Банк задач по математике

Задача 27.1

(1)(2)(3)

Пусть $x = \mathrm{Re}\left(z\right), y = \mathrm{Im}\left(z\right)$ , а $C$ — положительная постоянная. Найти образы каждой линии указанных семейств при отображении $w = \frac{1}{z}$ :

?

(1)

семейство окружностей $\left\{ (x, y): x^{2}+y^{2} = C x\right\}$ ;

(2)

семейство прямых $\left\{ (x, y): y = x+C\right\}$ ;

(3)

семейство прямых $\left\{ (x, y): y = C x\right\}$ .

Задача 27.2

Пусть $x = \mathrm{Re}\left(z\right), \quad y = \mathrm{Im}\left(z\right)$ . Найти образы каждой области указанных семейств при отображении $w = \frac{1}{z}$ :

?

(1)

семейство кругов $\left\{ (x, y): x^{2}+y^{2} < C x\right\}$ (здесь $C$ — положительная постоянная);

(2)

семейство кругов $\left\{ (x, y): x^{2}+y^{2} < C x\right\}$ (здесь $C$ -отрицательная постоянная);

(3)

семейство кругов $\left\{ (x, y): x^{2}+y^{2} < C y\right\}$ ( $C$ — положительная постоянная);

(4)

семейство полуплоскостей $\left\{ (x, y): y > C x\right\}$ ( $C$ — положительная постоянная);

(5)

семейство кругов $\left\{ z:\left|z-a\right| < R\right\}$ , где $a$ — фиксированная точка, а положительная постоянная $R$ удовлетворяет условию $R < \left|a\right|$ ;

(6)

семейство кругов $\left\{ z:\left|z-a\right| < R\right\}$ , где $a$ — фиксированная точка, а постоянная $R$ удовлетворяет условию $R > \left|a\right|$ .

Задача 27.3

(1)(2)(3)(4)

Найти образ круга $\left\{ z:\left|z-1\right| < 2\right\}$ при следующих отображениях:

?

(1)

$w = 1-2 i z$ ;

(2)

$w = \frac{2 i z}{z+3}$ ;

(3)

$w = \frac{z+1}{z-2}$ ;

(4)

$w = \frac{z-1}{2 z-6}$ .

Задача 27.4

Найти образ полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) < 1\right\}$ при следующих отображениях:

?

(1)

$w = (1+i) z+1$ ;

(2)

$w = \frac{z}{z-1+i}$ ;

(3)

$w = \frac{z}{z-2}$ ;

(4)

$w = \frac{4 z}{z+1}$ ;

(5)

$w = \frac{z-3+i}{z+1+i}$ .

Задача 27.5

(1)(2)(3)(4)

Найти образы указанных областей $D$ при указанных отображениях:

?

(1)

$D = \left\{ z:\left|z\right| < 1, \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} , w = \frac{1-z}{1+z}$ ;

(2)

$D = \left\{ z: z \notin [-2,1]\right\} , w = \frac{z+2}{1-z}$ ;

(3)

$D = \left\{ z:\left|z-i\right| > 1, \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} , w = \frac{1}{z}$ ;

(4)

$D = \left\{ z: 1 < \left|z\right| < 2\right\} , w = \frac{2}{z-1}$ .

Задача 27.6

(1)(2)(3)

Отыскать дробно-линейные функции $w(z)$ , удовлетворяющие условиям:

?

(1)

$w(0) = 4, w(1+i) = 2+2 i, w(2 i) = 0$ ;

(2)

$w(0) = 0, w(1+i) = 2+2 i, w(2 i) = 4$ ;

(3)

$w(0) = 0, w(1+i) = \infty , w(2 i) = 2 i$ .

Найти образ круга $\left\{ z:\left|z-i\right| < 1\right\}$ при отображениях, задаваемых этими функциями.

Задача 27.7

(1)(2)(3)

Отыскать дробно-линейные функции $w(z)$ , удовлетворяющие условиям:

?

(1)

$w(i) = 2, w(\infty ) = 1+i, w(-i) = 0$ ;

(2)

$w(i) = 0, w(\infty ) = 1, w(-i) = \infty$ ;

(3)

$w(i) = -2, w(\infty ) = 2 i, w(-i) = 2$ .

Найти образ полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > 0\right\}$ при отображениях, задаваемых этими функциями.

Задача 27.8

Найти функцию $w(z)$ , конформно отображающую область $D$ на область $D_{1}$ и удовлетворяющую указанным условиям:

?

