочках ушей составлял 257 миллиграммов на 100 миллилитров, по сравнению со средним 215 со стандартным отклонением 10 у здоровых мужчин среднего возраста. Если бы эти 20 пациентов были случайной выборкой из популяции со средним 215 и стандартным отклонением 10, какова была бы вероятность того, что их средний уровень холестерина составит 257 или выше? Объясните, почему эти 20 пациентов могут быть смещённой выборкой.

?

Задача 10.2

Гипотеза случайного блуждания гласит, что вероятность роста цен на акции сегодня не зависит от прошлых результатов. Если в любой конкретный день процентное изменение индекса Dow Jones Industrial average распределено нормально со средним $.1 \%$ и стандартным отклонением $1.5 \%$ , какова вероятность того, что среднее ежедневных процентных изменений за 250 торговых дней в году окажется положительным?

?

Задача 10.3

Объясните ошибку в этом объяснении погрешности в опросе общественного мнения из Newsweek:

Погрешность, вычисленная по учебниковой статистической формуле, изменяется обратно пропорционально размеру выборки. В общем, около 500 ответов дают возможную погрешность $5 \%$ в любую сторону; 2500 ответов уменьшают её до $1 \%$ .

?

Задача 10.4

Опрос 1995 года для издательства путеводителей Fodor's спросил 600 американских путешественников назвать их наименее желанное место отдыха. Победителем (с $9 \%$ голосов) стал Ирак/Иран; на втором месте (с 7) оказался Нью-Йорк. Представитель мэра Нью-Йорка усмехнулся: «Они опросили всего 600 человек. Это размер одного жилого дома». Полагая, что это случайная выборка, приведите доверительный интервал $95 \%$ для доли всех американских путешественников, которые выбрали бы Нью-Йорк своим наименее желанным местом отдыха.

?

Задача 10.5

(a)(b)

Предположим, что размер компенсации ущерба, который предпочли бы отдельные потенциальные присяжные в конкретном деле о причинении личного вреда, можно описать нормальным распределением со средним $\$ 5$ миллионов и стандартным отклонением $\$ 2$ миллиона. (Это распределение вероятностей — по случайно выбранным присяжным.)

?

(a)

Какой процент потенциальных присяжных предпочитает компенсацию более $\$ 5.5$ миллиона? Какой процент предпочитает компенсацию менее $\$ 4.5$ миллиона?

(b)

Предположим, что жюри присяжных — это случайная выборка из этого распределения, и что присуждённая жюри компенсация — это среднее компенсаций, предпочитаемых теми, кто входит в жюри. Тщательно объясните различия в компенсациях, которых можно ожидать при жюри из 6 человек по сравнению с жюри из 12 человек.

Задача 10.6

(a)(b)

Вес яблок определённого сорта распределён нормально со средним 10 унций и стандартным отклонением 2 унции.

?

(a)

Какова вероятность того, что случайно выбранное яблоко будет весить менее 8 унций?

(b)

Какова вероятность того, что мешок с 20 случайно выбранными яблоками будет иметь чистый вес менее 160 унций?

Задача 10.7

Население Испании примерно в четыре раза больше населения Бельгии. Если взять случайные выборки из 2000 испанцев и 2000 бельгийцев, будет ли погрешность в этих опросах (a) в четыре раза больше для испанского опроса; (b) в четыре раза больше для бельгийского опроса; (c) вдвое больше для испанского опроса; (d) вдвое больше для бельгийского опроса; или (e) одинаковой для обоих опросов?

?

Задача 10.8

(a)(b)(c)

Опрос Wall Street Journal в июле 1987 года попросил 35 экономических прогнозистов предсказать процентную ставку по 3-месячным казначейским векселям в июне 1988 года. Эти 35 прогнозов имели среднее 6.19 и дисперсию .47. Полагая, что это случайная выборка, приведите доверительный интервал $95 \%$ для среднего прогноза всех экономических прогнозистов, а затем объясните, верна ли каждая из следующих интерпретаций:

?

