Глава 2

Группы Ли

[110/93%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 2.1

(Глобальная) группа $n \times n$ матриц называется компактной, если она является ограниченным замкнутым подмножеством множества всех $n \times n$ матриц. Множество $U$ из $n \times n$ матриц называется ограниченным, если существует такая константа $K > 0$ , что $\left|A_{ik}\right| \leq K$ для $1 \leq i, k \leq n$ и всех $A \in U$ . Множество $U$ называется замкнутым, если каждая последовательность Коши в $U$ сходится к матрице из $U$ . Последовательность $n \times n$ матриц $\left\{ A^{(p)}\right\}$ называется последовательностью Коши, если каждая из последовательностей элементов матрицы $\left\{ A_{ik}^{(p)}\right\}$ , $1 \leq i, k \leq n$ , является последовательностью Коши. Ортогональная группа $O(3, \mathbb {R})$ состоит из всех $3 \times 3$ матриц $A$ над $\mathbb {R}$ с $AA^{T} = I_{3}$ . Показать, что ортогональная группа $O(3, \mathbb {R})$ компактна.

Задача 2.2

(i)(ii)(iii)(iv)

Группа Ли $SU(1,1)$ состоит из множества всех $2 \times 2$ псевдоунитарных матриц (с определителем $1$ ), сохраняющих квадратичную форму

\left|z_{1}\right|^{2} - \left|z_{2}\right|^{2}, \quad (z_{1}, z_{2} \in \mathbb {C}) .

(i)

Показать, что $2 \times 2$ матрица

U(\tau , \alpha , \beta ) = \begin{pmatrix} \cosh (\tau /2) e^{-i\alpha } & \sinh (\tau /2) e^{-i\beta } \\ \sinh (\tau /2) e^{i\beta } & \cosh (\tau /2) e^{i\alpha } \end{pmatrix} \tag {1}

сохраняет квадратичную форму $\left|z_{1}\right|^{2} - \left|z_{2}\right|^{2}$ $(z_{1}, z_{2} \in \mathbb {C})$ , где $\tau , \alpha , \beta \in \mathbb {R}$ .

(ii)

Показать, что $\operatorname {det}\left(U(\tau , \alpha , \beta )\right) = 1$ .

(iii)

Найти обратную матрицу к $U(\tau , \alpha , \beta )$ .

(iv)

Показать, что $U_{1}(\tau_{1}, \alpha_{1}, \beta_{1}) U_{2}(\tau_{2}, \alpha_{2}, \beta_{2})$ с $\alpha_{1} + \alpha_{2} = \beta_{1} - \beta_{2}$ снова является матрицей вида (1).

Задача 2.3

Основное поле — поле вещественных чисел $\mathbb {R}$ . Элементы группы Ли $SO(n)$ удовлетворяют $A^{T}A = I_{n}$ и $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$ . Пусть дана произвольная матрица вращения $R \in SO(n)$ . Если $R$ не имеет $-1$ в качестве собственного значения, то существует единственная кососимметрическая матрица $S$ ( $S^{T} = -S$ ), такая что

R = (I_{n} - S)(I_{n} + S)^{-1} .

Матрица $R$ называется преобразованием Кэли матрицы $S$ . Пусть $n = 2$ и

S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

Найти $R$ .

Задача 2.4

(i)(ii)

Групповой коммутатор $[A, B]$ двух элементов $A$ и $B$ группы $G$ определяется как

[A, B] := A^{-1}B^{-1}AB .

Коммутатор является своего рода мерой того, насколько близко $A$ и $B$ подходят к коммутированию: $[A, B]$ есть единичный элемент группы $G$ тогда и только тогда, когда $AB = BA$ .

(i)

Рассмотрим группу матриц с матричным умножением в качестве композиции. Вычислить $\operatorname {det}\left([A,B]\right)$ .

(ii)

Группа Ли $U(2)$ состоит из всех $2 \times 2$ унитарных матриц $U$ , т.е. $UU^{*} = I_{2}$ . Пусть

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

— элементы $U(2)$ . Вычислить $[A, B]$ .

Задача 2.5

Матрица вращения

A(\phi ) = \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}

является элементом $SO(2)$ , т.е. $A(\phi )A^{T}(\phi ) = I_{2}$ и $\operatorname {det}\left(A(\phi )\right) = 1$ . Является ли матрица

B(\phi ) = \begin{pmatrix} \cos \phi & 0 & 0 & \sin \phi \\ 0 & \cos \phi & \sin \phi & 0 \\ 0 & -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ -\sin \phi & 0 & 0 & \cos \phi \end{pmatrix}

элементом $SO(4)$ ?

Задача 2.6

Пусть $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Матрица

B(\epsilon ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \epsilon \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

является элементом группы Ли $SL(3, \mathbb {R})$ . Найти матрицу $A$ такую, что $\mathrm{exp}\left(\epsilon A\right) = B(\epsilon )$ .

Задача 2.7

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим $2 \times 2$ матрицу

g = \begin{pmatrix} a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib \end{pmatrix}

где $a, b, c, d \in \mathbb {R}$ и $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} = 1$ . Таким образом, $g \in SU(2)$ . Пусть $\sigma_{1}$ , $\sigma_{2}$ , $\sigma_{3}$ — матрицы Паули. Определим $\tau_{j} = \frac{1}{2}\sigma_{j}$ для $j = 1, 2, 3$ .

(i)

Вычислить

g^{-1}\tau _{1}g, \qquad g^{-1}\tau _{2}g, \qquad g^{-1}\tau _{3}g .

(ii)

Найти $3 \times 3$ матрицу $G$ из соотношения

(g^{-1}\tau _{1}g, g^{-1}\tau _{2}g, g^{-1}\tau _{3}g) = (\tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{3})G

где $(\tau_{1}, \tau_{2}, \tau_{3})G$ определяется как

(\tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{3})G = (\tau _{1}G_{11}+\tau _{2}G_{21}+\tau _{3}G_{31}, \ \tau _{1}G_{12}+\tau _{2}G_{22}+\tau _{3}G_{32}, \ \tau _{1}G_{13}+\tau _{2}G_{23}+\tau _{3}G_{33}) .

(iii)

Пусть

M = \begin{pmatrix} 0 & -b & c \\ b & 0 & -d \\ -c & d & 0 \end{pmatrix} .

Показать, что $G$ можно записать в виде

G = I_{3} + 2aM + 2M^{2} . \tag {1}

Задача 2.8

(i)(ii)(iii)

(i)

Рассмотрим группу Ли $GL(2, \mathbb {R})$ . Пусть

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in GL(2, \mathbb {R}) .

Таким образом, $\operatorname {det}\left(A\right) \neq 0$ . Показать, что так называемое преобразование Мёбиуса

z \to \frac{az+b}{cz+d}

расширенной комплексной плоскости $\mathbb {C} \cup \left\{ \infty \right\}$ образует группу относительно композиции функций.

(ii)

Показать, что эта группа изоморфна факторгруппе $GL(2, \mathbb {R})$ по её центру.

(iii)

Показать, что группа Мёбиуса изоморфна $SL(2, \mathbb {R})$ .

Задача 2.9

(i)(ii)(iii)

(i)

Пусть $A \in SL(2, \mathbb {R})$ , т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) = 1$ . Показать, что

A^{2} - \tr (A)A + I_{2} = 0_{2} .

(ii)

Пусть $A \in SL(2, \mathbb {R})$ . Показать, что $\tr (A) = \tr (A^{-1})$ .

(iii)

$A, B \in SL(2, \mathbb {R})$ . Показать, что $\tr (AB) = \tr A \, \tr B - \tr (AB^{-1})$ .

Задача 2.10

(i)(ii)

(i)

Пусть $A \in SL(2, \mathbb {C})$ . Показать, что

A^{2} = \tr (A)A - I_{2}, \qquad A + A^{-1} = \tr (A)I_{2} .

(ii)

Показать, что

A^{n} = U_{n-1}(x)A - U_{n-2}I_{2}

где $x := \frac{1}{2}\tr A$ , а $U_{n}(x)$ — многочлены Чебышёва второго рода, определённые как

\begin{align} U_{-1}(x) & := 0, \qquad U_{0}(x) := 1 \\ U_{n+1}(x) & := 2xU_{n}(x) - U_{n-1}(x), \qquad n = 1, 2, \ldots . \end{align}

Применить теорему Кэли-Гамильтона. Теорема Кэли-Гамильтона утверждает, что каждая $n \times n$ матрица над коммутативным кольцом (таким как $\mathbb {R}$ , $\mathbb {C}$ , $\operatorname {char}\mathbb {F} = 2$ ) удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению.

Задача 2.11

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ и её алгебру Ли $s\ell (2, \mathbb {R})$ . Алгебра Ли $s\ell (2, \mathbb {R})$ состоит из всех $2 \times 2$ матриц над $\mathbb {R}$ с нулевым следом. Пусть

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \in SL(2, \mathbb {R})

с собственным значением $-1$ (двукратным). Заметим, что матрица $A$ не является нормальной, т.е. $AA^{T} \neq A^{T}A$ . Показать, что $A \notin \mathrm{exp}\left(s\ell (2,\mathbb {R})\right)$ . Это показывает, что отображение $\exp : s\ell (2, \mathbb {R}) \to SL(2, \mathbb {R})$ не сюръективно, хотя группа Ли $SL(2, \mathbb {R})$ связна.

