Геометрические места точек, составление уравнений кривых на плоскости

Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами есть среднее арифметическое длин осей.

Вычислить эксцентриситет равносторонней гиперболы.

Вычислить длину отрезка асимптоты гиперболы

заключенного между ее центром и директрисой.

Доказать, что, если длины полуосей эллипса не совпадают, то прямоугольная система координат, в которой он записывается уравнением вида (2.1), определена однозначно с точностью до направления осей координат. Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для гиперболы и параболы.

(Фокальное свойство эллипса). Даны две точки $F_{1}$ и $F_{2}$, pacстояние между которыми $2 c$. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до точек $F_{1}$ и $F_{2}$ равна $2 a$ при условии $a > c$.

(Фокальное свойство гиперболы). Даны две точки $F_{1}$ и $F_{2}$ на расстоянии $2 c$ друг от друга. Найти геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до точек $F_{1}$ и $F_{2}$ равна $2 a$, при условии $c > a$.

Найти геометрическое место точек — центров окружностей, касающихся двух фиксированных окружностей с центрами $O_{1}, O_{2}$ и радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$ соответственно, где $r_{2} > r_{1}$. Рассмотреть следующие случаи:

(Директориальное свойство параболы). Найти геометрическое место точек, равноудаленных от точки $F$ и прямой $d$, отстоящей от точки $F$ на расстоянии $p$.

Найти геометрическое место точек- центров окружностей, касающихся данных прямой $\ell$ и окружности радиусом $r$ с центром $O$.

(Директориальное свойство эллипса и гиперболы). Даны точка $F$, прямая $d$ и положительное число $e \neq 1$. Найти геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до точки $F$ к расстоянию до прямой $d$ равно $e$.

Найти геометрическое место точек, делящих в отношении $\lambda \neq 1$ хорды окружности $x^{2}+y^{2} = a^{2}$, параллельные оси $O y$.

Дана окружность $x^{2}+y^{2} = a^{2}$. Во что превратится эта окружность, если, не меняя абсцисс ее точек, уменьшить их ординаты в $k$ раз?

Даны две точки: $A_{1} = (-a, 0), A_{2} = (a, 0)$. Найти геометрическое место точек пересечения прямых, проходящих через точки $A_{1}$ и $A_{2}$ и отсекающих на оси ординат отрезки, произведение которых равно:

(Оптическое свойство эллипса). Доказать, что касательная к эллипсу в произвольной его точке делит пополам угол между одним фокальным радиусом и продолжением другого.

(Оптическое свойство гиперболы). Доказать, что касательная к гиперболе в произвольной ее точке делит пополам угол между фокальными радиусами.

(Оптическое свойство параболы). Доказать, что касательная к параболе в произвольной ее точке делит пополам угол между фокальным радиусом и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.

Доказать, что гиперболы, имеющие общие фокусы с данным эллипсом, пересекают последний под прямым углом.

Определить наибольшее и наименьшее значения отношения $\left|\mathbf{r}_{1}\right| /\left|\mathbf{r}_{2}\right|$ для эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,(a > b)$, где $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$ — фокальные радиусы точки эллипса для левого и правого фокусов.

Найти геометрическое место точек, симметричных фокусу невырожденной линии второго порядка относительно касательных к этой линии.

Найти геометрическое место проекций фокуса линии второго порядка на всевозможные касательные к ней.

Пусть траектория $P_{0} P_{1} P_{2} P_{3} \ldots$ луча света внутри зеркального эллипса не проходит через фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$. Доказать, что:

(Шары Данделена). Дан прямой круговой конус с углом $\alpha$ между осью конуса и его образующими. Плоскость $\Gamma$, не содержащая вершины конуса, составляет с осью конуса угол $\beta$, причем $\beta > \alpha$. Впишем в конус два шара, касающихся плоскости Г в точках $F_{1}$ и $F_{2}$. Доказать, что линия пересечения плоскости $\Gamma$ с конусом есть эллипс с фокусами в точках $F_{1}$ и $F_{2}$.