(a)

Есть вероятность .95, что фактическая ставка по казначейским векселям в июне 1988 года окажется в этом интервале.

(b)

Приблизительно $95 \%$ прогнозов всех экономических прогнозистов находятся в этом интервале.

(c)

Если бы Journal взял другую случайную выборку, есть вероятность .95, что новый доверительный интервал включал бы 6.19.

Задача 10.9

Статья о программном обеспечении для компьютерного прогнозирования объясняла, как оценить неопределённость прогноза: «[Вычислите] стандартное отклонение и среднее данных. В качестве хорошего первого приближения ваше прогнозируемое значение... — это среднее значение, плюс-минус одно стандартное отклонение — другими словами, неопределённость составляет примерно одно стандартное отклонение». Что они упустили?

?

Задача 10.10

Зависит ли ширина доверительного интервала от размера выборки, размера популяции или отношения размера выборки к размеру популяции? Объясните ваши рассуждения словами, а не уравнениями.

?

Задача 10.11

(a)(b)(c)

Вот отрывок из статистической статьи:

Мы попросили 100 студентов угадать число бобов в стеклянной банке. (Их было 183.) Используя их догадки, мы построили этот доверительный интервал $95 \%$ :

164.25 \pm 1.98 \frac{28.71}{\sqrt{100}}=164.25 \pm 5.70

Объясните, согласны вы или не согласны со следующим:

?

(a)

В расчёте следовало делить на квадратный корень из 99, а не из 100.

(b)

Этот расчёт предполагает, что догадки студентов распределены нормально, а это не так.

(c)

Этот доверительный интервал означает, что $95 \%$ ответов студентов находились в интервале от $164.25-5.70$ до $164.25+5.70$ .

Задача 10.12

Объясните очевидную ошибку:

Нулевая гипотеза состоит в том, что среднее популяции равно 0; альтернативная гипотеза — что оно не равно нулю. Здесь $n=75$ ; X-среднее $=.004$ ; стандартное отклонение $=.0443$ , $t=.781964$ . Глядя на $t$ -таблицу с 74 степенями свободы, двустороннее p-значение равно 1.9925.

?

Задача 10.13

(a)(b)

В общенациональном масштабе $39.6 \%$ всех американцев — первенцы или единственные дети в семье. Случайная выборка из 29 американских студентов элитного колледжа обнаружила, что 14 из них были первенцами или единственными детьми.

?

(a)

Является ли это отличие от общенационального среднего (i) существенным и (ii) статистически значимым на уровне $5 \%$ ?

(b)

Как изменились бы ваши ответы на два вопроса в части (a), если бы в опросе участвовали 290 студентов, из которых 140 были первенцами или единственными детьми? Используйте логику, а не уравнения.

Задача 10.14

Определите ошибку(и):

Мы вычислили долю p футболистов, родившихся в первые 6 месяцев года, разделив число родившихся с января по июнь на общее число игроков.

\mathrm{p}=\frac{\text{ игроки, родившиеся с января по июнь }}{\text{ общее число игроков }}

Затем мы построили одновыборочный тест доли, чтобы выяснить, равны ли доли родившихся в первые 6 месяцев и последние 6 месяцев $(p=.5)$ или нет $(p \neq .5)$ . Мы вычислили значение Z, используя уравнение:

Z=\frac{X-\mu }{p(1-p) / \sqrt{n}}

?

Задача 10.15

Объясните, имеет ли для вас смысл этот довод:

Распределение отдельных результатов теста бимодально. Это означает, что вы не можете провести t-тест выборочного среднего всех результатов теста, независимо от размера выборки, потому что этот тест основан на предположении, что отдельные результаты распределены нормально.

?

Задача 10.16

Онлайн-курс статистики в колледже задал этот вопрос:

Тест «верно-неверно» из 10 вопросов был дан 100 студентам курса статистики. Ниже приведено распределение результатов. Найдите средний результат и интерпретируйте его. Округлите ответы до двух знаков после запятой при необходимости.