Задача 2.12

Дана обратимая $4 \times 4$ матрица

G = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Найти две недиагональные матрицы $L$ над $\mathbb {R}$ такие, что $L^{T}GL = G$ . Такие преобразования известны как преобразования Лоренца.

Задача 2.13

Группа $Sp(2n, \mathbb {R})$ состоит из всех вещественных $2n \times 2n$ матриц $S$ , удовлетворяющих условию

S^{T}JS = J

где $J$ — кососимметрическая $2n \times 2n$ матрица

J := \begin{pmatrix} 0_{n} & I_{n} \\ -I_{n} & 0_{n} \end{pmatrix}

с единичной $n \times n$ матрицей $I_{n}$ и нулевой $n \times n$ матрицей $0_{n}$ . Пусть $V$ — вещественная симметричная положительно определённая $2n \times 2n$ матрица. Показать, что существует $S \in Sp(2n, \mathbb {R})$ такая, что

S^{T}VS = D^{2} > 0, \qquad D^{2} = \operatorname {diag}(\kappa _{1}, \kappa _{2}, \ldots , \kappa _{n}, \kappa _{1}, \kappa _{2}, \ldots , \kappa _{n}) .

Задача 2.14

Рассмотрим бесследовые матрицы

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Показать, что матрицы

e^{tA}, \quad e^{tB}, \quad e^{tC}

являются элементами группы Ли $SL(2, \mathbb {R})$ .

Задача 2.15

(i)(ii)

Группа комплексных вращений $O(n, \mathbb {C})$ определяется как группа всех $n \times n$ комплексных матриц $O$ , таких что $OO^{T} = O^{T}O = I_{n}$ , где $T$ означает транспонирование. Эти преобразования сохраняют вещественное скалярное произведение

\overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {y} = \sum _{j=1}^{n} x_{j}y_{j}

так что $(O\overrightarrow {x}) \cdot O\overrightarrow {y} = \overrightarrow {x} \cdot \overrightarrow {y}$ , где $\overrightarrow {x}$ и $\overrightarrow {y}$ — комплексные векторы в общем случае, т.е. $x_{j}, y_{j} \in \mathbb {C}$ .

(i)

Показать, что $2 \times 2$ матрица ( $\alpha \in \mathbb {R}$ )

O = \begin{pmatrix} \cosh \alpha & i\sinh \alpha \\ -i\sinh \alpha & \cosh \alpha \end{pmatrix}

является элементом $O(2, \mathbb {C})$ .

(ii)

Найти частные производные при комплексных ортогональных преобразованиях $O \in O(n, \mathbb {C})$

w_{j}(\overrightarrow {x}) := (O\overrightarrow {x})_{j} = \sum _{k=1}^{n} O_{jk}x_{k}, \qquad j = 1, 2, \ldots , n

т.е. $\partial /\partial w_{j}$ при $j = 1, 2, \ldots , n$ .

Задача 2.16

(i)(ii)(iii)

(i)

Некомпактная группа Ли $SL(2, \mathbb {C})$ состоит из всех $2 \times 2$ матриц над $\mathbb {C}$ с определителем, равным $1$ . Привести $2 \times 2$ матрицу $A$ , являющуюся элементом $SL(2, \mathbb {C})$ , но не элементом компактной группы Ли $SU(2)$ .

(ii)

Максимальная компактная подгруппа Ли группы $SL(3, \mathbb {R})$ — это группа Ли $SO(3)$ . Привести элемент, принадлежащий $SL(3, \mathbb {R})$ , но не принадлежащий $SO(3)$ .

(iii)

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {C})$ . Привести компактную и некомпактную подгруппы $SL(2, \mathbb {C})$ .

Задача 2.17

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ , т.е. множество всех вещественных $2 \times 2$ матриц с определителем, равным $1$ . Динамическую систему в $SL(2, \mathbb {R})$ можно определить как

M_{k+2} = M_{k}M_{k+1}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots \tag {1}

с начальными матрицами $M_{0}, M_{1} \in SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть $F_{k} := \tr M_{k}$ . Показать, что

F_{k+3} = F_{k+2}F_{k+1} - F_{k}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots . \tag {2}

Задача 2.18

Группа Ли $SO(m,n)$ состоит из всех вещественных матриц $S$ , удовлетворяющих условию

S^{T}gS = g

где $\operatorname {det}\left(S\right) = 1$ и $g = \operatorname {diag}(+1,+1,\ldots ,+1,-1,\ldots ,-1)$ с $n$ единицами $+1$ и $m$ единицами $-1$ . Пусть $V$ — вещественная симметричная положительно определённая матрица размерности $N$ . Показать, что для любого выбора разбиения $N = m+n$ существует $S \in SO(m,n)$ такая, что

S^{T}VS = D^{2} = \text{диагональная (и} > 0) .

Задача 2.19

Компактная группа Ли $SO(3, \mathbb {R})$ имеет реализацию как группа всех вещественных $3 \times 3$ матриц $A$ таких, что $A^{T}A = I_{3}$ и $\det A = 1$ . Это естественная реализация $SO(3, \mathbb {R})$ как группы всех вращений в векторном пространстве $\mathbb {R}^{3}$ , оставляющих начало координат неподвижным. Одна из удобных параметризаций $SO(3, \mathbb {R})$ — через углы Эйлера. Вращение на угол $\phi$ вокруг оси $z$ задаётся как

R_{z}(\phi ) = \begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in SO(3, \mathbb {R})

а вращения на угол $\phi$ вокруг осей $x$ и $y$ задаются как

R_{x}(\phi ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi & -\sin \phi \\ 0 & \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix} \in SO(3, \mathbb {R})

R_{y}(\phi ) = \begin{pmatrix} \cos \phi & 0 & \sin \phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \phi & 0 & \cos \phi \end{pmatrix} \in SO(3, \mathbb {R})

соответственно. Продифференцировать каждую из этих матриц по $\phi$ и положить $\phi = 0$ , чтобы найти базис $L_{x}$ , $L_{y}$ , $L_{z}$ простой алгебры Ли $so(3)$ . Вычислить коммутаторы. Найти $\mathrm{exp}\left(\phi L_{x}\right)$ , $\mathrm{exp}\left(\phi L_{y}\right)$ , $\mathrm{exp}\left(\phi L_{z}\right)$ .

Задача 2.20

(i)(ii)

Рассмотрим симплектическую группу $Sp(2, \mathbb {R})$ , состоящую из вещественных $2 \times 2$ матриц $M$ , удовлетворяющих

MNM^{T} = N, \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

Эти матрицы можно также охарактеризовать условием $\operatorname {det}\left(M\right) = 1$ , т.е. $Sp(2, \mathbb {R})$ совпадает с группой $SL(2, \mathbb {R})$ всех вещественных $2 \times 2$ матриц с определителем $1$ .

(i)

Показать, что матрица

A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

является элементом $Sp(2, \mathbb {R})$ . Найти $\operatorname {det}\left(A\right)$ .

(ii)

Элемент $M \in Sp(2, \mathbb {R})$ имеет разложение

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -v & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u^{-1/2} & 0 \\ 0 & u^{1/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

где $v \in \mathbb {R}$ , $u > 0$ , $0 < \theta \leq 2\pi$ . Найти условия на $v, u, \theta$ .

Задача 2.21

Известно, что все $n \times n$ унитарные матрицы образуют группу Ли $U(n)$ относительно матричного умножения. Пусть $U$ — $n \times n$ унитарная матрица. Является ли $\mathrm{exp}\left(U\right)$ унитарной? Является ли $\mathrm{exp}\left(i(U+U^{*})\right)$ унитарной?

Задача 2.22

Рассмотрим группу Ли $U(n)$ . Собственные значения унитарной матрицы имеют вид $e^{i\alpha }$ , где $\alpha \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим унитарную матрицу

U = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} .

Найти собственные значения $U$ и группу, порождённую собственными значениями относительно умножения.

Задача 2.23

(i)(ii)(iii)

(i)

Пусть $K$ — косоэрмитова $n \times n$ матрица, т.е. $K^{*} = -K$ , и $\epsilon \in \mathbb {R}$ . Тогда

V(\epsilon ) := \mathrm{exp}\left(\epsilon K\right)

— унитарная матрица. Унитарные матрицы образуют группу Ли относительно матричного умножения. По данной $V(\epsilon )$ восстановить косоэрмитову матрицу $K$ .

(ii)

Применить технику восстановления к унитарной матрице

V(\epsilon ) = \begin{pmatrix} \cos (\epsilon ) & i\sin (\epsilon ) \\ i\sin (\epsilon ) & \cos (\epsilon ) \end{pmatrix} .

(iii)

Применить технику восстановления к унитарной матрице

V(\epsilon ) = \begin{pmatrix} 0 & e^{i\epsilon } \\ e^{i\epsilon } & 0 \end{pmatrix} .