(Шары Данделена). Дан прямой круговой конус с углом $\alpha$ между осью конуса и его образующими. Плоскость $\Gamma$, не содержащая вершины конуса, составляет с осью конуса угол $\beta$, причем $\beta < \alpha$. Впишем в конус два шара, касающихся плоскости $\Gamma$ в точках $F_{1}$ и $F_{2}$. Доказать, что линия пересечения плоскости $\Gamma$ с конусом есть гипербола с фокусами в точках $F_{1}$ и $F_{2}$.

В условиях двух предыдущих задач показать, что две плоскости, проходящие через окружности, состоящие из точек касания шаров Данделена и конуса, пересекают плоскость Г по директрисам соответствующего эллипса (гиперболы).

Задачи 207–208: дан прямой круговой конус с углом $\alpha$ между осью конуса и его образующими. Плоскость $\Gamma$, не содержащая вершины конуса, составляет с осью конуса угол $\beta$, причем $\beta > \alpha$ (соответственно $\beta < \alpha$). Впишем в конус два шара, касающихся плоскости $\Gamma$ в точках $F_{1}$ и $F_{2}$; тогда линия пересечения плоскости $\Gamma$ с конусом есть эллипс (соответственно гипербола) с фокусами в точках $F_{1}$ и $F_{2}$.

Дан прямой круговой конус. Плоскость $Г$, не содержащая вершины конуса, составляет с осью конуса угол, равный углу между осью конуса и его образующими. Доказать, что линия пересечения плоскости Г и конуса является параболой.

Отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Точка $M$ делит его на две части, длины которых $a$ и $b$. Найти линию, описываемую точкой $M$ при движении отрезка.

Даны две окружности с центром в начале координат $O$ и радиусами $a$ и $b$, причем $a > b$. Вокруг точки $O$ вращается луч, пересекающий первую окружность в точке $A$, а вторую — в точке $B$. Через точки $A$ и $B$ проводятся прямые, перпендикулярные соответственно осям $O x$ и $O y$. Найти линию, описываемую точкой пересечения этих прямых при вращении луча.

Дан эллипс $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16} = 1$. Составить его уравнение в полярной системе координат, принимая за полюс:

Составить уравнение гиперболы $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16} = 1$ в (обобщенной) полярной системе координат, принимая за полюс:

Составить уравнение параболы $y^{2} = 2 x$ в полярной системе координат, принимая за полюс фокус параболы, а за направление полярной оси — положительное направление оси $O x$.

Какие кривые задаются следующими уравнениями в обобщенной полярной системе координат:

Пусть $M_{1}$ и $M_{2}$ — точки пересечения конического сечения с прямой, проходящей через фокус $F$. Доказать, что $\frac{1}{M_{1} F}+\frac{1}{M_{2} F} = \frac{2}{p}$, где $p$ — фокальный параметр.

Через центр эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ проведены два взаимно перпендикулярных диаметра. Доказать, что сумма квадратов обратных величин их длин равна $\frac{1}{4 a^{2}}+\frac{1}{4 b^{2}}$.

Найти отношение, в котором центр эллипса или гиперболы делит отрезок ее фокальной оси, заключенный между фокусом и соответствующей директрисой.

Дана окружность радиусом $a$ с центром в точке $O$ и ее диаметр $B C$. По окружности движется переменная точка $A$. На луче $O A$ откладывается отрезок $O M$, равный расстоянию от точки $A$ до прямой $B C$. Найти кривую, описываемую точкой $M$.

Даны точка $O$ и прямая $\ell$, находящаяся от точки $O$ на расстоянии $a$. Вокруг точки $O$ вращается луч, пересекающий прямую $\ell$ в переменной точке $P$. На этом луче от точки $O$ откладывается отрезок $O M$ так, что $\left|O M\right| \cdot \left|O P\right| = b^{2}$. Найти линию, описываемую точкой $M$ при вращении луча.

