Проективные преобразования прямой

В каждом из следующих случаев найти проективное преобразование, переводящее точки $A, B, C$ в точки $A^{\prime }, B^{\prime }, C^{\prime }$ соответственно:

(Типы проективных преобразований прямой). При каком необходимом и достаточном условии проективное преобразование проективной прямой

Доказать, что проективное преобразование

эллиптическое.

Может ли проективное преобразование прямой быть несобственным, если оно:

Найти общий вид преобразования, оставляющего неподвижными фундаментальные точки $E_{1}$ и $E_{2}$.

Найти неподвижные точки проективного преобразования

Найти все проективные преобразования, при которых две различные точки $(a: b)$ и $(c: d)$ неподвижны.

(Отражение относительно пары точек). Найти все проективные преобразования прямой, квадрат которых равен тождественному преобразованию, и определить их тип.

На проективной прямой даны три различные точки $A, B, C$. Доказать, что проективное преобразование, переводящее эти точки соответственно в точки $B, C, A$, является эллиптическим.

Проективное преобразование прямой переводит точки $A$, $B, C$ в точки $A, C, B$ соответственно. С помощью линейки построить вторую неподвижную точку этого преобразования.

Сколько существует параболических проективных преобразований проективной прямой, при которых данные точки $A$ и $B$ переходят в данные точки $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ при условии, что хотя бы три из четырех точек $A, B, A^{\prime }, B^{\prime }$ различны?

Пусть $f$ — эллиптическое проективное преобразование прямой, $f^{k} = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{k}$ — его $k$-я степень. Доказать, что если преобразование $f^{k}$ имеет неподвижную точку, то оно тождественно.