Задача 2.24

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим полупростую группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ . Пусть $A \in SL(2, \mathbb {R})$ . Тогда $A^{-1} \in SL(2, \mathbb {R})$ . Показать, что $A$ и $A^{-1}$ имеют одни и те же собственные значения.

(ii)

Верно ли это для $A \in SL(3, \mathbb {R})$ ?

Задача 2.25

(i)(ii)

Рассмотрим $2 \times 2$ матрицы

A_{j} = \begin{pmatrix} 1 & 1/j \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad j = 1, 2, \ldots , n

и $2 \times 2$ матрицы

B_{j} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1/j & 1 \end{pmatrix}, \qquad j = 1, 2, \ldots , n .

Очевидно, эти матрицы являются элементами группы Ли $SL(2, \mathbb {R})$ .

(i)

Вычислить обратные матрицы $A_{j}^{-1}$ , $B_{j}^{-1}$ .

(ii)

Вычислить матричные произведения

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}, \qquad A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1} .

Задача 2.26

Пусть $X, Y$ — вещественные банаховы пространства. Пусть $L(X,Y)$ — пространство ограниченных линейных операторов. Если оператор $f$ дифференцируем в точке $u \in X$ , то для всякого $v \in X$

Df(u)(v) = \left. \frac{d}{d\epsilon } f(u+\epsilon v) \right|_{\epsilon =0} .

Это называется производной по направлению (производной Гато) от $f$ в точке $u$ в направлении $v$ . Далее полагаем $X = Y$ . Рассмотрим банахово пространство всех вещественных $n \times n$ матриц с нормой, индуцированной скалярным произведением

\left\langle A, B \right\rangle := \tr (AB^{*}) .

Пусть $f$ — отображение $A \mapsto A^{-1}$ в группе Ли $GL(n, \mathbb {R})$ . Показать, что

Df(A)(B) = -A^{-1}BA^{-1} .

Задача 2.27

Показать, что $SU(1,1,\mathbb {C})$ изоморфна $SL(2, \mathbb {R})$ .

Задача 2.28

Показать, что $SU(2)$ является двулистной накрывающей группой для $SO(3)$ .

Задача 2.29

Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим матрицы

A_{1}(t) = \begin{pmatrix} e^{it} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A_{2}(t) = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A_{3}(t) = \begin{pmatrix} 1 & it \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

являющиеся элементами группы Ли $GL(2, \mathbb {R})$ . Найти матрицы $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ (инфинитезимальные образующие) такие, что

A_{1}(t) = e^{tX_{1}}, \qquad A_{2}(t) = e^{tX_{2}}, \qquad A_{3}(t) = e^{tX_{3}} .

Задача 2.30

(i)(ii)

Следующие три матрицы являются элементами группы Ли $SL(2, \mathbb {R})$ при $t \in \mathbb {R}$

A_{1}(t) = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A_{2}(t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix}, \qquad A_{3}(t) = \begin{pmatrix} e^{t} & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix} .

(i)

Найти $2 \times 2$ матрицы $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ такие, что

A_{1}(t) = e^{tX_{1}}, \qquad A_{2}(t) = e^{tX_{2}}, \qquad A_{3}(t) = e^{tX_{3}} .

(ii)

Вычислить коммутаторы $[X_{1}, X_{2}]$ , $[X_{3}, X_{2}]$ , $[X_{3}, X_{1}]$ .

Задача 2.31

Однопараметрические подгруппы группы Ли $SL(2, \mathbb {R})$ задаются как

\begin{align} A_{1}(t) & = \begin{pmatrix} e^{t/2} & 0 \\ 0 & e^{-t/2} \end{pmatrix} \\ A_{2}(\tau ) & = \begin{pmatrix} \cosh (\tau /2) & \sinh (\tau /2) \\ \sinh (\tau /2) & \cosh (\tau /2) \end{pmatrix} \\ A_{3}(\phi ) & = \begin{pmatrix} \cos (\phi /2) & \sin (\phi /2) \\ -\sin (\phi /2) & \cos (\phi /2) \end{pmatrix} . \end{align}

Найти инфинитезимальные образующие.

Задача 2.32

Рассмотрим подгруппы группы Ли $SU(1,1)$

\begin{pmatrix} e^{i\theta /2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta /2} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \cosh (t/2) & i\sinh (t/2) \\ -i\sinh (t/2) & \cosh (t/2) \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1+\zeta i/2 & \zeta /2 \\ \zeta /2 & 1-\zeta i/2 \end{pmatrix}

где $\theta , t, \zeta \in \mathbb {R}$ . Найти инфинитезимальные образующие.

Задача 2.33

Рассмотрим подгруппы группы Ли $SU(2)$

\begin{pmatrix} e^{i\theta /2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta /2} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \cos (t/2) & -\sin (t/2) \\ \sin (t/2) & \cos (t/2) \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \cos (t/2) & i\sin (t/2) \\ i\sin (t/2) & \cos (t/2) \end{pmatrix}

где $t \in \mathbb {R}$ . Найти инфинитезимальные образующие.

Задача 2.34

Рассмотрим вещественные $2 \times 2$ матрицы $A$ , удовлетворяющие следующим двум условиям. Во-первых, $A$ — матрица вращения, т.е. её строки (а значит, и столбцы) попарно ортонормированы. Во-вторых, потребуем $A^{2} = -I_{2}$ . Найти все такие матрицы.

Задача 2.35

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . $4 \times 4$ матрицы

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh \alpha & 0 & 0 & \sinh \alpha \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sinh \alpha & 0 & 0 & \cosh \alpha \end{pmatrix}

образуют группу Ли. Найти инфинитезимальную образующую.

Задача 2.36

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ . Пусть $T$ — унитарная диагональная $2 \times 2$ матрица

T(\alpha , \beta ) = \begin{pmatrix} e^{i\alpha } & 0 \\ 0 & e^{i\beta } \end{pmatrix} .

Найти условие на унитарную $2 \times 2$ матрицу $U$ , при котором

UT(\alpha , \beta )U^{-1} = T(\alpha ', \beta ') \equiv \begin{pmatrix} e^{i\alpha '} & 0 \\ 0 & e^{i\beta '} \end{pmatrix} .

Задача 2.37

Рассмотрим компактную группу Ли $SO(2, \mathbb {R})$ . Пусть

A(\phi ) = \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}

— элемент $SO(2, \mathbb {R})$ . Найти $2 \times 2$ матрицу $B$ такую, что $B^{-1}A(\phi )B$ диагональна. Чтобы найти $B$ , вычислить собственные значения и нормированные собственные векторы $A(\phi )$ . Является ли $B$ элементом группы Ли $SO(2, \mathbb {R})$ ?

Задача 2.38

Рассмотрим группу Ли $SO(1,1,\mathbb {R})$ . Пусть

A(\phi ) = \begin{pmatrix} \cosh \phi & \sinh \phi \\ \sinh \phi & \cosh \phi \end{pmatrix}

— элемент $SO(1,1,\mathbb {R})$ . Найти $2 \times 2$ матрицу $B$ такую, что $B^{-1}A(\phi )B$ диагональна. Чтобы найти $B$ , вычислить собственные значения и нормированные собственные векторы $A(\phi )$ . Является ли $B$ элементом группы Ли $SO(1,1,\mathbb {R})$ ?

Задача 2.39

Рассмотрим группу Ли $GL(2, \mathbb {R})$ . Показать, что группа Ли $SL(2, \mathbb {R})$ является нормальной подгруппой $GL(2, \mathbb {R})$ . Элементы группы $SL(2, \mathbb {R})$ имеют определитель $1$ . Применить теорему:

Подгруппа $H$ группы $G$ является нормальной в $G$ тогда и только тогда, когда $gHg^{-1} \subseteq H$ для всех $g$ из $G$ .

Задача 2.40

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ . Показать, что каждый элемент $SL(2, \mathbb {R})$ может быть порождён двумя матрицами

\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix}

где $t \in \mathbb {R}$ .

Задача 2.41

(i)(ii)

(i)

Найти обратимую $2 \times 2$ матрицу $X$ , т.е. $X \in GL(2, \mathbb {C})$ , такую что

X \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} X^{-1} = \begin{pmatrix} a & -b \\ -c & d \end{pmatrix} .

(ii)

Найти обратимую $2 \times 2$ матрицу $Y$ , т.е. $Y \in GL(2, \mathbb {C})$ , такую что

Y \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} Y^{-1} = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} .

Задача 2.42

(i)(ii)

Матрицы Паули являются элементами группы Ли $U(2)$ . Кроме того, они эрмитовы.

(i)

Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Найти

\mathrm{exp}\left(z\sigma _{x}\right), \qquad \mathrm{exp}\left(z\sigma _{y}\right), \qquad \mathrm{exp}\left(z\sigma _{z}\right) .

(ii)

Найти

\mathrm{exp}\left(-z\sigma _{x}\right)\sigma _{y}\mathrm{exp}\left(z\sigma _{x}\right), \qquad \mathrm{exp}\left(-z\sigma _{y}\right)\sigma _{z}\mathrm{exp}\left(z\sigma _{y}\right), \qquad \mathrm{exp}\left(-z\sigma _{z}\right)\sigma _{x}\mathrm{exp}\left(z\sigma _{z}\right) .