Результат	5	6	7	8	9	10
Число студентов	5	15	33	28	12	7

Что не так с данным ответом (ниже)? (Подсказка: средний результат действительно равен 7.48.)

Средний результат равен 7.48. Это означает, что если бы мы давали этот тест всё большему и большему числу студентов, средний результат этих студентов приближался бы к 7.48.

?

Задача 10.17

(a)(b)

Индикатор Супербоула гласит, что фондовый рынок растёт, если Супербоул выигрывает команда из Национальной футбольной конференции или команда из Американской футбольной конференции, ранее входившая в Национальную футбольную лигу; в противном случае рынок падает. Этот индикатор сработал в 20 из первых 22 Супербоулов (1967-1988). В 1990 году два профессора финансов опубликовали статью в Journal of Finance, ведущем рецензируемом финансовом журнале, утверждая, что «хотя теоретическая связь между Супербоулом и последующими движениями фондового рынка не очевидна», результат 20 из 22 был крайне статистически значим и был бы весьма прибыльным, если бы ему следовали инвесторы. Чтобы опровергнуть возможность того, что это может быть совпадением, они вычислили биномиальную вероятность 20 успехов из 22 как

\mathbb {P}\left(\mathrm{x}=20\right)=\binom {22}{20} \cdot .5^{20} \cdot .5^{2}=.000055

?

(a)

Почему правильное p-значение — не .000055?

(b)

Что вызывает подозрение в отношении индикатора Супербоула?

Задача 10.18

(a)(b)(c)

Срок службы шины Rolling Rock распределён нормально со средним 40 000 миль и стандартным отклонением 5000 миль. Полагая независимость, если вы купите четыре шины, какова вероятность того, что

?

(a)

хотя бы 1 шина прослужит 50 000 миль?

(b)

все 4 шины прослужат не менее 50 000 миль?

(c)

средний срок службы составит не менее 50 000 миль?

Задача 10.19

Исследование 1981 года, опубликованное в New England Journal of Medicine, рассматривало использование сигар, трубок, сигарет, алкоголя, чая и кофе пациентами с раком поджелудочной железы и пришло к выводу о «сильной связи между потреблением кофе и раком поджелудочной железы». Это исследование сразу же подверглось критике по нескольким основаниям, включая тот факт, что было проведено множество тестов, и был сообщён наиболее статистически значимый результат. Последующие исследования не смогли подтвердить связь между употреблением кофе и раком поджелудочной железы. Предположим, что проводятся независимые тесты шести продуктов, не связанных с раком поджелудочной железы. Какова вероятность того, что хотя бы один из этих тестов даст p-значение ниже .05?

?

Задача 10.20

Карл Пирсон подбросил монету 24 000 раз и получил 12 012 орлов. Используйте эти данные, чтобы оценить доверительный интервал $95 \%$ для вероятности орла с этой монетой. Если вероятность орла у этой монеты равна .5, какова точная вероятность того, что число орлов в 24 000 бросках окажется между 11 988 и 12 012?

?

Задача 10.21

Учебник по статистике приводит такой пример:

Предположим, центральный универмаг опрашивает 49 покупателей в центре города об их возрасте.... Выборочное среднее и стандартное отклонение оказываются равны 40.1 и 8.6 соответственно. Тогда магазин мог бы оценить $\mu$ , средний возраст всех покупателей в центре города, с помощью доверительного интервала $95 \%$ следующим образом:

\overline{\mathrm{X}} \pm 1.96 \frac{\mathrm{~ s}}{\sqrt{\mathrm{n}}}=40.1 \pm 1.96 \frac{8.6}{\sqrt{49}}=40.1 \pm 2.4

Таким образом, универмагу следует ориентировать свои продажи на сегмент потребителей со средним возрастом между 37.7 и 42.5. Объясните, согласны вы или не согласны со следующей интерпретацией: $95 \%$ покупателей в центре города имеют возраст между 37.7 и 42.5 годами.

?

