Проективная прямая

На аффинно-проективной прямой найти координаты середины отрезка $E_{1} E_{2}$ в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E$, если $E$ — несобственная точка прямой.

Пусть $E$ — несобственная точка аффинно-проективной прямой. Найти проективные координаты точки, делящей отрезок $E_{1} E_{2}$ в отношении $\lambda$, в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E$.

Принимая точки $E_{1}(-4), E_{2}(2)$ за фундаментальные точки проективной системы, а точку $E(3)$ — за единичную, найти связь между проективными координатами $(x_{1}: x_{2})$ точки $M$ и ее аффинной координатой $x$.

На прямой введена аффинная координата $x$. Принимая точку с координатой 0 за фундаментальную точку $E_{1}$, точку с координатой 1 — за фундаментальную точку $E_{2}$ и несобственную точку — за единичную точку $E$ проективной системы координат, найти связь между координатой $x$ произвольной точки и ее проективными координатами $\left(x_{1}: x_{2}\right)$.

Даны три точки $A(-2), B(3)$ и $C(-1)$. Принимая эти точки соответственно за точки $E_{1}, E_{2}$ и $E$, найти проективные координаты точек $D(5), F(-7), G(4), H(2), O(0), P(1)$ в проективной системе координат $E_{1} E_{2} E$.

С аффинной координатой $x$ на аффинно-проективной плоскости ассоциирована стандартная проективная система координат $E_{1} E_{2} E$. Известно, что ангармоническое отношение $(E_{1} E_{2} E M)$ равно $a$. Чему равна аффинная координата точки $M$?

Найти ангармоническое отношение $(A B C D)$ четырех точек $A, B, C, D$ проективной прямой в каждом из следующих случаев:

На проективной прямой даны три точки $A(1: 2), B(-1: 1)$, $C(3: 5)$. Известно, что $(A B C D) = 1 / 2$. Найти проективные координаты точки $D$.

Ангармоническое отношение $(A B C D)$ четырех точек $A, B, C$, $D$ равно $\lambda$. Чему равно ангармоническое отношение:

В треугольнике $P Q R$ проведена медиана $P M$. Рассматривая пучок прямых, проходящих через точку $P$, как проективную прямую, найти в нем четвертую гармоническую прямую к прямым $P Q$, $P R, P M$.

В треугольнике $P Q R$ проведена биссектриса $P M$. Рассматривая пучок прямых, проходящих через точку $P$, как проективную прямую, найти в нем четвертую гармоническую прямую к прямым $P Q, P R, P M$.

На плоскости дан треугольник $P Q R$, угол $P$ которого прямой. В треугольнике проведена высота $P M$. Рассматривая пучок прямых, проходящих через точку $P$, как проективную прямую, найти в нем четвертую гармоническую прямую к прямым $P Q, P R, P M$.

На плоскости дана прямая $\ell$, на которой отмечены три точки $A, B, C$. Показать, как при помощи линейки можно построить четвертую точку $D$, гармоническую к $A, B, C$, т. е. такую, что $(A B C D) = -1$.