Задача 2.43

Матрицы Паули являются элементами группы Ли $U(2)$ . Кроме того, они эрмитовы. Пусть $\otimes$ — произведение Кронекера. Тогда $\sigma_{x} \otimes \sigma_{x}$ , $\sigma_{y} \otimes \sigma_{y}$ , $\sigma_{z} \otimes \sigma_{z}$ являются элементами группы Ли $U(4)$ . Эти матрицы также эрмитовы. Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Найти

\mathrm{exp}\left(z\sigma _{x} \otimes \sigma _{x}\right), \qquad \mathrm{exp}\left(z\sigma _{y} \otimes \sigma _{y}\right), \qquad \mathrm{exp}\left(z\sigma _{z} \otimes \sigma _{z}\right) .

Рассмотреть также экспоненциальные функции от слагаемых $(\sigma_{x} \oplus \sigma_{x})$ , $(\sigma_{y} \oplus \sigma_{y})$ , $(\sigma_{z} \oplus \sigma_{z})$ , где $\oplus$ — прямая сумма. Эти слагаемые также являются элементами группы Ли $U(4)$ .

Задача 2.44

Рассмотрим группу Ли $U(n)$ унитарных $n \times n$ матриц. Пусть $\mathbb {T}^{n}$ — $n$ -тор диагональных унитарных $n \times n$ матриц. Очевидно, $\mathbb {T}^{n}$ — подгруппа $U(n)$ . Описать однородное пространство $U(n)/\mathbb {T}^{n}$ .

Задача 2.45

(i)(ii)

(i)

Пусть $G$ — полупростая группа Ли, а $H$ — максимальная компактная подгруппа Ли группы $G$ . Привести пример для $G$ и $H$ .

(ii)

Найти максимальную компактную подгруппу $K$ группы $SL(2, \mathbb {C})$ .

Задача 2.46

(i)(ii)

Пусть $A, B$ — $n \times n$ матрицы над $\mathbb {C}$ . Если $AB = BA$ , то $\mathrm{exp}\left(A+B\right) = \mathrm{exp}\left(A\right)\mathrm{exp}\left(B\right)$ . Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим $2 \times 2$ матрицы

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

Тогда $\mathrm{exp}\left(tC\right)$ — элемент $SL(2, \mathbb {R})$ , а $\mathrm{exp}\left(tD\right)$ — диагональная матрица с определителем $e^{t}$ , т.е. $\mathrm{exp}\left(tD\right)$ — элемент $GL(2, \mathbb {R})$ .

(i)

Показать, что $CD \neq DC$ .

(ii)

Вычислить

e^{tC}e^{tD} \qquad \text{и} \qquad e^{t(C+D)} .

Обсудить.

Задача 2.47

Даны две $2 \times 2$ матрицы

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}

в группе Ли $GL(2, \mathbb {C})$ , т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) \neq 0$ , $\operatorname {det}\left(B\right) \neq 0$ . Произведение Кронекера матриц $A$ и $B$ задаётся $4 \times 4$ матрицей

A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{pmatrix} .

Действие $n \times n$ матрицы $M = (m_{jk})$ на многочлен $p(\overrightarrow {x}) \in \mathbf{R}_{n} = \mathbb {C}^{x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}}$ можно определить формулой

T_{M}p(\overrightarrow {x}) := p(\overrightarrow {x}M)

где $\overrightarrow {x}M$ — произведение вектор-строки $n$ -мерного вектора $\overrightarrow {x}$ на $n \times n$ матрицу $M$ . Таким образом, $\overrightarrow {x}M$ снова является вектор-строкой. Обозначим через

\mathbf{R}_{4}^{GL(2,\mathbb {C}) \otimes GL(2,\mathbb {C})}

кольцо многочленов из $\mathbf{R}_{4}$ , инвариантных относительно действия $A \otimes B$ для всех пар $A, B \in GL(2, \mathbb {C})$ , т.е.

\mathbf{R}_{4}^{GL(2,\mathbb {C}) \otimes GL(2,\mathbb {C})} := \left\{ p \in \mathbf{R}_{4} : T_{A \otimes B}p(\overrightarrow {x}) = p(\overrightarrow {x})\right\} .

Действие сохраняет степень и однородность. Рассмотрим

p(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4}+x_{4}x_{1}

A = B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .

Показать, что $T_{A \otimes B}p(\overrightarrow {x}) = p(\overrightarrow {x})$ .

Задача 2.48

Пусть $D \geq 4$ . Показать, что $SO(3) \otimes SO(D-3)$ является подгруппой $SO(D)$ .

Задача 2.49

Рассмотрим компактные группы Ли $H = SU(2)$ и $G = SO(3)$ . Показать, что существует гомеоморфизм $\psi : SU(2) \to SO(3)$ .

Задача 2.50

Окружность

S^{1} := \left\{ (x_{1}, x_{2}) : x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 1\right\}

— это $C^{\infty }$ -многообразие, являющееся одномерным подмногообразием векторного пространства $\mathbb {R}^{2}$ . Атлас задаётся как

\begin{align} U_{1} & := \left\{ (x_{1}, x_{2}) \in S^{1} : x_{1} > 0\right\} & \phi _{1}(x_{1}, x_{2}) & = x_{2} \\ U_{2} & := \left\{ (x_{1}, x_{2}) \in S^{1} : x_{1} < 0\right\} & \phi _{2}(x_{1}, x_{2}) & = x_{2} \\ U_{3} & := \left\{ (x_{1}, x_{2}) \in S^{1} : x_{2} > 0\right\} & \phi _{3}(x_{1}, x_{2}) & = x_{1} \\ U_{4} & := \left\{ (x_{1}, x_{2}) \in S^{1} : x_{2} < 0\right\} & \phi _{4}(x_{1}, x_{2}) & = x_{1} . \end{align}

Показать, что функции перехода дифференцируемы.

Задача 2.51

Рассмотрим группу Ли $GL(n, \mathbb {R})$ . Связная компонента $GL(n, \mathbb {R})$ определяется как

GL^{+}(n, \mathbb {R}) := \left\{ A \in GL(n, \mathbb {R}) : \operatorname {det}\left(A\right) > 0\right\}

и сама является дифференцируемым многообразием размерности $n^{2}$ . Показать, что $GL^{+}(n, \mathbb {R})$ является подгруппой $GL(n, \mathbb {R})$ .

Задача 2.52

Определим

O(n, \mathbb {R}) := \left\{ A \in GL(n, \mathbb {R}) : AA^{T} = I_{n}\right\}

где $T$ означает транспонирование. Это вещественная ортогональная группа. Показать, что $O(n, \mathbb {R})$ является подгруппой $GL(n, \mathbb {R})$ . Указать условие $AA^{T} = I_{n}$ .

Задача 2.53

Рассмотрим группу Ли $O(n, \mathbb {R})$ . Показать, что $n$ -мерная сфера

S^{n} := \left\{ (x_{1}, \ldots , x_{n}, x_{n+1}) : x_{1}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2} = 1\right\}

диффеоморфна $O(n+1, \mathbb {R})/O(n, \mathbb {R})$ .

Задача 2.54

Рассмотрим линейное действие $SU(n+1)$ на векторном пространстве $\mathbb {C}^{n+1}$ . Оно переводит комплексные прямые в комплексные прямые и поэтому переходит в действие на комплексном проективном пространстве $\mathbb {C} P^{n}$ , которое определяется как векторное пространство всех таких прямых в $\mathbb {C}^{n+1}$ . Пусть $n = 1$ , т.е. рассмотрим $SU(2)$ . Найти элемент $A$ в $SU(2)$ такой, что

A\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \\ -i \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} .

Задача 2.55

Рассмотрим $2 \times 2$ матрицу

S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

(обращение чётности), где $S \in O(2)$ , но $S \notin SO(2)$ . Показать, что любую матрицу $A \in O(2)$ , $A \notin SO(2)$ , можно записать как $A = \tilde{A}S$ с $\tilde{A} \in SO(2)$ .

Задача 2.56

Пусть

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in GL(2, \mathbb {R})

т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \neq 0$ . Найти условия на элементы $a_{jk}$ такие, что

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A .

Образуют ли эти матрицы подгруппу $GL(2, \mathbb {R})$ относительно матричного умножения?

Задача 2.57

Группы Ли $SO(3)$ и $SU(2)$ имеют изоморфные алгебры Ли $so(3)$ и $su(2)$ соответственно. Базис алгебры Ли $su(2)$ задаётся как

\tau _{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \tau _{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \tau _{3} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}

с $[\tau_{1}, \tau_{2}] = \tau_{3}$ , $[\tau_{2}, \tau_{3}] = \tau_{1}$ , $[\tau_{3}, \tau_{1}] = \tau_{2}$ . Построить гомоморфизм

\varphi : SU(2) \to SO(3) .

Задача 2.58

(i)(ii)

Пусть $S \in SL(2, \mathbb {C})$ и

E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

Очевидно, $E \in SL(2, \mathbb {C})$ .

(i)

Найти $SES^{T}$ , где $T$ обозначает транспонирование.

