Геометрический смысл производной

Пусть дан луч $\left\{ z: \arg \left(z-z_{0}\right) = \varphi \right\}$, выходящий из точки $z_{0}$. Найти коэффициент линейного растяжения $R(\varphi )$ в точке $z_{0}$ и угол поворота $\alpha (\varphi )$ в точке $z_{0}$ для этого луча при следующих отображениях:

Найти множества всех точек $z_{0}$, в которых коэффициент линейного растяжения при следующих отображениях равен единице:

Найти множества всех тех точек $z_{0}$, в которых угол поворота при следующих отображениях равен нулю:

Пусть функция $w(z)$ регулярна в точке $z_{0}$, а гладкие кривые $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, проходящие через точку $z_{0}$, обладают тем свойством, что

Доказать, что если $w^{\prime }\left(z_{0}\right) \neq 0$, то кривые $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ пересекаются под прямым углом.

Пусть функция $w(z)$ регулярна в точке $z_{0}$, а гладкие кривые $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, проходящие через точку $z_{0}$, обладают тем свойством, что

Доказать, что если $w^{\prime }\left(z_{0}\right) \neq 0$, то кривые $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ при пересечении в точке $z_{0}$ образуют углы $\pm \arg w\left(z_{0}\right)+k \pi$.

Найти длины образов следующих кривых Г при указанных отображениях:

Найти площади образов областей $D$ при указанных отображениях:

Найти область, на которую функция $w = e^{z}$ отображает прямоугольник

Вычислить площадь области $w(D)$ с помощью формулы (4) и объяснить, почему эта формула дает неправильный ответ.

Формула (4): если функция $f$ регулярна и однолистна в области $D$ и отображает ее на область $G = f(D)$, то площадь области $G$ равна $S(G) = \iint_{D}\left|f^{\prime }(z)\right|^{2} \, dx \, dy$.

Пусть

Обозначим через $L(r)$ длину образа окружности $\left\{ z:\left|z\right| = r\right\}$ при отображении $w = P(z)$, а через $S(r)$ — площадь образа круга $\left\{ z:\left|z\right| < r\right\}$ при том же отображении. Доказать, что:

Пусть $Q(z) = z+\sum_{k = 1}^{n} c_{k} z^{-k}$. Найти площадь образа кольца $\left\{ z: r < \left|z\right| < R\right\}$ при отображении $w = Q(z)$, считая площадь каждой элементарной площадки с центром в точке $w_{0}$ столько раз, сколько раз функция $Q(z)$ принимает значение $w_{0}$ в кольце $\left\{ z: r < \left|z\right| < R\right\}$.

Пусть функция $w(z)$ регулярна в области $D$ и пусть ее отображение $w = w(z)$ сохраняет евклидово расстояние между точками, т. е. для любой пары точек $z_{1} \in D$ и $z_{2} \in D$ имеет место равенство

Доказать, что $w(z) = e^{i \varphi } z+a$, где $\varphi$ действительная и $a$ комплексная постоянные.