Банк задач по математике

Задача 5.1

Найти все точки $z = x+i y$ , в которых дифференцируемы функции:

?

(1)

$\mathrm{Im}\left(z\right)$ ;

(2)

$\left|\bar{z}\right|^{2}$ ;

(3)

$x^{2}-i y^{2}$ ;

(4)

$x^{2}-y^{2}-2 i x y$ ;

(5)

$x-y+i(x+y)$ ;

(6)

$z \mathrm{Re}\left(z\right)$ .

Задача 5.2

Доказать, что при любом натуральном значении $n$ функция $z^{n}$ дифференцируема во всей комплексной плоскости и что $\left(z^{n}\right)^{\prime } = n z^{n-1}$ .

?

Задача 5.3

Доказать, что всякий многочлен от $z$ является дифференцируемой функцией во всей комплексной плоскости, а всякая рациональная функция дифференцируема в любой точке, где знаменатель не обращается в нуль.

?

Задача 5.4

Определим функцию $e^{z}$ при любом комплексном значении $z = x+i y$ равенством $e^{z} = e^{x}(\cos y+i \sin y)$ . Доказать, что функция $e^{z}$ дифференцируема при любом $z$ и справедливо равенство $\left(e^{z}\right)^{\prime } = e^{z}$ .

?

Задача 5.5

(1)(2)(3)(4)

Определим функции $\operatorname {sh} z, \operatorname {ch} z, \sin z, \cos z$ , равенствами

\begin{aligned} \operatorname {sh} z & = \frac{1}{2}\left(e^{z}-e^{-z}\right), & \operatorname {ch} z & = \frac{1}{2}\left(e^{z}+e^{-z}\right), \\ \sin z & = \frac{1}{2 i}\left(e^{i z}-e^{-i z}\right), & \cos z & = \frac{1}{2}\left(e^{i z}+e^{-i z}\right). \end{aligned}

Доказать, что

?

(1)

$(\operatorname {sh} z)^{\prime } = \operatorname {ch} z$ ;

(2)

$(\operatorname {ch} z)^{\prime } = \operatorname {sh} z$ ;

(3)

$(\sin z)^{\prime } = \cos z$ ;

(4)

$(\cos z)^{\prime } = -\sin z$ .

Задача 5.6

Выяснить, в каких точках $z \in \mathbb {C}$ дифференцируемы функции, и найти их производные:

?

(1)

$e^{\operatorname {sh} z}$ ;

(2)

$\cos \left(2 e^{z}\right)$ ;

(3)

$\sin z \operatorname {sh} z+i \cos z \operatorname {ch} z$ ;

(4)

$\frac{e^{z}}{z}$ ;

(5)

$\frac{z}{e^{z}}$ ;

(6)

$\frac{\sin z}{1+z^{2}}$ .

Задача 5.7

Выяснить, где дифференцируемы функции, и найти их производные:

?

(1)

$\operatorname {tg} z$ ;

(2)

$\operatorname {ctg} z$ ;

(3)

$\frac{e^{z}+2}{e^{z}-2}$ ;

(4)

$\frac{1}{\operatorname {tg} z+\operatorname {ctg} z}$ ;

(5)

$\left(e^{z}+e^{-z}\right)^{-3}$ ;

(6)

$\frac{\sin z}{\sin z-\cos z}$ .

Задача 5.8

(1)(2)(3)

Пусть функция

f(z) = u(x, y)+i v(x, y)

дифференцируема в точке $z_{0} = x_{0}+i y_{0}$ . Доказать справедливость формул:

?

(1)

$f^{\prime }\left(z_{0}\right) = \frac{\partial v}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)-i \frac{\partial u}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ;

(2)

$f^{\prime }\left(z_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)-i \frac{\partial u}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ;

(3)

$f^{\prime }\left(z_{0}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+i \frac{\partial v}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ .

Задача 5.9

(1)(2)(3)(4)

Пусть функция $f(z) = u(x, y)+i v(x, y)$ дифференцируема в области $G \subset \mathbb {C}$ и пусть одна из функций

?

(1)

$u(x, y)$ ;

(2)

$v(x, y)$ ;

(3)

$r(x, y) = \left|f(z)\right|$ ;

(4)

$\varphi (x, y) = \arg f(z)$ сохраняет в области $G$ постоянное значение. Доказать, что $f(z) \equiv$ const.

Задача 5.10

Пусть $u, v$ — пара сопряженных гармонических функций в области $G$ , а $\xi , \eta$ — пара сопряженных гармонических функций в области $D$ . Пусть для любого $z = x+i y \in G$ значение $u(x, y)+i v(x, y)$ принадлежит области $D$ . Доказать, что пара функций $U, V$ вида

\begin{aligned} U(x, y) & = \xi (u(x, y), v(x, y)) \\ V(x, y) & = \eta (u(x, y), v(x, y)) \end{aligned}

образует пару сопряженных гармонических функций в области $G$ .

?