(ii)

Пусть $A, B \in SL(2, \mathbb {C})$ . Найти $(A \otimes B)(E \otimes E)(A \otimes B)^{T}$ , где $\otimes$ обозначает произведение Кронекера.

Задача 2.59

Квандл $X$ — это множество с бинарной операцией $(a,b) \mapsto a*b$ , такое что

Для любого $a \in X$ , $a*a = a$ .
Для любых $a, b \in X$ существует единственный $c \in X$ такой, что $a = c*b$ .
Для любых $a, b, c \in X$ имеем $(a*b)*c = (a*c)*(b*c)$ . Примеры квандлов: (1) Группа $X = G$ с сопряжением в качестве операции квандла $a*b := bab^{-1}$ . Обозначим через $\operatorname {Conj}(G)$ квандл, определённый для группы $G$ как $a*b = bab^{-1}$ . Любое подмножество, замкнутое относительно такого сопряжения, также является квандлом. (2) Любой $\Lambda (= \mathbb {Z}^{t,t^{-1}})$ -модуль $M$ является квандлом с $a*b := ta+(1-t)b$ , где $a, b \in M$ , называемым квандлом Александера. (3) Пусть $n$ — положительное целое число, и для элементов $i, j \in \left\{ 0,1,\ldots ,n-1\right\}$ определим

i*j := 2j-i \pmod{n} .

Тогда $*$ задаёт структуру квандла, называемую дигедральным квандлом.

Пусть $A, B \in SL(2, \mathbb {R})$ с

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

Вычислить $A*B$ и $B*A$ . Верно ли $A*B = B*A$ ?

Задача 2.60

Пусть $GL(1, \mathbb {C})$ — мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел, обозначаемая также $\mathbb {C}^{*}$ . Показать, что $GL(1, \mathbb {C})$ — группа Ли.

Задача 2.61

$GL(n, \mathbb {R})$ — множество невырожденных (с ненулевым определителем) $n \times n$ матриц с матричным умножением в качестве групповой операции. Показать, что $GL(n, \mathbb {R})$ — группа Ли.

Задача 2.62

Пусть $V \in M(2n, \mathbb {R})$ , $V^{T} = V$ и $V > 0$ . Показать, что существуют $S \in Sp(2n, \mathbb {R})$ и диагональная положительно определённая матрица $D \in M(n, \mathbb {R})$ такие, что

V = S^{T} \begin{pmatrix} D & 0_{n} \\ 0_{n} & D \end{pmatrix} S \tag {1}

где $0_{n}$ — нулевая $n \times n$ матрица. Матрицы $S$ и $D$ единственны с точностью до перестановки элементов $D$ .

Задача 2.63

$n$ -мерная сфера, определённая как

S^{n} := \left\{ \overrightarrow {x} = (x_{1}, \ldots , x_{n+1}) \in \mathbb {R}^{n+1} : x_{1}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2} = 1\right\}

является многообразием размерности $n$ . Найти два различных атласа.

Задача 2.64

Рассмотрим многообразие $\mathbb {R}^{2}$ . Рассмотрим аналитическую функцию $\overrightarrow {f} : \mathbb {R}^{2} \to \mathbb {R}^{2}$

\overrightarrow {f}(\overrightarrow {x}) = \begin{pmatrix} e^{x_{1}}\cos x_{2} \\ e^{x_{1}}\sin x_{2} \end{pmatrix} .

Показать, что $\overrightarrow {f}$ удовлетворяет условиям теоремы об обратной функции на $\mathbb {R}^{2}$ , но функция не является взаимно однозначной на $\mathbb {R}^{2}$ .

Задача 2.65

Пусть $\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb {R}$ . Рассмотрим обратимые $3 \times 3$ матрицы

S_{1}(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh \alpha & 0 & \sinh \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sinh \alpha & 0 & \cosh \alpha \end{pmatrix}, \qquad S_{2}(\beta ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cosh \beta & \sinh \beta \\ 0 & \sinh \beta & \cosh \beta \end{pmatrix}

R(\gamma ) = \begin{pmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Найти матрицы $K_{1}, K_{2}, L$ такие, что

S_{1} = \mathrm{exp}\left(-i\alpha K_{1}\right), \qquad S_{2} = \mathrm{exp}\left(-i\beta K_{2}\right), \qquad R = \mathrm{exp}\left(-i\gamma L\right) .

Задача 2.66

Рассмотрим матрицу вращения вокруг оси $z$

A(\phi ) = \begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Пусть

G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} .

Найти $GA(\phi )G^{-1}$ . Обсудить.

Задача 2.67

(i)(ii)

Группа Ли $U(2,2)$ состоит из всех линейных преобразований $\mathbb {C}^{4}$ , сохраняющих невырожденную эрмитову форму с двумя положительными и двумя отрицательными собственными значениями. При подходящем выборе базиса в $\mathbb {C}^{4}$ можно охарактеризовать $g \in U(2,2)$ как

g^{*}Jg = J, \qquad J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Если записать $4 \times 4$ матрицу $g \in U(2,2)$ в форме блочной $2 \times 2$ матрицы, имеем

g = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

где

B^{*}D+D^{*}B = 0_{2}, \quad A^{*}C+C^{*}A = 0_{2}, \quad B^{*}D+D^{*}B = 0_{2}, \quad A^{*}D+C^{*}B = I_{2} .

(i)

Является ли

U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

элементом $U(2,2)$ ?

(ii)

Является ли

\begin{pmatrix} \cos (\alpha /2) & i\sin (\alpha /2) \\ i\sin (\alpha /2) & \cos (\alpha /2) \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \cos (\beta /2) & i\sin (\beta /2) \\ i\sin (\beta /2) & \cos (\beta /2) \end{pmatrix}

элементом $U(2,2)$ ?

Задача 2.68

(i)(ii)(iii)

Пусть $0 < \tau < \infty$ и $S$ — положительное вещественное число. Рассмотрим вектор

\overrightarrow {S}_{\tau } := (\tau /(1+\tau ), \, i\tau /(1+\tau ), \, 1/(1+\tau ))S .

При $\tau = 0$ имеем $\overrightarrow {S}_{0} = (0,0,S)$ , а при $\tau \to \infty$ имеем $\overrightarrow {S}_{\infty } = (S, iS, 0)$ . Пусть $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ — матрицы Паули. Определим $2 \times 2$ матрицу

\hat{S}_{\tau } := S_{1\tau }\sigma _{1} + S_{2\tau }\sigma _{2} + S_{3\tau }\sigma _{3} .

(i)

Вычислить матрицу $(S_{1\tau }\sigma_{1})^{2} + (S_{2\tau }\sigma_{2})^{2} + (S_{3\tau }\sigma_{3})^{2}$ .

(ii)

Пусть $\sigma_{+} := \sigma_{1}+i\sigma_{2}$ . Пусть $\phi := \phi_{1}+i\phi_{2}$ , где $\phi_{1}, \phi_{2}$ вещественны. Вычислить

H_{\tau }(\phi ) := \mathrm{exp}\left(-i\frac{\phi }{2}(\sigma _{3}+\tau \sigma _{+})\frac{1}{1+\tau }\right) .

(iii)

Вычислить $H_{\tau }(\phi )\hat{S}_{\tau }H_{\tau }^{-1}(\phi )$ . Обсудить.

Задача 2.69

(i)(ii)

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ . Рассмотрим эллиптические функции Якоби $\operatorname {sn}(x,k)$ , $\operatorname {cn}(x,k)$ , $\operatorname {dn}(x,k)$ , где $x \in \mathbb {R}$ и $k \in [0,1]$ .

(i)

Показать, что матрица ( $\epsilon \in \mathbb {R}$ )

\begin{pmatrix} \operatorname {cn}(\epsilon ,k) & \operatorname {sn}(\epsilon ,k) \\ -\operatorname {sn}(\epsilon ,k) & \operatorname {cn}(\epsilon ,k) \end{pmatrix}

является элементом $SL(2, \mathbb {R})$ . Найти обратную к этой матрице.

(ii)

Исследовать предельные случаи при $k=0$ и $k=1$ . Ограничены ли элементы матрицы?

Задача 2.70

(i)(ii)

(i)

Показать, что матрица ( $\epsilon \in \mathbb {R}$ )

\begin{pmatrix} \operatorname {dn}(\epsilon ,k) & k\operatorname {sn}(\epsilon ,k) \\ -k\operatorname {sn}(\epsilon ,k) & \operatorname {dn}(\epsilon ,k) \end{pmatrix}

является элементом $SL(2, \mathbb {R})$ . Найти обратную к этой матрице.

(ii)

Исследовать предельные случаи при $k=0$ и $k=1$ . Ограничены ли элементы матрицы?