Задача 10.22

Исследование 387 корпоративных дроблений акций, произошедших за 10 лет (с 2007 по 2016 год), обнаружило, что у 245 акций цена выросла в день объявления дробления, а у 142 цена упала. Является ли это отличие существенным и статистически убедительным?

?

Задача 10.23

(a)(b)

Ежемесячный опрос потребительских настроений подвергся критике, потому что было опрошено лишь 5000 человек. В противовес этому, твиты в Twitter можно анализировать для миллионов людей.

?

(a)

Какова ширина доверительного интервала $95 \%$ для опроса 5000 человек, если $58 \%$ говорят, что настроены оптимистично насчёт будущего, а $42 \%$ говорят, что нет?

(b)

Почему опрос может быть надёжнее анализа твитов в Twitter?

Задача 10.24

Инвестор поровну разделила свои деньги между 100 акциями. Она полагает, что в следующие 12 месяцев доходность каждой акции будет независимо определяться распределением вероятностей со средним $10 \%$ и стандартным отклонением $30 \%$ . Что можно сказать о распределении вероятностей доходности её портфеля?

?

Задача 10.25

Раньше, когда матч Национальной футбольной лиги (НФЛ) заканчивался вничью после основного времени, команды играли 15-минутный овертайм внезапной смерти, и бросок монеты определял, какая команда выполняет начальный удар, а какая принимает мяч. Побеждает команда, первой набравшая очки. В сезонах 2001-2006 годов было 109 овертаймов внезапной смерти, один из которых так и закончился вничью, потому что ни одна из команд не набрала очков. В остальных 108 играх команда, первой принявшая мяч, выиграла 64 игры, а команда, выполнявшая начальный удар, выиграла 44 игры. Используйте эти данные, чтобы вычислить точное двустороннее p-значение для проверки следующей нулевой гипотезы: у команд, выполняющих начальный удар и принимающих мяч, в играх, решённых овертаймом внезапной смерти, равные шансы на победу. Кажется ли это отличие существенным?

?

Задача 10.26

(a)(b)

Записи о рождении в Калифорнии использовались для получения данных о почтовом индексе места жительства рождённых за границей матерей на момент рождения дочери и почтовом индексе места жительства этих дочерей на момент рождения ими собственного ребёнка; у 996 взрослых дочерей был тот же почтовый индекс, что и у их матерей, а у 4298 индекс был другим.

?

(a)

Оцените доверительный интервал $95 \%$ для вероятности того, что у взрослой дочери будет тот же почтовый индекс, что и у её матери.

(b)

Из 4298 дочерей, живших в других почтовых индексах, 2579 жили в почтовых индексах с более высоким медианным доходом, чем у почтового индекса их матери, а 1719 жили в почтовых индексах с более низким доходом. Вычислите точное двустороннее p-значение для проверки нулевой гипотезы о том, что дочь, живущая в другом почтовом индексе, с равной вероятностью живёт в индексе с более высоким или более низким доходом. Является ли это отличие существенным?

Задача 10.27

Исследователь попросил 30 студентов прочитать короткую статью, а затем оценить, сколько времени им потребовалось на её чтение. 30 разностей (в секундах) между фактическим и предполагаемым временем использовались, чтобы посмотреть, склонны ли люди в целом переоценивать или недооценивать время. Сообщалось, что проверка нулевой гипотезы о том, что среднее популяции равно нулю, дала t-значение 2.05, и что доверительный интервал $95 \%$ равен $26.53 \pm 13.82$ . Как понять, что в этих вычислениях была ошибка?

?

Задача 10.28

Первым американцем, получившим Нобелевскую премию по физике, был Альберт Майкельсон (1852-1931), получивший награду в 1907 году за разработку и использование оптических точных приборов. Его измерения скорости света в воздухе (в километрах в секунду) с 12 октября по 14 ноября

1882 года были следующими:

299,883	299,796	299,611	299,781	299,774	299,696
299,748	299,809	299,816	299,682	299,599	299,578
299,820	299,573	299,797	299,723	299,778	299,711
300,051	299,796	299,772	299,748	299,851

Полагая, что эти измерения были случайной выборкой из нормального распределения, включает ли доверительный интервал $99 \%$ значение 299,710.5, которое сейчас принято как скорость света?

