Банк задач по математике

Задача 0.1

Изучите приведённые ниже формальные описания множеств, чтобы понять, какие элементы они содержат. Дайте краткое неформальное описание каждого множества.

?

(a)

$\left\{ 1, 3, 5, 7, \ldots \right\}$

(b)

$\left\{ \ldots ,-4,-2,0,2,4,\ldots \right\}$

(c)

$\left\{ n \mid n=2 m\text{ for some }m\text{ in }\mathcal{N}\right\}$

(d)

$\left\{ n \mid n=2 m\text{ for some }m\text{ in }\mathcal{N}\text{, and }n=3 k\text{ for some }k\text{ in }\mathcal{N}\right\}$

(e)

$\left\{ w \mid w\text{ is a string of 0s and 1s and }w\text{ equals the reverse of }w\right\}$

(f)

$\left\{ n \mid n\text{ is an integer and }n=n+1\right\}$

Задача 0.2

Запишите формальные описания следующих множеств.

?

(a)

Множество, содержащее числа 1, 10 и 100

(b)

Множество, содержащее все целые числа, которые больше 5

(c)

Множество, содержащее все натуральные числа, которые меньше 5

(d)

Множество, содержащее строку aba

(e)

Множество, содержащее пустую строку

(f)

Множество, не содержащее вообще ничего

Задача 0.3

Пусть $A$ — множество $\left\{ \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\right\}$ , а $B$ — множество $\left\{ \mathrm{x}, \mathrm{y}\right\}$ .

?

(a)

Является ли $A$ подмножеством $B$ ?

(b)

Является ли $B$ подмножеством $A$ ?

(c)

Чему равно $A \cup B$ ?

(d)

Чему равно $A \cap B$ ?

(e)

Чему равно $A \times B$ ?

(f)

Чему равно множество всех подмножеств $B$ ?

Задача 0.4

Если $A$ содержит $a$ элементов, а $B$ содержит $b$ элементов, сколько элементов в $A \times B$ ? Обоснуйте свой ответ.

?

Задача 0.5

Если $C$ — множество из $c$ элементов, сколько элементов в множестве всех подмножеств $C$ ? Обоснуйте свой ответ.

?

Задача 0.6

Пусть $X$ — множество $\left\{ 1,2,3,4,5\right\}$ , а $Y$ — множество $\left\{ 6,7,8,9,10\right\}$ . Унарная функция $f: X \longrightarrow Y$ и бинарная функция $g: X \times Y \longrightarrow Y$ описаны в следующих таблицах.

$n$	$f(n)$
1	6
2	7
3	6
4	7
5	6

$g$	6	7	8	9	10
1	10	10	10	10	10
2	7	8	9	10	6
3	7	7	8	8	9
4	9	8	7	6	10
5	6	6	6	6	6

?

(a)

Чему равно значение $f(2)$ ?

(b)

Что является областью значений и областью определения $f$ ?

(c)

Чему равно значение $g(2,10)$ ?

(d)

Что является областью значений и областью определения $g$ ?

(e)

Чему равно значение $g(4, f(4))$ ?

Задача 0.7

(a)(b)(c)

Для каждого пункта приведите отношение, удовлетворяющее указанному условию.

?

(a)

Рефлексивное и симметричное, но не транзитивное

(b)

Рефлексивное и транзитивное, но не симметричное

(c)

Симметричное и транзитивное, но не рефлексивное

Задача 0.8

Рассмотрим неориентированный граф $G=(V, E)$ , где $V$ — множество вершин, равное $\left\{ 1,2,3,4\right\}$ , а $E$ — множество рёбер, равное $\left\{ \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 2,3\right\} ,\left\{ 1,3\right\} ,\left\{ 2,4\right\} ,\left\{ 1,4\right\} \right\}$ . Нарисуйте граф $G$ . Чему равны степени каждой вершины? Отметьте на своём рисунке графа $G$ путь из вершины 3 в вершину 4.

?

Задача 0.9

Запишите формальное описание следующего графа.

?

Упражнения