В окружности радиусом $a$ проведен диаметр $O A$. Вокруг его конца $O$ вращается луч, пересекающий окружность в переменной точке $B$. На продолжении хорды $O B$ за точку $B$ откладывается отрезок $B M$, равный $A B$. Найти линию, описываемую точкой $M$ при вращении луча.

Две вершины треугольника закреплены в точках $A$ и $B$, причем $\left|A B\right| = c$; третья вершина перемещается по окружности радиуса $b$ с центром в точке $A$. Какую линию описывает при этом точка $D$ пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $B C$?

Пусть $\Gamma$ — некоторая алгебраическая кривая. Доказать, что любая прямая либо пересекает Г лишь в конечном числе точек, либо целиком содержится в $\Gamma$.

Доказать, что кривая $y = \sin x$ не является алгебраической.

(Спираль Архимеда). Вокруг точки $O$ вращается луч с постоянной угловой скоростью $\omega$. По нему движется точка $M$ с постоянной скоростью $v$. Составить уравнение линии, описываемой точкой $M$ в полярных координатах, если в начальный момент движения луч совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а точка $M$ — с началом координат $O$. Сделать эскиз полученной кривой.

Доказать, что в предыдущей задаче спираль Архимеда касается вращающегося луча в начальный момент времени.

Доказать, что спираль Архимеда не является алгебраической кривой.

(Лемниската Бернулли). Даны две точки $F_{1}$ и $F_{2}$ на расстоянии $2 c$ друг от друга. Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от которых до точек $F_{1}$ и $F_{2}$ равно $c^{2}$, принимая за начало координат середину отрезка $F_{1} F_{2}$, а за ось абсцисс — прямую $F_{1} F_{2}$. Перейти к соответствующей системе полярных координат. Сделать эскиз кривой.

Под каким углом лемниската Бернулли из предыдущей задачи пересекает ось $O x$:

(Овал Декарта). В полярной системе координат найти уравнение геометрического места точек, расстояния $\rho_{A}$ и $\rho_{B}$ от которых до двух постоянных точек $A$ и $B$, удаленных друг от друга на расстояние $c$, удовлетворяют равенству $\rho_{B} = a \rho_{A}+b$, принимая $A$ за полюс, а прямую $A B$ — за полярную ось.

В прямоугольных треугольниках, образованных осями координат и пересекающими их прямыми, лежащих в первой и третьей четвертях и имеющих одну и ту же площадь $s > 0$, опускаются перпендикуляры из начала координат на гипотенузу. Найти геометрическое место оснований этих перпендикуляров. Сделать эскиз.

(Циссоида Диоклеса). На окружности радиусом $a$ взяты две диаметрально противоположные точки $O$ и $K$, в точке $K$ к окружности проведена касательная. Вокруг точки $O$ вращается луч, пересекающий окружность и касательную соответственно в точках $A$ и $B$. На этом луче от точки $O$ откладывается отрезок $\left|O M\right| = \left|A B\right|$. Написать уравнение линии, описываемой точкой $M$ при вращении луча, в полярных и прямоугольных координатах, принимая за начало координат точку $O$, а за положительное направление оси $O x$ — направление $\overrightarrow {O K}$. Сделать эскиз кривой.

В условиях предыдущей задачи доказать, что циссоида Диоклеса касается оси $O x$, а прямая $x = 2 a$ является ее асимптотой.

Задача 233: на окружности радиусом $a$ взяты две диаметрально противоположные точки $O$ и $K$, в точке $K$ к окружности проведена касательная. Вокруг точки $O$ вращается луч, пересекающий окружность и касательную соответственно в точках $A$ и $B$. На этом луче от точки $O$ откладывается отрезок $\left|O M\right| = \left|A B\right|$; линия, описываемая точкой $M$ при вращении луча, — циссоида Диоклеса, с началом координат в точке $O$ и положительным направлением оси $O x$ вдоль $\overrightarrow {O K}$.

