Метрические задачи на прямую: перпендикуляры, углы и расстояния

Дана прямая $x-2 y+1 = 0$, содержащая основание $B C$ треугольника $A B C$, и вершина $A(3,-4)$, противолежащая этому основанию. Найти уравнение высоты, опущенной из $A$ на сторону $B C$.

Найти проекцию точки $(-3,7)$ на прямую $5 x-4 y+2 = 0$.

Найти точку, симметричную точке $(0,11)$ относительно прямой $x+7 y-52 = 0$.

На прямой $2 x-3 y+18 = 0$ найти такую точку $C$, чтобы сумма расстояний до двух данных точек $A(-7,-3)$ и $B(5,5)$ была бы наименьшей.

Вершина треугольника находится в точке $(1,3)$, а биссектрисы двух его углов принадлежат прямым $y+3 = 0$ и $2 x+y+5 = 0$. Написать уравнение стороны треугольника, противолежащей данной вершине.

Написать уравнения сторон равнобедренной трапеции, зная середины ее оснований $(1,1),(2,8)$ и точки $(4,-3),(-15,14)$ на ее боковых сторонах.

Дано уравнение стороны ромба $x+3 y-8 = 0$ и уравнение его диагонали $2 x+y+4 = 0$. Написать уравнения остальных сторон ромба, зная, что точка $(-9,-1)$ лежит на стороне, параллельной данной.

На прямой $2 x-3 y+6 = 0$ найти точки, находящиеся на расстоянии $2 / 5$ от прямой $3 x-4 y+11 = 0$.

Составить уравнения прямых, параллельных прямой $8 x + 6 y-7 = 0$ и отстоящих от нее на расстоянии 2.

Через точку $(3,-1)$ провести прямую, отстоящую от точки $(2,-3)$ на расстоянии 1.

Через точку пересечения прямых $3 x+y+10 = 0,4 x+5 y + 6 = 0$ провести прямую, отстоящую от начала координат на расстоянии 4.

Составить уравнение геометрического места точек, находящихся на одинаковом расстоянии от прямых $7 x+y+10 = 0$ и $x + y+2 = 0$.

Даны две пересекающиеся прямые $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0, A_{2} x + B_{2} y+C_{2} = 0$ и точка $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, не принадлежащая ни одной из этих прямых. Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми, в котором лежит эта точка.

Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми $2 x-y-1 = 0$ и $11 x+2 y+8 = 0$, внутри которого лежит точка $(1,2)$.

Написать уравнение биссектрисы острого угла между двумя прямыми $x-3 y-1 = 0$ и $3 x-y+5 = 0$.

Написать уравнения касательных к окружности с центром $(1,1)$ и радиусом 2, проведенных из точки $(-7,-1)$.

Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями: $3 x-4 y = 0,4 x-3 y = 0,5 x+12 y-10 = 0$.

Дана вершина $(4,0)$ треугольника и его высоты, проведенные из двух других вершин: $3 x-y-2 = 0, x+y = 0$. Найти эти вершины.

Центр симметрии квадрата находится в точке $(-1,0)$, а одна из его сторон задается уравнением $x+3 y-5 = 0$. Составить уравнения трех других сторон.

Составить уравнения сторон квадрата, две параллельные стороны которого проходят через точки $(2,1)$ и $(3,5)$, а две другие через точки $(0,1)$ и $(-3,-1)$.

Составить уравнение окружности радиусом $\sqrt{5}$, касающейся прямой $x+2 y-3 = 0$, зная, что ее центр лежит на оси $O y$.

Составить уравнение касательных к окружности

параллельных прямой $3 x-4 y = 0$.

Составить уравнение касательных к окружности

перпендикулярных прямой $4 x+3 y = 0$.

Найти центр круга, вписанного в треугольник, ограниченный осями координат и прямой $3 x-4 y-5 = 0$.

Найти центр $C$ и радиус $r$ окружности, проходящей через точку $(-1,3)$ и касающейся прямых $7 x+y = 0, x-y+8 = 0$.

Найти центр $C$ и радиус $r$ круга, вписанного в треугольник, стороны которого заданы уравнениями: $x+y+12 = 0,7 x+y = 0$, $7 x-y+28 = 0$.

