Линии второго порядка в проективных координатах

Определить проективный класс следующих кривых, пользуясь методом Лагранжа:

Найти проективное преобразование, которое переводит:

Найти уравнение окружности, описанной около квадрата, принимая три его вершины за фундаментальные точки, а четвертую — за единичную точку проективной системы координат.

Как преобразуется уравнение параболы $y^{2} = 4 x$, если от декартовых координат $(x, y)$ перейти к проективным $(x_{1}: x_{2}: x_{3})$, принимая $E_{1}(1,0), E_{2}(-1,2), E_{3}(-1,-2)$ за фундаментальные точки, начало координат — за единичную точку проективной системы координат?

Как преобразуется уравнение окружности $x^{2}+y^{2} = 1$, если от декартовых координат $(x, y)$ перейти к проективным $(x_{1}: x_{2}: x_{3})$, принимая за стороны $E_{2} E_{3}, E_{3} E_{1}, E_{1} E_{2}$ фундаментального треугольника прямые $1+y = 0,1-y = 0, x = 0$, а за единичную точку — точку $E(1,0)$?

Найти проективное преобразование, которое переводит окружность $x^{2}+y^{2} = 25$ в себя, а точки $A(3,-4), B(3,4)$ и середину $M$ хорды $A B$ — в точки $A^{\prime }(-4,3), B^{\prime }(-4,-3)$ и середину $M^{\prime }$ хорды $A^{\prime } B^{\prime }$.

Найти проективное преобразование, которое переводит эллипс

в тот же эллипс, а точки эллипса $A(0,5), B(-10,0), C(8,3)$ — соответственно в точки $A^{\prime }(0,-5), B^{\prime }(0,5), C^{\prime }(10,0)$.

Найти общий вид тех проективных преобразований, при которых гипербола

переходит в ту же гиперболу, а касательные в вершинах к гиперболе переходят в ее асимптоты.

Найти проективное преобразование, при котором парабола $y^{2} = 4 x$ переходит в ту же параболу, а точки параболы $A(1,2)$, $B(16,-8), C(1,-2)$ переходят соответственно в точки $A^{\prime }(1,2)$, $B^{\prime }(1,-2), C^{\prime }(0,0)$.

Найти проективное преобразование параболы $y^{2} = 4 x$ в окружность $x^{2}+y^{2} = 25$, при котором точки параболы $A(4,-4), B(0,0)$, $C(4,4)$ переходят в точки окружности $A^{\prime }(0,-5), B^{\prime }(5,0), C^{\prime }(0,5)$.

В проективной системе координат $E_{1} E_{2} E_{3} E$ составить общее уравнение овала, касающегося двух сторон $E_{3} E_{1}$ и $E_{3} E_{2}$ треугольника $E_{1} E_{2} E_{3}$ в вершинах $E_{1}$ и $E_{2}$.

Доказать, что любой овал на аффинно-проективной плоскости можно записать параметрически в виде

где матрица $(c_{i j})$ невырожденна. При каких условиях это уравнение определяет:

Написать параметрические уравнения окружности $x^{2}+y^{2} = 1$, принимая за параметр $t$ точки $M$ угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $M$ и фиксированную точку $(\cos \varphi , \sin \varphi )$ окружности.

Найти параметрические уравнения вида (9.2) гиперболы

для которого при значениях параметра $t = -1, t = 1, t = 0$ получаются точки $(-a, 0),(a, 0)$ и несобственная точка асимптоты $\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 0$ соответственно.

Найти общее уравнение кривой второго порядка, заданной параметрическими уравнениями:

Пусть две параметрические кривые $(x(t), y(t))$ и $(u(t), v(t))$ вида (9.2) задают один и тот же овал на аффинно-проективной плоскости, т.е. существует функция $s(t)$ такая, что $u(s(t)) = x(t)$, $v(s(t)) = y(t)$. Доказать, что тогда функция $s(t)$ дробно-линейная:

где $\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d\end{smallmatrix}\right)$ — невырожденная матрица.

Пусть $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ — три произвольные точки, лежащие на овале, а $\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}$ — касательные к овалу в этих точках. Доказать, что три точки пересечения прямых $\ell_{1}$ и $A_{2} A_{3}, \ell_{2}$ и $A_{3} A_{1}, \ell_{3}$ и $A_{1} A_{2}$ лежат на одной прямой.

Доказать, что если треугольник $A_{1} A_{2} A_{3}$ описан около действительного овала, а $A_{4}, A_{5}, A_{6}$ — точки касания сторон $A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}$, $A_{3} A_{1}$ с данной линией, то прямые $A_{1} A_{5}, A_{2} A_{6}, A_{3} A_{4}$ проходят через одну точку.

Доказать, что если уравнение

определяет действительную невырожденную кривую второго порядка, то условие

необходимо и достаточно для того, чтобы точка $M\left(x_{1}: x_{2}: x_{3}\right)$ была внутренней.

Пусть $A B C$ и $A^{\prime } B^{\prime } C^{\prime }$ — два треугольника, лежащие на проективной плоскости и такие, что прямые $A A^{\prime }, B B^{\prime }, C C^{\prime }$ проходят через одну точку. Доказать, что шесть точек пересечения прямых $A B$ и $A^{\prime } C^{\prime }, A B$ и $B^{\prime } C^{\prime }, A C$ и $A^{\prime } B^{\prime }, A C$ и $B^{\prime } C^{\prime }, B C$ и $C^{\prime } A^{\prime }, B C$ и $A^{\prime } B^{\prime }$ лежат на одной и той же линии второго порядка.

Пусть $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ — пять произвольных точек, лежащих на действительном овале. Доказать, что если $\ell$ — касательная к этому овалу в точке $A_{1}$, то три точки пересечения прямых $\ell$ и $A_{3} A_{4}$, $A_{1} A_{2}$ и $A_{4} A_{5}, A_{2} A_{3}$ и $A_{1} A_{5}$ лежат на одной прямой.

(Теорема Брианшона). Около действительной нераспадающейся линии второго порядка описан шестиугольник $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$. Доказать, что прямые $A_{1} A_{4}, A_{2} A_{5}, A_{3} A_{6}$ проходят через одну точку.

Доказать, что если стороны двух треугольников касаются линии второго порядка, то через шесть вершин этих треугольников можно провести линию второго порядка.

Действительная невырожденная кривая второго порядка задана общим уравнением второго порядка в проективных координатах. Найти необходимое и достаточное условие того, что прямая $A x_{1}+B x_{2}+C x_{3} = 0$ пересекает данную кривую.