?

Задача 10.29

Американский закон о чеканке монет 1792 года устанавливал, что золотая 10-долларовая монета «орёл» должна содержать 247.5 грана чистого золота. Закон Конгресса 1837 года допускал отклонение в .25 грана в весе одной монеты «орёл» и отклонение в .048 грана в среднем весе 1000 монет «орёл». Если проверяемые монеты — случайная выборка из нормального распределения со средним 247.5 грана и неизвестным стандартным отклонением $\sigma$ , у монетного двора выше вероятность не пройти проверку одной монеты или проверку 1000 монет?

?

Задача 10.30

В 1977 году Верховный суд США отметил, что люди с испанскими фамилиями составляли $79 \%$ населения округа Идальго, Техас, но лишь 339 из 870 недавних присяжных в этом округе. Суд вычислил значение Z, равное 29, и отметил, что «по общему правилу для таких больших выборок, если разница между ожидаемым значением и наблюдаемым числом превышает 2 или 3 стандартных отклонения, то гипотеза о том, что отбор присяжных был случайным, будет вызывать подозрение у социолога».

?

(a)

Какова нулевая гипотеза?

(b)

Покажите, как суд вычислил своё значение Z.

(c)

Объясните отсылку к «большим выборкам».

(d)

Объясните отсылку к «2 или 3 стандартным отклонениям».

(e)

Кажется ли вам это отличие существенным?

Задача 10.31

Тренер школьной баскетбольной команды сказал, что промахнувшийся штрафной бросок правши, вероятно, отскочит вправо, тогда как у левши верно обратное. Чтобы проверить эту теорию, исследователь попросил двух игроков университетской команды выполнить по 50 штрафных бросков. Эти игроки промахнулись 21 раз, из которых 15 мячей приземлились на той же стороне, что и бросающая рука, а 6 отскочили на противоположную сторону. Является ли это отличие существенным и статистически убедительным? (Не используйте нормальное приближение.)

?

Задача 10.32

Шестнадцать беременных женщин попросили читать вслух детский рассказ три раза в день в течение последних 6.5 недель беременности. Эти чтения записывались на плёнку, и вскоре после рождения каждому младенцу давали возможность выбрать (изменяя ритм сосания специальной бутылочки) между записью, где мать читает знакомый рассказ, и записью с незнакомым рассказом. В 13 из 16 случаев младенцы выбирали знакомый рассказ. Является ли этот результат существенным и статистически убедительным? (Не используйте нормальное приближение.)

?

Задача 10.33

В баскетбольных турнирах NCAA 1989 и 1990 годов было предпринято 1891 трёхочковых бросков, из которых 840 выполнили команды-фавориты, а 1051 — команды-аутсайдеры. Полагая, что эти данные — случайная выборка из игр турнира NCAA, вычислите доверительный интервал $95 \%$ для вероятности того, что случайно выбранный трёхочковый бросок был выполнен командой-аутсайдером.

?

Задача 10.34

(a)(b)

Пятьдесят шесть студентов колледжа участвовали в тесте на экстрасенсорное восприятие, в котором профессор подбрасывал монету десять раз, и каждый студент пытался угадать каждый бросок как орёл или решку.

?

(a)

Если догадка студента с равной вероятностью может быть орлом или решкой, независимо от его или её предыдущих догадок, какова вероятность p того, что у студента в итоге получится десять догадок, состоящих ровно из пяти орлов и пяти решек?

(b)

Оказалось, что 27 из этих 56 студентов угадали 5 орлов и 5 решек. Используйте эти данные, чтобы проверить нулевую гипотезу о том, что у каждого студента вероятность угадать ровно пять орлов и пять решек равна вероятности $p$ , вычисленной в части (a).