Найти координаты центра окружности:

Дан треугольник с вершинами $A(1,1), B(-1,-1), C(7,-5)$. Найти уравнения биссектрис внутренних углов, центр $C$ вписанного круга и его радиус $r$.

В условиях предыдущей задачи найти центр $C^{\prime }$ и радиус $r^{\prime }$ круга, касающегося стороны $A B$ и продолжений сторон $A C$ и $B C$ треугольника $A B C$.

Задача 321: дан треугольник с вершинами $A(1,1), B(-1,-1), C(7,-5)$.

По двум вершинам $A(0,1), B(1,1)$ и точке пересечения высот $P(-3,4)$ треугольника найти третью вершину $C$.

(Прямая Эйлера). Доказать, что во всяком треугольнике точка пересечения высот, точка пересечения медиан и центр описанного круга лежат на одной прямой.

Написать уравнения сторон ромба $A B C D$, зная точку $M(1,6)$ пересечения его диагоналей и точки на трех его сторонах: $P(3,0)$ на $A B, Q(6,6)$ — на $B C, R(5,9)$ — на $C D$.

Написать уравнения сторон квадрата $A B C D$, зная его центр $(1,6)$ и точки на двух его смежных сторонах: $(4,9)$ — на $A B,(-5,4)$ на $B C$.

Даны вершина $P(3,5)$ равнобедренного треугольника, уравнение его основания $x-2 y+12 = 0$ и площадь $S = 15$. Написать уравнения боковых сторон.

Пусть $v_{1}$ и $v_{2}$ — направляющие векторы прямых $\ell_{1}$ и $\ell_{2}$ соответственно. Известно, что угол от вектора $v_{1}$ до вектора $v_{2}$ равен $6 \pi / 5$. Чему равен угол:

Определить (ориентированный) угол от первой прямой до второй, если известны их угловые коэффициенты $k_{1} = 1 / 3$ и $k_{2} = -1 / 2$ соответственно.

Через точку $(3,1)$ провести прямые, образующие с прямой $2 x+3 y-1 = 0$ угол $\pi / 4$.

Найти внутренние углы треугольника, образованного прямыми

Даны координаты $\left(\alpha_{1}, \beta_{1}\right),\left(\alpha_{2}, \beta_{2}\right)$ направляющих векторов двух пересекающихся прямых. Выразить через них угол от первой прямой до второй.

Даны две точки $A(3,3), B(0,2)$. На прямой $x+y-4 = 0$ найти точку $M$, из которой отрезок $A B$ виден под углом $\pi / 4$.

Даны уравнения основания равнобедренного треугольника $x+y-1 = 0$ и боковой его стороны $x-2 y-2 = 0$; точка $(-2,0)$ лежит на другой боковой стороне. Найти уравнение третьей стороны треугольника.

Даны две прямые: $x+y = 0$ и $x-2 y+6 = 0$. Найти третью прямую так, чтобы вторая из указанных прямых была биссектрисой угла между ней и первой прямой.

Даны две вершины треугольника $A B C: A(1,2), B(3,4)$ и тангенсы внутренних углов при этих вершинах: $\operatorname {tg} A = -1 / 2, \operatorname {tg} B = 1 / 3$.

Найти третью вершину треугольника, зная, что она лежит по ту же сторону от прямой $A B$, что и начало координат.

Даны две прямые $x+y+1 = 0$ и $7 x-y+7 = 0$. Найти косинус того угла между ними, в котором лежит точка $(1,2)$.

Даны две прямые $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0, A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$ и точка $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, не принадлежащая ни одной из этих прямых. Найти косинус того угла $\varphi$ между ними, в котором лежит данная точка.

Три прямые $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0, A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$ и $A_{3} x + B_{3} y+C_{3} = 0$ образуют треугольник. Найти косинус внутреннего угла этого треугольника, образованного первой и второй прямыми.

Три прямые $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} = 0, A_{2} x+B_{2} y+C_{2} = 0$ и $A_{3} x + B_{3} y+C_{3} = 0$ проходят через одну точку. Найти необходимое и достаточное условие того, что третья прямая проходит в остром угле, образованном первой и второй прямыми.