Определение и общие свойства конформных отображений

Выяснить, конформно ли отображение $f(z)$ в областях $D$, указываемых в скобках:

Доказать следующие утверждения:

Пусть $n \geqslant 2$ — целое число, а $\alpha$ — произвольное действительное число. Доказать, что отображение $z^{n}+n e^{i \alpha } z$ конформно в круге $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$.

Доказать, что отображение $z^{2}+a z$ конформно в полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ в том и только в том случае, когда выполняется неравенство $\mathrm{Im}\left(a\right) \geqslant 0$.

Доказать, что ни одна из регулярных в полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ ветвей функции $\sqrt{z^{5}}$ не задает конформное отображение этой полуплоскости.

Доказать, что если функция $\operatorname {Ln} z$ допускает выделение в области $D$ регулярной ветви, то эта регулярная ветвь задает конформное отображение области $D$.

Пусть $n$ — целое положительное число. Доказать, что если функция $\sqrt[n]{z}$ допускает выделение в области $D$ регулярной ветви, то эта регулярная ветвь задает конформное отображение области $D$.

Пусть отображение $f(z)$ конформно на множестве $E$, а отображение $g(\zeta )$ определено на множестве $E^{\prime }$ значений $f(z)$. Доказать, что отображение $g(f(z))$ конформно на множестве $E$ тогда и только тогда, когда $g(\zeta )$ конформно на множестве $E^{\prime }$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна и задает конформное отображение круга $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$, а $f(0) = 0$. Доказать, что многозначное отображение $\left\{ \sqrt[n]{f\left(z^{n}\right)}\right\}$ в круге $\left\{ z:\left|z\right| < 1\right\}$ распадается на $n$ регулярных и задающих конформные отображения в круге функций.

Доказать, что для конформности квадратного трехчлена $a z^{2}+b z+c$ в выпуклой области $D$ необходимо и достаточно, чтобы этот трехчлен был конформным в каждой точке области $D$.

Пусть $a, b$ и $z_{0}$ — заданные комплексные числа. Найти наибольшее значение $R$, при котором отображение $z^{2}+a z+b$ конформно в круге $\left\{ z:\left|z-z_{0}\right| < R\right\}$.

Доказать, что отображение $z^{2}+a z+b$ конформно в каждой области $D$, лежащей по одну сторону от какой-либо прямой, проходящей через точку $z = -\frac{a}{2}$.

Доказать, что многочлен $a_{n} z^{n}+\ldots +a_{1} z+a_{0}$ может быть конформным отображением в полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ только в том случае, если его степень не выше второй.

Убедиться, что следующие отображения не конформны в указываемых областях $D$, хотя и конформны в каждой точке этих областей:

Доказать конформность отображения $z^{3}-3 z$ в области

Доказать конформность отображения $z+e^{z}$ в полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Re}\left(z\right) < 0\right\}$.

Пусть $-\infty < a_{1} < \ldots < a_{n} < +\infty$. Доказать, что любая регулярная ветвь многозначной функции $f(z) = \sqrt[n]{\left(z-a_{1}\right) \ldots \left(z-a_{n}\right)}$ в полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ задает конформное в этой полуплоскости отображение.

Пусть $-\infty < a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < +\infty , 0 < \alpha < 1$. Доказать, что любая регулярная ветвь многозначной функции

в полуплоскости $\left\{ z: \mathrm{Im}\left(z\right) > 0\right\}$ задает конформное отображение этой полуплоскости.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $D$, ограниченной простой замкнутой кривой $\Gamma$, и непрерывна в замыкании этой области. Доказать, что если образ кривой $\Gamma$ при отображении $w = f(z)$ является простой замкнутой кривой, то отображение $f(z)$ конформно в области $D$.