(1)

$D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , \quad D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , \quad w\left(z_{0}\right) = 0, \quad \arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\left|z_{0}\right| < 1\right)$ ;

(2)

$D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w\left(z_{0}\right) = w_{0}, \arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\left|z_{0}\right| < 1,\left|w_{0}\right| < 1\right)$ ;

(3)

$D = \left\{ z:\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right| > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w\left(z_{0}\right) = 0, \arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\mathrm{Im}\left(z_{0}\right) > 0\right)$ ;

(4)

$D = \left\{ z:\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right| > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w\left(z_{0}\right) = w_{0}, \arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\mathrm{Im}\left(z_{0}\right) > 0,\left|w_{0}\right| < 1\right)$ ;

(5)

$D = \left\{ z:\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right| > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\} , w\left(z_{0}\right) = w_{0}$ , $\arg w^{\prime }\left(z_{0}\right) = \alpha \left(\mathrm{Im}\left(z_{0}\right) > 0, \mathrm{Im}\left(w_{0}\right) > 0\right) ;$

(6)

$D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(1) = 1, w(i) = \frac{3 i-4}{5}$ , $w(-1) = -1$ ;

(7)

$D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(i) = i, w\left(\frac{i}{2}\right) = \frac{4 i}{5}$ ;

(8)

$D = \left\{ z:\left|z\right| < 1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$ , $\arg w^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi }{2}$ ;

(9)

$D = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(0) = i, w(-1) = 1$ , $w(\infty ) = -1$ ;

(10)

$D = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(0) = -i, w(2 i) = \frac{i}{3}$ ;

(11)

$D = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} , \quad D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , \quad w(1+i) = 0$ , $\arg w^{\prime }(1+i) = \pi$ ;

(12)

$D = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\} , w(-1) = 0, w(0) = 2$ , $w(1) = \infty$ ;

(13)

$D = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} , D_{1} = \left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\} , w(-1) = -2$ , $w(-2+i) = 1+3 i ;$

(14)

$D = \left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\} , \quad D_{1} = \left\{ w: \mathrm{Im}\left(w\right) > 0\right\} , \quad w(1+i) = i$ , $\arg w^{\prime }(1+i) = \frac{\pi }{2}$ ;

(15)

$D = \left\{ z:\left|z-1-i\right| < 2\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(i) = 0, \arg w^{\prime }(i) = \frac{\pi }{2}$ ;

(16)

$D = \left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) > -1\right\} , D_{1} = \left\{ w:\left|w\right| < 1\right\} , w(0) = 0, \arg w^{\prime }(0) = \pi$ .

Задача 27.9

(1)(2)

Найти общий вид конформного отображения следующих областей на кольцо $\left\{ w: 1 < \left|w\right| < R\right\}$ :

?

(1)

$\left\{ z:\left|z-3\right| > 9,\left|z-8\right| < 16\right\}$ ;

(2)

$\left\{ z:\left|z-5\right| > 4\text{, Re }z > 0\right\}$ .

Задача 27.10

Пусть $w(z)$ — произвольная дробно-линейная функция, а $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ — четыре попарно различные точки расширенной комплексной плоскости. Обозначим

w_{k} = w\left(z_{k}\right), \quad k = 1,2,3,4.

Доказать, что

\frac{w_{4}-w_{1}}{w_{4}-w_{2}}: \frac{w_{3}-w_{1}}{w_{3}-w_{2}} = \frac{z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}: \frac{z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}.

?

Задача 27.11

Доказать, что линии уровня модуля дробно-линейной функции являются окружностями или прямыми линиями.

?

Задача 27.12

Доказать, что линии уровня действительной части дробно-линейной функции являются окружностями или прямыми линиями.

?

Задача 27.13

Найти условие, которому должны удовлетворять точки $z_{1}, z_{1}^{*}, z_{2}, z_{2}^{*}$ , чтобы существовала окружность (или прямая), относительно которой точки $z_{k}$ были бы симметричны с точками $z_{k}^{*}(k = 1,2)$ .

?

Задача 27.14

(1)(2)

Пусть функция $w(z)$ мероморфна в области $D$ . Доказать следующие утверждения:

?

(1)

если при отображении $w = w(z)$ образом любого отрезка прямой (лежащего в области $D$ ) является отрезок прямой, то $w(z)$ — линейная функция;

(2)

если при отображении $w = w(z)$ образом любого отрезка прямой (лежащего в области $D$ ) является дуга окружности или отрезок прямой, то $w = w(z)$ — дробно-линейная функция.

Примечание.

?

Точка $a \in \overline{\mathbb {C}}$ называется неподвижной точкой дробно-линейного преобразования $f$ , если $f(a) = a$ . Этот термин используется в задачах 27.15-27.17 ниже.

Задача 27.15

(1)(2)

Доказать утверждения:

?

(1)

каждое дробно-линейное преобразование имеет хотя бы одну неподвижную точку (конечную или бесконечную);

(2)

каждое дробно-линейное преобразование, отличное от тождественного, имеет не более двух неподвижных точек (конечных и бесконечных).

Задача 27.16

Доказать, что дробно-линейное преобразование $f$ с единственной неподвижной точкой $a \in \overline{\mathbb {C}}$ удовлетворяет уравнению

\frac{1}{f(z)-a} = \frac{1}{z-a}+A, \quad A \in \mathbb {C}

при $a \neq \infty$ , а при $a = \infty$ имеет вид

f(z) = z+A, \quad A \in \mathbb {C}.

?

Задача 27.17

Доказать, что дробно-линейное преобразование $f$ с двумя различными конечными неподвижными точками $a$ и $b$ удовлетворяет уравнению

\frac{f(z)-a}{f(z)-b} = A \cdot \frac{z-a}{z-b}, \quad A \in \mathbb {C}

?

Дробно-линейные отображения