Метрические задачи на плоскости в произвольной аффинной системе координат

Найти тангенс угла $\alpha$ от оси $O x$ до прямой $y = k x+b$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти тангенс угла $\alpha$ от оси $O x$ до прямой $y = k x+b$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Найти тангенс угла $\varphi$ от прямой $y = k_{1} x+b_{1}$ до прямой $y = k_{2} x+b_{2}$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти тангенс угла $\varphi$ от прямой $y = k_{1} x+b_{1}$ до прямой $y = k_{2} x+b_{2}$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0$ и $A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых $y = k_{1} x+b_{1}$ и $y = k_{2} x+b_{2}$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1$, $\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ на прямую $A x+B y+C = 0$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ составить уравнения семейства прямых:

Найти расстояние $d$ от точки $(x_{0}, y_{0})$ до прямой $A x+B y + C = 0$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти расстояние $d$ от точки $(x_{0}, y_{0})$ до прямой $A x+B y + C = 0$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.

Найти расстояние $d$ от точки $(2,1)$ до прямой $10 x+56 y-37 = 0$, если $g_{11} = 4, g_{12} = 8, g_{22} = 25$.

Составить уравнения биссектрис углов между координатными осями, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$. Рассмотреть частный случай $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = 1,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega$.