Задача 2.71

(i)(ii)

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ и матрицу ( $x \in \mathbb {R}$ )

M(x) = \begin{pmatrix} \sqrt{\pi }\operatorname {Ai}(x) & \sqrt{\pi }\operatorname {Bi}(x) \\ \sqrt{\pi }\operatorname {Ai}'(x) & \sqrt{\pi }\operatorname {Bi}'(x) \end{pmatrix}

где $\operatorname {Ai}$ и $\operatorname {Bi}$ — функции Эйри, являющиеся решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка $d^{2}u/dx^{2} = xu$ , а $'$ обозначает производную. Функции Эйри определяются несобственными интегралами

\operatorname {Ai}(x) = \frac{1}{\pi }\int _{0}^{\infty } \cos \left( \frac{1}{3}t^{3}+xt \right) dt

\operatorname {Bi}(x) = \frac{1}{\pi }\int _{0}^{\infty } \left( \mathrm{exp}\left(-\frac{1}{3}t^{3}+xt\right) + \sin \left( \frac{1}{3}t^{3}+xt \right) \right) dt .

Матрица $M(x)$ является элементом $SL(2, \mathbb {R})$ , поскольку

\operatorname {Ai}(x)\operatorname {Bi}'(x) - \operatorname {Ai}'(x)\operatorname {Bi}(x) = \frac{1}{\pi } .

(i)

Найти обратную к $M(x)$ .

(ii)

Найти $M(0)$ .

Найти $M(x)$ при $x \to \infty$ , используя асимптотическое разложение

\operatorname {Ai}(x) \sim \frac{e^{-2x^{3/2}/3}}{2\sqrt{\pi }x^{1/4}}, \qquad \operatorname {Bi}(x) \sim \frac{e^{2x^{3/2}/3}}{\sqrt{\pi }x^{1/4}} .

Задача 2.72

Рассмотрим группу $G$ вещественных $n \times n$ матриц относительно сложения матриц. Показать, что это $n^{2}$ -мерная группа Ли.

Задача 2.73

Пусть $M(n, \mathbb {R})$ — векторное пространство всех $n \times n$ матриц над вещественными числами $\mathbb {R}$ . Показать, что вещественная общая линейная группа

GL(n, \mathbb {R}) := \left\{ g \in M(n, \mathbb {R}) : \det (g) \neq 0\right\}

являющаяся группой всех невырожденных вещественных $n \times n$ матриц, является группой Ли.

Задача 2.74

Рассмотрим группу вещественных верхних треугольных $n \times n$ матриц с ненулевыми определителями относительно матричного умножения. Показать, что это $n(n+1)/2$ -мерная группа Ли. Описать её многообразие группы.

Задача 2.75

(i)(ii)(iii)

Пусть

S^{n} := \left\{ (x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n+1}) \in \mathbb {R}^{n+1} : x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2} = 1\right\} .

(i)

Показать, что $S^{3}$ можно рассматривать как подмножество $\mathbb {C}^{2}$ ( $\mathbb {C}^{2} \cong \mathbb {R}^{4}$ )

S^{3} = \left\{ (z_{1}, z_{2}) \in \mathbb {C}^{2} : \left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2} = 1\right\} .

(ii)

Отображение Хопфа $\pi : S^{3} \to S^{2}$ определяется как

\pi (z_{1}, z_{2}) := (\bar{z}_{1}z_{2}+\bar{z}_{2}z_{1}, \ -i\bar{z}_{1}z_{2}+i\bar{z}_{2}z_{1}, \ \left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}) .

Найти параметризацию $S^{3}$ , т.е. найти $z_{1}(\theta ,\phi )$ , $z_{2}(\theta ,\phi )$ и тем самым показать, что $\pi$ действительно отображает $S^{3}$ на $S^{2}$ .

(iii)

Показать, что $\pi (z_{1}, z_{2}) = \pi (z_{1}', z_{2}')$ тогда и только тогда, когда $z_{j}' = e^{i\alpha }z_{j}$ ( $j=1,2$ ) и $\alpha \in \mathbb {R}$ .

Задача 2.76

(i)(ii)

Рассмотрим компактное дифференцируемое многообразие

S^{2} := \left\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} = 1\right\} .

Элемент $\eta \in S^{2}$ можно записать как

\eta = (\cos \phi \sin \theta , \sin \phi \sin \theta , \cos \theta )

где $\phi \in [0, 2\pi )$ и $\theta \in [0, \pi ]$ . Стереографическая проекция — это отображение

\Pi : S^{2} \setminus \left\{ (0,0,-1)\right\} \to \mathbb {R}^{2}

заданное как

x_{1}(\theta ,\phi ) = \frac{2\sin (\theta )\cos (\phi )}{1+\cos (\theta )}, \qquad x_{2}(\theta ,\phi ) = \frac{2\sin (\theta )\sin (\phi )}{1+\cos (\theta )} .

(i)

Пусть $\theta = 0$ , а $\phi$ произвольно. Найти $x_{1}, x_{2}$ . Дать геометрическую интерпретацию.

(ii)

Найти обратное отображение, т.е. найти

\Pi ^{-1} : \mathbb {R}^{2} \to S^{2} \setminus \left\{ (0,0,-1)\right\} .

Задача 2.77

Одна из естественных параметризаций алгебры Ли $su(1,1)$ как подалгебры Ли $sp(2,2)$ задаётся $4 \times 4$ матрицами

R_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad R_{2} = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \end{pmatrix}, \qquad R_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

с $[R_{1}, R_{2}] = -2R_{3}$ , $[R_{3}, R_{1}] = 2R_{2}$ , $[R_{2}, R_{3}] = -2R_{1}$ . Найти $g_{2}g_{1}g_{2}$ , где $g_{1} = \mathrm{exp}\left(\alpha R_{1}\right)$ и $g_{2} = \mathrm{exp}\left(\beta R_{2}/2\right)$ .

Задача 2.78

Найти факторгруппу $GL(n, \mathbb {R})/SL(n, \mathbb {R})$ .

Задача 2.79

$n \times n$ унитарные матрицы образуют группу Ли. Образуют ли $n \times n$ унитарные матрицы, удовлетворяющие дополнительному условию $U = U^{T}$ , подгруппу Ли?

Задача 2.80

$n \times n$ унитарные матрицы образуют группу Ли $U(n)$ относительно матричного умножения. Пусть $0_{n}$ — нулевая $n \times n$ матрица. Образуют ли $2n \times 2n$ матрицы

\begin{pmatrix} 0_{n} & U \\ U & 0_{n} \end{pmatrix}

группу относительно матричного умножения?

Задача 2.81

Пусть $x$ — фиксированный элемент группы $G$ . Централизатор элемента $x$ в $G$ , $C(x)$ , — это множество всех элементов $G$ , коммутирующих с $x$ , т.е.

C(x) := \left\{ g \in G : gx = xg\right\} .

Рассмотрим группу Ли $SL(2, \mathbb {R})$ и

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

Тогда $A \in SL(2, \mathbb {R})$ , поскольку $\det (A) = 1$ . Найти централизатор $C(A)$ элемента $A$ .

Задача 2.82

Ядром гомоморфизма $\phi$ группы $G$ с единицей $e$ называется множество

\left\{ g \in G : \phi (g) = e\right\} .

Ядро $\phi$ обозначается через $\operatorname {Ker}\phi$ . Пусть $\mathbb {R}^{*}$ — абелева группа ненулевых вещественных чисел относительно умножения. Пусть $g \in GL(2, \mathbb {R})$ . Отображение (определитель) $g \to \det (g)$ является гомоморфизмом $GL(2, \mathbb {R})$ в $\mathbb {R}^{*}$ . Найти ядро.

Задача 2.83

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим компактную группу Ли $SO(3, \mathbb {R})$ . Пусть $A \in SO(3, \mathbb {R})$ . Найти норму Фробениуса

\left\| A\right\| = \tr (AA^{T}) .

(ii)

Найти норму

\left\| A\right\| = \sup _{\left\| \overrightarrow {x}\right\| =1} \left\| A\overrightarrow {x}\right\| .

Задача 2.84

(i)(ii)(iii)

Векторное пространство всех $n \times n$ матриц над $\mathbb {C}$ образует гильбертово пространство со скалярным произведением

\left\langle A, B \right\rangle := \tr (AB^{*}) .

Это влечёт норму $\left\| A\right\|^{2} = \tr (AA^{*})$ .

(i)

Пусть $U$ — унитарная матрица. Найти $\left\langle U, U \right\rangle$ .

(ii)

Рассмотрим $2 \times 2$ унитарные матрицы

U_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad U_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} .

Найти норму $\left\| U_{1}-U_{2}\right\|$ .

(iii)

Пусть $V$ — унитарная $2 \times 2$ матрица. Пусть $\phi \in \mathbb {R}$ . Найти норму $\left\| V-e^{i\phi }V\right\|$ .

Задача 2.85

Рассмотрим группу Ли $U(n)$ всех унитарных $n \times n$ матриц. Пусть $K$ — косоэрмитова $n \times n$ матрица с собственными значениями $\mu_{1}, \ldots , \mu_{n}$ (с учётом кратности) и соответствующими нормированными собственными векторами $\overrightarrow {u}_{1}, \ldots , \overrightarrow {u}_{n}$ , где $\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{k} = 0$ при $k \neq j$ . Тогда $K$ можно записать как

K = \sum _{j=1}^{n} \mu _{j}\overrightarrow {u}_{j}\overrightarrow {u}_{j}^{*}

и $\overrightarrow {u}_{j}\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{k}\overrightarrow {u}_{k}^{*} = 0$ при $k \neq j$ и $j,k = 1,2,\ldots ,n$ . Заметим, что матрицы $\overrightarrow {u}_{j}\overrightarrow {u}_{j}^{*}$ являются проекционными матрицами и

\sum _{j=1}^{n} \overrightarrow {u}_{j}\overrightarrow {u}_{j}^{*} = I_{n} .

