Поляритет

Найти поляру точки $A$ относительно линии второго порядка, заданной уравнением $F(x, y) = 0$ в каждом из следующих случаев:

Доказать, что директрисы линии второго порядка являются полярами соответствующих фокусов относительно данной линии.

Найти полюс прямой $\ell$ относительно линии второго порядка $F$ в каждом из следующих случаев:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку $(2,1)$ и полярно сопряженной с прямой $4 x-y+30 = 0$ относительно линии второго порядка $x^{2}-6 x y+9 y^{2}-12 x+14 y-7 = 0$.

На прямой $x+5 y-18 = 0$ найти точку, полярно сопряженную с точкой $(-5,4)$ относительно линии второго порядка $2 x y-6 x+4 y-1 = 0$.

Даны две линии второго порядка: парабола $A x^{2}-2 y = 0$ и гипербола $2 x y = A$. Найти точку, полярой которой относительно обеих кривых служила бы одна и та же прямая.

Пусть на овале Г задана параметризация вида (9.2). Рассматривая Г как проективную прямую и считая параметр $t$ аффинной координатой на ней, определим ангармоническое отношение четырех точек овала. Доказать, что четверка точек $A, B, C, D$ будет гармонической тогда и только тогда, когда прямые $A C$ и $B D$ полярно сопряжены относительно данного овала.

Показать, что если из каждой точки прямой, перпендикулярной к оси кривой второго порядка, опустить перпендикуляр на поляру этой точки, то все такие перпендикуляры проходят через одну и ту же точку, лежащую на оси кривой.

Показать, что если две прямые проходят через фокус кривой второго порядка, то для того, чтобы они были полярно сопряженными, необходимо и достаточно, чтобы они были взаимно перпендикулярны.

Найти кривую второго порядка, для которой ось Оу служит полярой точки $A(5,0)$, а ось $O x$ — полярой точки $B(0,3)$, зная, что она проходит через точки $M_{1}(1,2)$ и $M_{2}(0,3 / 2)$.

Определить геометрическое место полюсов касательных к окружности $(x-1)^{2}+(y-2)^{2} = 16$ относительно окружности $x^{2} + y^{2} = 25$.

Точка $M$ перемещается по окружности $x^{2}+y^{2} = 1$. Какую линию описывает точка пересечения касательной к окружности в этой точке с полярой той же точки относительно гиперболы $x^{2}-y^{2} = 1$?

Показать, что если из внешней точки провести касательные к невырожденной кривой второго порядка, то прямая, соединяющая эту точку с серединой хорды прикосновения, будет диаметром кривой, сопряженным направлению этой хорды.