Задача 5.11

Пусть $u, v$ — пара сопряженных гармонических функций в области $G$ и пусть ни в одной точке области $G$ функции $u$ и $v$ не обращаются в нуль одновременно. Доказать, что функция

U(x, y) = \ln \left[u^{2}(x, y)+v^{2}(x, y)\right]

является гармонической в области $G$ .

?

Задача 5.12

Пусть $u, v_{1}$ и $u, v_{2}$ — две пары сопряженных гармонических функций в области $G$ с одной и той же первой функцией $u$ . Доказать, что $v_{1}(x, y)-v_{2}(x, y) \equiv$ const.

?

Задача 5.13

(1)(2)(3)(4)

В следующих задачах дается одна из пары сопряженных гармонических функций $u$ или $v$ . Найти вторую функцию пары.

?

(1)

$u = x y$ ;

(2)

$u = x^{2}-y^{2}+2 x y$ ;

(3)

$v = y \sin x \operatorname {ch} y+x \operatorname {sh} y \cos x$ ;

(4)

$u = r \varphi \cos \varphi +r \ln r \sin \varphi \quad \left(z = x+i y = r e^{i \varphi }\right)$ .

Задача 5.14

(1)(2)(3)(4)

Найти все гармонические функции вида

?

(1)

$u = \varphi \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ;

(2)

$u = \varphi \left(x^{2}-y^{2}\right)$ ;

(3)

$u = \varphi \left(\frac{y}{x}\right)$ ;

(4)

$u = \varphi \left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x}\right)$ .

Задача 5.15

(1)(2)

Пусть $P(x, y)$ — многочлен от $x$ и $y$ с комплексными коэффициентами. Обозначим

P^{*}(z, \bar{z}) = P\left(\frac{z+\bar{z}}{2}, \frac{z-\bar{z}}{2 i}\right)

Доказать, что

?

(1)

функции $u(x, y) = \mathrm{Re}\left(P(x, y)\right), v(x, y) = \mathrm{Im}\left(P(x, y)\right)$ удовлетворяют условиям Коши-Римана в том и только в том случае, когда многочлен $P^{*}(z, \bar{z})$ не зависит от $\bar{z} ;$

(2)

многочлен $P(x, y)$ удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta P = 0$ в том и только том случае, когда многочлен $P^{*}(z, \bar{z})$ можно представить в виде $Q_{1}(z)+Q_{2}(\bar{z})$ , где $Q_{1}$ и $Q_{2}$ — многочлены.

Задача 5.16

(1)(2)

Пусть $P(z)$ — многочлен. Положим

\begin{aligned} & u(x, y) = \mathrm{Re}\left(P(x+i y)\right) ; \\ & v(x, y) = \mathrm{Im}\left(P(x+i y)\right). \end{aligned}

Доказать, что справедливы формулы

?

(1)

$P(z) = 2 u\left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)-\overline{P(0)}$ ;

(2)

$P(z) = 2 i v\left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)+\overline{P(0)}$ .

Задача 5.17

Восстановить регулярную функцию $f(z)$ по условию

?

(1)

$\mathrm{Re}\left(f(z)\right) = x^{3}-6 x^{2} y-3 x y^{2}+2 y^{3}, f(0) = i$ ;

(2)

$\mathrm{Re}\left(f(z)\right) = x \sin x \operatorname {ch} y-y \operatorname {sh} y \cos x, \quad f(0) = 0$ ;

(3)

$\mathrm{Im}\left(f(z)\right) = y \operatorname {ch} x \cos y+x \sin y \operatorname {sh} x, f(0) = 1$ ;

(4)

$\mathrm{Im}\left(f(z)\right) = y \cos x \operatorname {ch} y-x \sin x \operatorname {sh} y, f(0) = 2$ ;

(5)

$\mathrm{Im}\left(f(z)\right) = x \sin y \operatorname {ch} x+y \operatorname {sh} x \cos y, f(0) = 0$ ;

(6)

$\mathrm{Re}\left(f(z)\right) = x e^{x} \cos y-(y+1) e^{x} \sin y, \quad f(0) = i$ ;

(7)

$\left|f(z)\right| = \left(x^{2}+y^{2}\right) e^{x}$ ;

(8)

$\arg f(z) = 2 x y$ ;

(9)

$\left|f(z)\right| = r e^{r^{2} \cos 2 \varphi } \quad \left(z = r e^{i \varphi }\right)$ ;

(10)

$\arg f(z) = \varphi +r \sin \varphi \left(z = r e^{i \varphi }\right)$ .

Задача 5.18

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ регулярны в некоторой области $G$ . Доказать, что сумма $f(z)+\overline{g(z)}$ действительна во всей области $G$ тогда и только тогда, когда $f(z) = g(z)+C$ , где $C$ — действительная постоянная.

?

Задача 5.19

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ регулярны в некоторой области $G$ и $g(z) \not\equiv 0$ . Доказать, что произведение $f(z) \overline{g(z)}$ действительно (неотрицательно) во всей области $G$ тогда и только тогда, когда $f(z) = C g(z)$ , где $C$ действительная (неотрицательная) постоянная.

?

Дифференцируемость функций. Гармонические функции