Принцип симметрии

Обозначим через $w(z)$ функцию, конформно отображающую угол $\left\{ z: 0 < \arg z < \frac{\pi }{2}\right\}$ на сектор $\left\{ w:\left|w\right| > 1,0 < \arg w < \frac{\pi }{2}\right\}$, и удовлетворяющую условиям $w(1) = 1, w(i) = i, w(\infty ) = \infty$. Отыскав функцию $w(z)$, убедиться, что она:

Обозначим через $w(z) = w\left(z ; z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$ функцию, конформно отображающую полукруг $\left\{ z:\left|z\right| < 1, \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$, на такой же полукруг в плоскости $w$ и удовлетворяющую условиям

(точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ лежат на границе полукруга $\left\{ z:\left|z\right| < 1, \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$). Установить, каким условиям должны удовлетворять точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, чтобы функция $w(z)$ конформно отображала круг $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$ на:

Найти какие-либо функции $w(z)$, конформно отображающие области, изображенные на рис. 29.18-29.29, на полуплоскость $\left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\}$.

Найти какую-либо функцию $w(z)$, конформно отображающую область

($\alpha$ — постоянная, $0 < \alpha < \pi / 2$) на полуплоскость $\left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\}$.

Найти какую-либо функцию $w(z)$, конформно отображающую область

на полуплоскость $\left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\}$.

Найти какие-либо функции $w(z)$, конформно отображающие области, изображенные на рис. 29.30-29.33, на круг $\left\{ w:\left|w\right| < 1\right\}$.

Найти какую-либо функцию $w(z)$, конформно отображающую область

на полуплоскость $\left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\}$.

Найти какую-либо функцию $w(z)$, конформно отображающую область

на полуплоскость $\left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\}$.

Найти какую-либо функцию $w(z)$, конформно отображающую область $\left\{ z: \operatorname {Im} > 0, z \notin [2 k, 2 k+2 i], z \notin [2 k+1,2 k+1+i] \quad (k = 0, \pm 1, \ldots )\right\}$ на полуплоскость $\left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\}$.

Найти какие-либо функции $w(z)$, конформно отображающие области, изображенные на рис. 29.34-29.36, на полуплоскость $\left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\}$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна при $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$, непрерывна при $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) \geqslant 0\right\}$ и принимает на действительной оси действительные значения. Доказать, что функцию $f(z)$ можно регулярно продолжить на всю комплексную плоскость.

Пусть функция $f(z)$ регулярна при $\left\{ z: 0 < \mathrm{Re}\left(z\right) < 1\right\}$, непрерывна при $\left\{ z: 0 \leqslant \mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant 1\right\}$ и принимает действительные значения на прямых $\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) = 0\right\}$ и $\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) = 1\right\}$. Доказать, что функцию $f(z)$ можно peгулярно продолжить на всю комплексную плоскость и что функция $F(z)$, осуществляющая это аналитическое продолжение, удовлетворяет условию $F(z+2) = F(z)$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна при $\left\{ z: 0 < \mathrm{Im}\left(z\right) < 1\right\}$, непрерывна при $\left\{ z: 0 \leqslant \mathrm{Im}\left(z\right) \leqslant 1\right\}$ и удовлетворяет условиям

Доказать, что функцию $f(z)$ можно регулярно продолжить на всю плоскость и что функция $F(z)$, осуществляющая это аналитическое продолжение, удовлетворяет условию $F(z+2 i) = -F(z)$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в прямоугольнике

непрерывна в замыкании этого прямоугольника и удовлетворяет условиям

Доказать, что функцию $f(z)$ можно регулярно продолжить на полосу $\left\{ z:\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right| < h\right\}$ и что функция $F(z)$, осуществляющая это продолжение, имеет вид $i z+F_{1}(z)$, где функция $F_{1}(z)$ регулярна в полосе $\left\{ z:\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right| < h\right\}$ и периодична с периодом 2.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полукольце

непрерывна в его замыкании и принимает действительные значения на отрезках $(-R,-\rho )$ и $(\rho , R)$. Доказать, что функцию $f(z)$ можно регулярно продолжить в кольцо $\left\{ z: \rho < \left|z\right| < R\right\}$ до регулярной в этом кольце функции.

Пусть функция $f(z)$ конформно отображает прямоугольник $\left\{ z:\left|\mathrm{Re}\left(z\right)\right| < h,\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right| < h\right\}$ на какой-либо круг (или полуплоскость). Доказать, что регулярное продолжение функции $f(z)$ является функцией, мероморфной во всей плоскости и периодической с периодами $4 h$ и $4 i h$.

Пусть функция $f(z)$ конформно отображает сектор

на треугольник с теми же вершинами $0,1, e^{\pi i / n}$, причем таким образом, что эти вершины остаются на месте. Доказать, что функцию $f(z)$ можно регулярно продолжить в круг $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$ и что функция $F(z)$, осуществляющая это аналитическое продолжение, конформно отображает круг $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$ на правильный $2 n$-угольник (с центром в точке 0 и одной из вершин в точке 1).

Доказать, что любое конформное отображение круга на круг (или на полуплоскость) является дробно-линейным отображением.

Доказать, что не существует функции, конформно отображающей кольцо $\left\{ z: 1 < \left|z\right| < R_{1}\right\}$ на кольцо $\left\{ z: 1 < \left|z\right| < R_{2}\right\}$, если только $R_{1} \neq R_{2}$.

Пусть функция $f(z)$ конформно отображает полуплоскость $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ на область:

Доказать, что регулярное продолжение функции $f(z)$ приводит к функции $F(z)$, регулярной во всей расширенной комплексной плоскости с тремя выколотыми точками (прообразы точек 0,1 и $\infty$).