Банк задач по математике

Задача 30.1

Найти функции $w(z)$ , конформно отображающие полуплоскость $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ на многоугольники, изображенные на рис. 30.5-30.18, таким образом, чтобы $w(0) = A_{1}, w(1) = A_{2}, w(\infty ) = A_{3}$ (вершины $A_{k}$ обозначены на рисунках).

?

(1)

Рис. 30.5

(2)

Рис. 30.6

(3)

Рис. 30.7

(4)

Рис. 30.8

(5)

Рис. 30.9

(6)

Рис. 30.10

(7)

Рис. 30.11

(8)

Рис. 30.12

(9)

Рис. 30.13

(10)

Рис. 30.14

(11)

Рис. 30.15

(12)

Рис. 30.16

(13)

Рис. 30.17

(14)

Рис. 30.18

Задача 30.2

Найти какие-либо функции $w(z)$ , конформно отображающие полуплоскость $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ на симметричные многоугольники, изображенные на рис. 30.19-30.24.

?

(1)

Рис. 30.19

(2)

Рис. 30.20

(3)

Рис. 30.21

(4)

Рис. 30.22

(5)

Рис. 30.23

(6)

Рис. 30.24

Задача 30.3

(1)(2)(3)

Найти функции $w(z)$ , конформно отображающие область $\left\{ z:\left|z\right| > 1\right\}$ на многоугольники с внутренней точкой $w = \infty$ , изображенные на рис. 30.25-30.27, таким образом, чтобы $w(\infty ) = \infty , w(1) = A_{1}$ .

?

(1)

Рис. 30.25

(2)

Рис. 30.26

(3)

Рис. 30.27

Задача 30.4

(1)(2)(3)(4)

Найти функции $w(z)$ , конформно отображающие полуплоскость $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ на области, изображенные на рис. 30.28-30.31, таким образом, чтобы

w(0) = A_{1}, \quad w(1) = A_{2}, \quad w(\infty ) = A_{3}.

?

(1)

Рис. 30.28

(2)

Рис. 30.29

(3)

Рис. 30.30

(4)

Рис. 30.31

Задача 30.5

(1)(2)(3)

Найти функции $w(z)$ , конформно отображающие всю плоскость $z$ с разрезом по отрезку $[-1,1]$ на области, изображенные на рис. 30.32-30.34, таким образом, чтобы $w(\infty ) = \infty , w(1) = A_{1}$ .

?

(1)

Рис. 30.32

(2)

Рис. 30.33

(3)

Рис. 30.34

Задача 30.6

(1)(2)(3)

Найти функции $w(z)$ , конформно отображающие полосу $\left\{ z:\left|\operatorname {Im}\right| < \frac{1}{2}\right\}$ на области, изображенные на рис. 30.35-30.37, таким образом, чтобы $w(0) = 0, w(+\infty ) = A_{1}$ .

?

(1)

Рис. 30.35

(2)

Рис. 30.36

(3)

Рис. 30.37

Задача 30.7

(1)(2)

Найти функции $w(z)$ , конформно отображающие полуполосу $\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0,\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right| < \frac{\pi }{2}\right\}$ на области, изображенные на рис. 30.38-30.39, таким образом, чтобы

w\left(-\frac{\pi i}{2}\right) = A_{1}, \quad w(\infty ) = A_{2}, \quad w\left(\frac{\pi i}{2}\right) = A_{3}

?

(1)

Рис. 30.38

(2)

Рис. 30.39

Задача 30.8

Найти какую-либо функцию $w(z)$ , конформно отображающую полуплоскость $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ на плоскость $w$ с разрезами по лучам

[k i, k i+i \infty ], \quad \left[\left(k+\frac{1}{4}\right) i,\left(k+\frac{1}{4}\right) i+i \infty \right] \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )

?

Задача 30.9

Найти какую-либо функцию $w(z)$ , конформно отображающую полуплоскость $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ на полуплоскость $w$ , из которой выброшены полосы

\left\{ w: \mathrm{Re}\left(w\right) < 0,\left|k-\mathrm{Im}\left(w\right)\right| < \frac{1}{4}\right\} \quad (k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots )

?

Задача 30.10

(1)(2)(3)

Найти функции $w(z)$ , конформно отображающую полуплоскость $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ на многоугольники, изображенные на рис. 30.40-30.42, таким образом, чтобы $w(0) = A_{1}, w(1) = A_{2}, w(\infty ) = A_{3}$ .

?

(1)

Рис. 30.40

(2)

Рис. 30.41

(3)

Рис. 30.42

Задача 30.11

Найти функцию $w(z)$ , конформно отображающую круг $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$ на правильный $n$ -угольник, вписанный в круг $\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}$ , таким образом, чтобы $w(0) = 0, w(1) = 1$ .

?

Отображение многоугольников