(i)

Вычислить $\mathrm{exp}\left(K\right)$ .

(ii)

Любую унитарную $n \times n$ матрицу можно записать как $U = \mathrm{exp}\left(K\right)$ , где $K$ — косоэрмитова матрица. Найти $U$ по данной $K$ .

(iii)

Использовать результат пункта (ii), чтобы найти для данной $U$ возможную $K$ .

(iv)

Применить результат пунктов (ii) и (iii) к унитарной $2 \times 2$ матрице

U(\theta ) = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} .

(v)

Применить результат пунктов (ii) и (iii) к унитарной $2 \times 2$ матрице

V(\theta , \phi ) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -e^{i\phi }\sin \theta \\ e^{-i\phi }\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} .

(vi)

Любую эрмитову матрицу $H$ можно записать как $H = iK$ , где $K$ — косоэрмитова матрица. Найти $H$ для приведённых выше примеров.

Задача 2.86

(i)(ii)

Действием, или реализацией, группы $G$ на множестве $M$ называется отображение $\varphi_{g}$

\varphi _{g} : \overrightarrow {x} \mapsto \overrightarrow {x}' = \varphi _{g}(\overrightarrow {x})

где $\overrightarrow {x}, \overrightarrow {x}' \in M$ и $g \in G$ . Элемент $\overrightarrow {x}$ многообразия $M$ называется неподвижной точкой, если

\varphi _{g}(\overrightarrow {x}) = \overrightarrow {x} \qquad \text{для всех} \qquad g \in G .

(i)

Найти неподвижные точки для группы Ли $SO(3)$ на $M = \mathbb {R}^{3}$ .

(ii)

Найти неподвижные точки для $SO(3)$ на $M = S^{2}$ .

Задача 2.87

Рассмотрим подгруппы группы Ли $SU(1,1)$

\begin{pmatrix} e^{i\theta /2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta /2} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \cosh (t/2) & i\sinh (t/2) \\ -i\sinh (t/2) & \cosh (t/2) \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1+\zeta i/2 & \zeta /2 \\ \zeta /2 & 1-\zeta i/2 \end{pmatrix}

где $\theta , t, \zeta \in \mathbb {R}$ . Группа Ли $SU(1,1)$ действует как линейная группа преобразований линейного векторного пространства $\mathbb {R}^{2}$ . Найти инфинитезимальные образующие группы как векторные поля.

Задача 2.88

(i)(ii)

(i)

Представление группы Ли $SO(2)$ $2 \times 2$ матрицами имеет вид

\begin{pmatrix} \cos (\phi ) & -\sin (\phi ) \\ \sin (\phi ) & \cos (\phi ) \end{pmatrix}, \qquad \phi \in \mathbb {R} .

Показать, что квадратичная форма (евклидова метрика) $s^{2} = x^{2}+y^{2}$ является инвариантом действия группы $SO(2)$ на векторах $(x,y)$ на плоскости.

(ii)

Представление группы Ли $SH(2)$ $2 \times 2$ матрицами имеет вид

\begin{pmatrix} \cosh (t) & \sinh (t) \\ \sinh (t) & \cosh (t) \end{pmatrix}, \qquad t \in \mathbb {R} .

Показать, что квадратичная форма (метрика Минковского) $s^{2} = x^{2}-y^{2}$ является инвариантом действия группы $SH(2)$ на векторах $(x,y)$ на плоскости.

Задача 2.89

Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Рассмотрим комплексную форму $SO(2, \mathbb {C})$ группы $SO(2)$

\begin{pmatrix} \cos (z) & -\sin (z) \\ \sin (z) & \cos (z) \end{pmatrix} .

Показать, что $SO(2, \mathbb {R})$ — абелева подгруппа $SO(2, \mathbb {C})$ . Показать, что $SH(2)$ изоморфна подгруппе $SO(2, \mathbb {C})$ .

Задача 2.90

Пусть $R = \mathbb {C}^{x,y}$ — кольцо многочленов от двух переменных $x,y$ над полем $\mathbb {C}$ . Пусть $q$ — положительное целое число, а $R_{q}$ — подпространство многочленов, однородных степени $q$ . Тогда $R_{q}$ имеет базис

x^{q}, \ x^{q-1}y, \ x^{q-2}y^{2}, \ \ldots , \ y^{q}

и размерность $q+1$ . Элемент $SL(2, \mathbb {C})$

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad ad-bc = 1

действует на $R$ преобразованием $x \to ax+cy$ , $y \to bx+dy$ , и $R_{q}$ является пространством представления для $SL(2, \mathbb {C})$ для каждого $q$ при этом действии. Это также можно записать в матричной форме

\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+cy & bx+dy \end{pmatrix} .

Пусть $p_{j} := x^{j}y^{q-j}$ , $j = 0, 1, \ldots , q$ . Показать, что образы $p_{j}$ при преобразовании

\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{и} \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix}

задаются как

\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot p_{j} = \sum _{k=0}^{q-j} \binom {q-j}{k} t^{k}p_{j+k}

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix} \cdot p_{j} = \sum _{k=0}^{j} \binom {j}{k} t^{k}p_{j-k} .

Задача 2.91

(i)(ii)(iii)

(i)

Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Показать, что матрица

g_{t} = \begin{pmatrix} \cosh t & i\sinh t \\ -i\sinh t & \cosh t \end{pmatrix}

имеет обратную, и найти $g_{t}^{-1}$ . $g_{t}$ является элементом $SO(1,1)$ .

(ii)

Симметрическое пространство $SL(2, \mathbb {C})/SU(2)$ можно отождествить с пространством $H^{3}$ положительных $2 \times 2$ матриц с определителем $1$

A = \begin{pmatrix} a+b & x+iy \\ x-iy & a-b \end{pmatrix}, \qquad a,b,c,d \in \mathbb {R}

т.е. $\det A = a^{2}-b^{2}-x^{2}-y^{2} = 1$ . Действие группы определяется как

g_{t} \cdot A := g_{t}Ag_{t}^{*} .

Найти $g_{t} \cdot A$ .

(iii)

Показать, что на гиперболоиде $a^{2} = 1+b^{2}+x^{2}+y^{2}$ матрица $g_{t}$ изменяет только координаты $y$ и $a$ .

Задача 2.92

Найти абелеву подгруппу Ли группы Ли $U(n)$ .

Задача 2.93

(i)(ii)

Рассмотрим группы Ли $U(2,2)$ , $SU(2,2)$ и соответствующие алгебры Ли $u(2,2)$ , $su(2,2)$ . Определим матрицу

L := \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Тогда

\begin{align} U(2,2) & := \left\{ G \in GL(4, \mathbb {C}) : G^{*}LG = L\right\} \\ SU(2,2) & := \left\{ G \in U(2,2) : \det G = 1\right\} \\ u(2,2) & := \left\{ X \in M_{4}(\mathbb {C}) : XL+LX = 0_{4}\right\} \\ su(2,2) & := \left\{ X \in u(2,2) : \tr (X) = 0\right\} \end{align}

где $M_{4}(\mathbb {C})$ — векторное пространство $4 \times 4$ матриц над комплексными числами.

(i)

Показать, что

X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

является элементом $u(2,2)$ и $su(2,2)$ .

(ii)

Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Вычислить $\mathrm{exp}\left(tX\right)$ , чтобы найти элемент $SU(2,2)$ .

Задача 2.94

Показать, что группа Ли $U(n)$ связна.

Задача 2.95

(i)(ii)(iii)

Рассмотрим группу Ли $T_{3}$ , состоящую из всех $4 \times 4$ матриц

g(z_{1}, z_{2}, z_{3}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & z_{3} \\ 0 & e^{-z_{3}} & 0 & z_{2} \\ 0 & 0 & e^{z_{3}} & z_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb {C} .

(i)

Найти обратную $g^{-1}(z_{1}, z_{2}, z_{3})$ .

(ii)

Найти произведение $g(z_{1}, z_{2}, z_{3})g(w_{1}, w_{2}, w_{3})$ .

(iii)

Найти базис алгебры Ли $t_{3}$ группы Ли $T_{3}$ и коммутаторы.

Задача 2.96

Рассмотрим векторное пространство $V_{2}^{n}$ однородных многочленов от двух комплексных переменных. Элемент этого векторного пространства можно записать как

p(z_{1}, z_{2}) = c_{0}z_{1}^{n} + c_{1}z_{1}^{n-1}z_{2} + \cdots + c_{n}z_{2}^{n} .

Компактная группа Ли $SU(2)$ действует на этом векторном пространстве через действие $U \in SU(2)$ как линейное преобразование вектора $\overrightarrow {z} = (z_{1}, z_{2})^{T}$ по формуле

\pi (U)f(\overrightarrow {z}) = f(U^{-1}\overrightarrow {z}) .