Задача 10.35

Профессор экономики сказал своим студентам, что вместо того, чтобы тратить сотни долларов на очень точные часы, им следует носить 20 дешёвых часов и вычислять среднее время. Предположим, что время, показываемое каждыми дешёвыми часами, распределено нормально со средним, равным фактическому времени, и стандартным отклонением 10 секунд, и что ошибки дешёвых часов все независимы друг от друга. Каковы среднее и стандартное отклонение среднего времени по этим 20 часам?

?

Задача 10.36

Профессор социологии утверждал, что стресс, связанный с числом 4, может вызывать у китайцев и японцев необычно большое число смертельных сердечных приступов на четвёртый день месяца. Данные смертности для калифорнийцев китайского и японского происхождения за 1989-1998 годы показывают, что из 1391 смертельного сердечного приступа, случившегося на 3, 4 или 5 день месяца, 472 произошли на 4 день. Является ли это существенным и статистически убедительным доказательством того, что более трети смертельных сердечных приступов, случающихся на 3, 4 или 5 день месяца, происходят на 4 день? (Используйте нормальное приближение.)

?

Задача 10.37

В 1942 году семенная компания продала 20 мешков семян ржи с этикетками, указывающими всхожесть $90 \%$ . Управление продовольствия военного времени взяло выборку семян из этих мешков и обнаружило, что взошло лишь 240 из 400 протестированных семян. Имеет ли это отличие какое-либо практическое значение? Используйте нормальное приближение, чтобы вычислить двустороннее p-значение для проверки нулевой гипотезы о том, что у каждого семени вероятность взойти равна .90.

?

Задача 10.38

Исследователи вычислили разницу между фактической и прогнозируемой дневной максимальной температурой в центре Лос-Анджелеса для каждого дня 1996 года. Объясните ошибку(и) в этой интерпретации их результатов. «t-значение для нулевой гипотезы $\mu =0$ составило 6.47, показывая, что вероятность того, что среднее популяции равно нулю, составляет ноль процентов. Таким образом, на уровне $1 \%$ мы опровергли нулевую гипотезу о том, что синоптики не допускают ошибок в своих прогнозах».

?

Задача 10.39

(a)(b)(c)

Проверка нулевой гипотезы о том, что средний студент колледжа набирает 15 фунтов веса за первый год обучения, была проведена на основе опроса 100 второкурсников; выборочное среднее сообщённого прироста веса составило 4,82 фунта при стандартном отклонении 5,96 фунта. Объясните, согласны вы или не согласны с каждым из следующих выводов:

?

(a)

«Когда мы вычисляли значение t, мы предполагали, что стандартное отклонение нашей выборки равно стандартному отклонению генеральной совокупности».

(b)

«Мы вычислили значение t равным -17.08. Двустороннее p-значение равно $2.82 \times 10^{-31}$ . Согласно эмпирическому правилу Фишера, наши данные статистически не значимы, поскольку наше p-значение существенно меньше 0.05».

(c)

«Наши данные убедительно указывают на то, что «первокурсные 15 фунтов» — всего лишь миф. Однако следует признать, что мы взяли только одну выборку из 100 студентов. Возможно, если бы мы взяли другие выборки, наши результаты были бы иными».

Задача 10.40

Американцы проезжают около 3 триллионов миль в год, и в среднем на каждые 100 миллионов проеханных миль приходится около 77 зарегистрированных травм и 1.09 смертельных случаев. Автопарк Google из 55 автомобилей попал в 11 аварий (2 травмы и ни одного смертельного случая), проехав 1.3 миллиона миль в автономном режиме в период с 2009 по 2015 год.

Если при испытании автономных транспортных средств не будет ни одного смертельного случая, сколько миль потребуется проехать без единой аварии со смертельным исходом, чтобы отклонить на уровне $5 \%$ нулевую гипотезу о том, что вероятность смертельного случая составляет 1 на 100 миллионов миль?

?

Одновыборочные критерии и доверительные интервалы