(Конхоида Никомеда). Даны точка $O$ и прямая $\ell$ на расстоянии $a$ от точки $O$. Вокруг точки $O$ вращается луч. Пусть прямая, содержащая этот луч, пересекает прямую $\ell$ в переменной точке $B$. На прямой $O B$ от точки $B$ в направлении луча откладывается отрезок $B M,\left|B M\right| = b$. Найти уравнение линии, описываемой точкой $M$ при вращении луча, в обобщенных полярных и прямоугольных координатах, принимая за начало координат точку $O$, а за положительное направление оси $O x$ — луч $\overrightarrow {O A}$, где $A$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $\ell$. Сделать эскиз этой линии.

(Улитка Паскаля). На окружности взяты две диаметрально противоположные точки $O$ и $A$, причем $\left|O A\right| = a$. Вокруг точки $O$ вращается луч. Пусть $B$ — переменная точка пересечения прямой, содержащей этот луч, с окружностью. На прямой $O B$ от точки $B$ в направлении луча откладывается отрезок $B M$ длины $b$. Написать в обобщенных полярных и прямоугольных координатах уравнение линии, описываемой точкой $M$ при вращении луча, принимая за начало координат точку $O$ и за положительное направление оси $O x$ — направление $\overrightarrow {O A}$.

Указать, под каким углом улитка Паскаля из предыдущей задачи пересекает ось $O x$ в начале координат

Доказать, что геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные к данной окружности, является улиткой Паскаля.

(Кардиоида). Дана окружность радиусом $a$ и на ней две диаметрально противоположные точки $O$ и $A$. Вокруг точки $O$ вращается луч. Пусть прямая, содержащая этот луч, пересекает окружность в переменной точке $B$. На этой прямой от точки $B$ в направлении луча откладывается отрезок $B M$, равный диаметру окружности. Написать в обобщенных полярных и прямоугольных координатах уравнение линии, описываемой точкой $M$ при вращении луча, принимая за начало координат точку $O$, а за положительное направление оси $O x$ — луч $O A$.

(Строфоида). Дана точка $O$ и прямая $\ell$. Пусть $A$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $\ell$, причем $\left|O A\right| = a$. Вокруг точки $O$ вращается луч, и на прямой, содержащей этот луч, от точки $B$ ее пересечения с прямой $\ell$ откладываются отрезки $\left|B M_{1}\right| = \left|B M_{2}\right| = \left|A B\right|$. Написать уравнение линии, описываемой точками $M_{1}$ и $M_{2}$ при вращении луча, в обобщенных полярных и прямоугольных координатах, принимая за начало координат точку $O$, а за положительное направление оси $O x$ — луч $O A$.

Под каким углом строфоида из предыдущей задачи пересекает ось $Ox$:

Отрезок постоянной длины $2 a$ скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Найти уравнение линии, описываемой при этом движении отрезка основанием перпендикуляра, опущенного из точки пересечения прямых на отрезок, в обобщенных полярных и прямоугольных координатах.

(Астроида). Дана окружность с центром $O$ и радиусом $a$ и две перпендикулярные прямые $O x$ и $O y$. По окружности перемещается точка $A$, и из нее опускаются перпендикуляры: $A B$ на $O x, A C$ на $O y$ и $A M$ на $B C$. Написать параметрическое уравнение линии, описываемой точкой $M$ при перемещении точки $A$ по окружности, принимая за параметр угол $t$, образуемый лучом $O A$ с осью $O x$. Написать уравнение этой линии в декартовых координатах. Сделать эскиз.

Доказать, что астроида является алгебраической кривой и найти задающее ее алгебраическое уравнение в условиях предыдущей задачи.