Показать, что это групповой гомоморфизм.

Задача 2.97

(i)(ii)

Рассмотрим все $2 \times 2$ матрицы с $UU^{*} = I_{2}$ , $\det U = 1$ , т.е. $U \in SU(2)$ . Тогда $U$ можно записать как

U = \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix}, \qquad a, b \in \mathbb {C}

с ограничением $aa^{*}+bb^{*} = 1$ . Пусть

\begin{pmatrix} z_{1}' \\ z_{2}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_{1} \\ z_{2} \end{pmatrix} .

(i)

Показать, что

(z_{1}')(z_{1}')^{*} + (z_{2}')(z_{2}')^{*} = z_{1}z_{1}^{*} + z_{2}z_{2}^{*} .

(ii)

Рассмотрим

\begin{pmatrix} z_{1}' \\ z_{2}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_{1} \\ z_{2} \end{pmatrix} .

Показать, что $dz_{1}' \wedge dz_{2}' = dz_{1} \wedge dz_{2}$ , где $\wedge$ — внешнее произведение, а $d$ — внешняя производная. Заметим, что $d$ линейна.

Задача 2.98

(i)(ii)(iii)

(i)

Рассмотрим $2 \times 2$ матрицу

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Найти $\mathrm{exp}\left(tA\right)$ .

(ii)

Рассмотрим векторное поле

V = x_{2}\frac{\partial }{\partial x_{1}} - x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{2}}

заданное на $\mathbb {R}^{2}$ . Пусть $t \in \mathbb {R}$ . Вычислить

\mathrm{exp}\left(tV\right) \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} \mathrm{exp}\left(tV\right)x_{1} \\ \mathrm{exp}\left(tV\right)x_{2} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} \in \mathbb {R}^{2} .

(iii)

Использовать результаты пункта (i) или (ii), чтобы решить задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка

\frac{dx_{1}}{dt} = x_{2}, \qquad \frac{dx_{2}}{dt} = -x_{1} .

Задача 2.99

Рассмотрим векторные поля

x\frac{d}{dx}, \qquad \frac{d}{dx} .

Многообразие — это $M = \mathbb {R}$ , т.е. $x \in \mathbb {R}$ . Вычислить

\mathrm{exp}\left(tx\frac{d}{dx}\right) \mathrm{exp}\left(t\frac{d}{dx}\right) x, \qquad \mathrm{exp}\left(t\frac{d}{dx}\right) \mathrm{exp}\left(tx\frac{d}{dx}\right) x .

Задача 2.100

Рассмотрим нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение

\frac{dx}{dt} = \cos ^{2}(x)

с начальным условием $x(t=0) = x_{0} = 0$ . Найти решение задачи Коши, используя экспоненциальное отображение (ряд Ли)

x(t) = \left. \mathrm{exp}\left(tV\right)x \right|_{x \to x_{0}}

где $V$ — соответствующее векторное поле

V = \cos ^{2}(x)\frac{d}{dx} .

2.1 · Задачи на программирование[2/100%]

Задача 2.101

Рассмотрим $2 \times 2$ матрицу

A(\alpha _{0}, \alpha _{1}, \alpha _{2}) = \begin{pmatrix} (\cos \alpha _{0}\cos \alpha _{1}+i\sin \alpha _{0}\sin \alpha _{1})e^{i\alpha _{2}} & -\cos \alpha _{0}\sin \alpha _{1}+i\sin \alpha _{0}\cos \alpha _{1} \\ \cos \alpha _{0}\sin \alpha _{1}+i\sin \alpha _{0}\cos \alpha _{1} & (\cos \alpha _{0}\cos \alpha _{1}-i\sin \alpha _{0}\sin \alpha _{1})e^{-i\alpha _{2}} \end{pmatrix}

где $-\pi \leq \alpha_{0} < \pi$ , $-\pi \leq \alpha_{1} < \pi$ , $0 \leq \alpha_{2} \leq \pi$ . Написать программу компьютерной алгебры на SymbolicC++, которая вычисляет

\left. \frac{\partial }{\partial \alpha _{j}} A(\alpha _{0}, \alpha _{1}, \alpha _{2}) \right|_{\alpha _{0}=0, \alpha _{1}=0, \alpha _{2}=0}

и тем самым находит образующие

X_{0} = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X_{2} = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} .

Таким образом,

A(\alpha _{0}, \alpha _{1}, \alpha _{2}) = \exp (\alpha _{0}X_{0}+\alpha _{1}X_{1}+\alpha _{2}X_{2}) .

Задача 2.102

Пусть $\alpha \in \mathbb {R}$ . Дана матрица

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cosh \alpha & 0 & 0 & \sinh \alpha \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ 0 & -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ \sinh \alpha & 0 & 0 & \cosh \alpha \end{pmatrix} .

Написать программу на SymbolicC++, которая вычисляет вектор

A(\alpha ) \begin{pmatrix} x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}

и показывает, что $x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}$ инвариантно.

2.2 · Дополнительные задачи[8/0%]

Задача 2.103

Показать, что компактные группы Ли $SO(3)$ и $SU(2)$ имеют изоморфные алгебры Ли. Базис для $so(3)$ задаётся кососимметрическими матрицами

T_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T_{3} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Базис для $su(2)$ задаётся косоэрмитовыми матрицами

\tau _{1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \tau _{2} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \tau _{3} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} .

Таким образом, $\tau_{1} = -i\sigma_{1}/2$ , $\tau_{2} = -i\sigma_{2}/2$ , $\tau_{3} = -i\sigma_{3}/2$ , где $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ обозначают матрицы Паули.

Задача 2.104

Пусть $n \geq 1$ . Определим $(2n+1)$ -мерную сферу

S^{2n+1} := \left\{ \overrightarrow {z} \in \mathbb {C}^{n+1} : \sum _{j=1}^{n+1} \left|z_{j}\right|^{2} = 1\right\} .

Показать, что

S^{2n+1} \cong U(n+1)/U(n) \cong SU(n+1)/SU(n) .

При $n=1$ имеем $S^{3} \cong U(2)/U(1) \cong SU(2)$ .

Задача 2.105

(i)(ii)

(i)

Рассмотрим матрицы Паули

\sigma _{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{2} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad \sigma _{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb {R}$ . Вычислить

e^{i\alpha _{1}\sigma _{1}+i\alpha _{2}\sigma _{2}+i\alpha _{3}\sigma _{3}} \qquad \text{и} \qquad e^{i\alpha _{1}\sigma _{1}}e^{i\alpha _{2}\sigma _{2}}e^{i\alpha _{3}\sigma _{3}} .

Обсудить.

(ii)

Базис для $so(3)$ задаётся кососимметрическими матрицами

T_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T_{3} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb {R}$ . Вычислить

e^{\alpha _{1}T_{1}+\alpha _{2}T_{2}+\alpha _{3}T_{3}} \qquad \text{и} \qquad e^{i\alpha _{1}T_{1}}e^{i\alpha _{2}T_{2}}e^{i\alpha _{3}T_{3}} .

Обсудить.

Задача 2.106

Показать, что любой элемент $U$ группы $SU(n)$ можно диагонализовать унитарной $n \times n$ матрицей, и диагональные элементы задаются как $\exp (i\phi_{kk})$ .

Задача 2.107

Матрицы Паули $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ и единичная $2 \times 2$ матрица $I_{2} = \sigma_{0}$ являются элементами группы Ли $U(2)$ . Каково условие на $c_{j} \in \mathbb {C}$ ( $j=0,1,2,3$ ), при котором

\sum _{j=0}^{3} c_{j}\sigma _{j} \otimes \sigma _{j}

является обратимой матрицей, т.е. элементом $GL(2, \mathbb {C})$ ?

Задача 2.108

Матрица

U = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}

является элементом группы Ли $U(3)$ . Найти унитарную $3 \times 3$ матрицу $V$ такую, что $V^{-1}UV$ — диагональная матрица.

Задача 2.109

(i)(ii)

(i)

Показать, что группа $SO^{+}(3,1)$ изоморфна $SL(2, \mathbb {C})/\left\{ \pm \operatorname {id}\right\}$ — группе $2 \times 2$ комплексных матриц с определителем $1$ . Факторизация означает, что две матрицы, отличающиеся общим знаком, отождествляются.

(ii)

Показать, что $SL(2, \mathbb {C})/\left\{ \operatorname {id}\right\}$ изоморфна группе комплексных преобразований Мёбиуса на расширенной комплексной плоскости $\mathbb {C} \cup \left\{ \infty \right\}$ .

Задача 2.110

Пусть $G$ обозначает пятимерное многообразие $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \mathbb {R}$ с умножением, определённым следующим образом

(c_{1}, c_{2}, r)(c_{1}', c_{2}', r') := (c_{1}+e^{2\pi i r}c_{1}', \ c_{2}+e^{2\pi i h r}c_{2}', \ r+r')

где $h$ — фиксированное иррациональное число и $c_{1}, c_{1}', c_{2}, c_{2}' \in \mathbb {C}$ , $r, r' \in \mathbb {R}$ . Показать, что $G$ — группа Ли.