Задача 243: дана окружность с центром $O$ и радиусом $a$ и две перпендикулярные прямые $O x$ и $O y$; астроида — линия, описываемая точкой $M$ в этой системе координат, с параметрическим уравнением $x = a \cos^{3} t, y = a \sin^{3} t$.

(Верзьера Марии Аньези). На окружности диаметром $a$ взяты две диаметрально противоположные точки $O$ и $K$, и в точке $K$ к окружности проведена касательная. Вокруг точки $O$ вращается луч, пересекающий окружность и касательную соответственно в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведена прямая, параллельная касательной, а через точку $B$ — прямая, параллельная диаметру $O K$. Написать параметрическое уравнение линии, описываемой точкой $M$ пересечения этих прямых, принимая за начало координат точку $O$, за положительное направление оси $O x$ — направление $\overrightarrow {O K}$ и за параметр — угол $\varphi$, образуемый лучом $O A$ с лучом $O K$. Написать полученное уравнение в декартовых координатах. Сделать эскиз линии.

(Циклоида). По оси $O x$ без скольжения катится окружность радиусом $a$. Составить параметрическое уравнение линии, описываемой той точкой $M$ катящейся окружности, которая в начальный момент находилась в начале координат, принимая за параметр $t$ угол от радиуса окружности $C M$, идущего в точку $M$, до радиуса $C A$, идущего в точку $A$ касания.

(Эпициклоида). Круг радиусом $r$ без скольжения катится по кругу радиусом $R$, оставаясь вне его. Найти параметрическое уравнение линии, описываемой точкой катящегося круга, принимая за начало координат центр неподвижного круга, а за параметр — угол $t$ между положительным направлением оси абсцисс и радиусом неподвижного круга, идущим в точку касания обоих кругов. В начальном положении точка касания кругов лежит на оси абсцисс.

(Гипоциклоида). Круг радиусом $r$ без скольжения катится по кругу радиусом $R$, оставаясь внутри него. Написать параметрическое уравнение линии, описываемой точкой катящегося круга. Выбор системы координат и обозначений такой же, как в предыдущей задаче.

Показать, что:

Дана окружность радиусом $R$. Доказать, что:

Отрезок постоянной длины движется так, что один его конец скользит по окружности $x^{2}+y^{2} = r^{2}$, а другой — по оси $O x$ (шатунно-кривошипный механизм). Составить уравнение кривой, которую описывает точка отрезка, делящая его на части длины $a$ и $b$.

(Эвольвента окружности). По окружности $x^{2}+y^{2} = r^{2}$ без скольжения катится прямая, начальное положение которой $x = r$. Составить параметрические уравнения траектории точки катящейся прямой, если в начальный момент точка имеет координаты $(r, 0)$, принимая за параметр угол от положительного направления оси $O x$ до радиус-вектора точки касания прямой, отсчитываемый против часовой стрелки.

Три вершины ромба лежат на сторонах $A B, B C$ и $C D$ данного квадрата соответственно. Где может лежать четвертая вершина?

Доказать, что следующие кривые являются кардиоидами:

Дана окружность и на ней точка A. Доказать, что окружности, проходящие через точку $A$, центры которых лежат на данной окружности, заметают область, ограниченную некоторой кардиоидой.

Вершина $O$ шарнирного параллелограмма $O P M Q$ закреплена, а стороны $O P$ и $O Q$ вращаются с одинаковой по абсолютной величине угловой скоростью в разные стороны. По какой линии движется вершина $M$?

Две прямые на плоскости вращаются в разные стороны с одинаковой по абсолютной величине угловой скоростью вокруг точек $A$ и $B$, лежащих на них. По какой линии движется точка их пересечения?

На плоскости дан отрезок $A B$. Найти геометрическое место таких точек $M$, что $\angle M B A = 2 \angle M A B$.

Является ли кривая $y = e^{x}$ алгебраической?