Принцип максимума

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $G$. Доказать, что если для любой последовательности точек $z_{n} \in G$, сходящейся к какой-либо точке границы области $G$, имеет место неравенство

то или в каждой внутренней точке области $G$ имеет место неравенство $\left|f(z)\right| < M$, или $f(z) \equiv M e^{i \varphi }$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < 1$ и удовлетворяет в этом круге неравенству $\left|f(z)\right| < M$. Доказать, что если $f(0) = 0$, то функция $f(z)$ удовлетворяет в круге $\left|z\right| < 1$ и более сильному неравенству

причем если хотя бы в одной точке $z_{0}, 0 < \left|z_{0}\right| < 1$, имеет место равенство $\left|f\left(z_{0}\right)\right| = M\left|z_{0}\right|$, то

где $\varphi$ — действительная постоянная. (Лемма Швариа.)

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < R$ и удовлетворяет там неравенству $\left|f(z)\right| < M$, а $f(0) = 0$. Доказать, что

причем знак равенства возможен только для функции $f(z) = M e^{i \varphi } \cdot \frac{z}{R}$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < R$, удовлетворяет там неравенству $\left|f(z)\right| < M$ и обращается в нуль в некоторой точке $z_{0}$ этого круга. Доказать неравенства

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полосе $\left|\mathrm{Re}\left(z\right)\right| < \pi / 4$, удовлетворяет там неравенству $\left|f(z)\right| < 1$ и обращается в нуль в точке $z = 0$. Доказать, что $\left|f(z)\right| \leqslant \left|\operatorname {tg} z\right|$ в этой полосе.

Пусть функция $f(z)$ регулярна при $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$, удовлетворяет там неравенству $\left|f(z)\right| < 1$ и обращается в нуль в точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{m}$. Доказать, что

Пусть функция $f(z)$ регулярна и ограничена в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$, а в последовательности точек $\left\{ z_{n}\right\} , z_{n} \rightarrow \infty$, этой полуплоскости обращается в нуль. Доказать, что или $f(z) \equiv 0$, или ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathrm{Re}\left(\frac{1}{z_{n}}\right)$ сходится.

Пусть функция $f(z)$ регулярна и ограничена в круге $\left|z\right| < R$, а в последовательности $\left\{ z_{n}\right\}$ точек этого круга обращается в нуль. Доказать, что или $f(z) \equiv 0$, или ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(R-\left|z_{n}\right|\right)$ сходится.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < 1$, удовлетворяет там неравенству $\left|f(z)\right| < M$, а $f(0) = w_{0}$. Доказать неравенство

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < R$ и удовлетворяет неравенствам $\left|f(z)\right| < M,\left|f(0)\right| \leqslant m < M$. Доказать неравенство

Пусть $P(z)$ — многочлен степени $n$, а $M(r) = \max_{\left|z\right| = r}\left|P(z)\right|$. Доказать, что при $0 < r_{1} < r_{2}$ имеет место неравенство

причем знак равенства хотя бы при одной паре значений $r_{1}$ и $r_{2}$ возможен только для многочлена вида $P(z) = a z^{n}$.

Пусть $P(z) = z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots +a_{n}$. Доказать, что хотя бы в одной точке окружности $\left|z\right| = 1$ имеет место неравенство $\left|P(z)\right| > 1$, или $P(z) \equiv z^{n}$.

Пусть $P(z)$ — многочлен степени $n$, удовлетворяющий на интервале $(-1,1)$ неравенству $\left|P(z)\right| \leqslant M$. Доказать, что в каждой точке $z_{0}$, лежащей вне этого интервала, имеет место неравенство $\left|P\left(z_{0}\right)\right| \leqslant M(a+b)^{n}$, где $a$ и $b$ — полуоси эллипса с фокусами -1 и 1, проходящего через точку $z_{0}$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $G$ и пусть $\inf_{z \in G}\left|f(z)\right| = \mu > 0$. Доказать, что или $f(z) \equiv \mu e^{i \varphi }$, или $\left|f(z)\right| > \mu$ для каждой внутренней точки области $G$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $G$ и непрерывна в ее замыкании $\bar{G}$, а на границе области $G$ ее модуль сохраняет постоянное значение. Доказать, что если функция $f(z)$ отлична от тождественной постоянной, то она обращается в нуль хотя бы в одной точке области $G$.

Пусть функции $f_{1}(z), \ldots , f_{m}(z)$ регулярны в области $G$ и пусть $M = \varlimsup_{z \rightarrow \partial G}\left\{ \left|f_{1}(z)\right|+\ldots +\left|f_{m}(z)\right|\right\}$. Доказать, что если хотя бы одна из $f_{k}(z)$ отлична от тождественной постоянной, то в каждой точке из $G$ имеет место неравенство $\left|f_{1}(z)\right|+\ldots +\left|f_{m}(z)\right| < M$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < R$, а $m$ — целое положительное число. Доказать, что если функция $f(z)$ отлична от тождественной постоянной, то функция

монотонно возрастает при $0 \leqslant r < R$.

Доказать, что функция $u(z)$, гармоническая в области $G$, субгармонична в этой области.

Пусть функция $u(z)$ гармонична в области $G$. Обозначим $M = \sup \left\{ u(z): z \in G\right\} , m = \inf \left\{ u(z): z \in G\right\}$. Доказать, что если $m < M$, то в каждой точке области $G$ справедливы неравенства $m < u(z) < M$. (Приниип максимума и минимума для гармонических функиий.)

Доказать, что функция $u(z) = \left|f(z)\right|$ субгармонична в области $G$, если функция $f(z)$ регулярна в области $G$.

Пусть функция $u(z)$ имеет в области $G \subset \mathbb {C}$ непрерывные частные производные второго порядка (по $x = \mathrm{Re}\left(z\right)$ и по $y = \mathrm{Im}\left(z\right)$) и пусть $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \geqslant 0$ в области $G$. Доказать, что функция $u(z)$ субгармонична в области $G$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $G$. Доказать, что функции $u(z) = \ln \left|f(z)\right|$ и $u(z) = \left|f(z)\right|^{\alpha }, \alpha > 0$, субгармоничны в области $G$.

Пусть функции $u_{1}(z)$ и $u_{2}(z)$ субгармоничны в области $G$. Доказать, что:

Пусть функции $f_{1}(z), \ldots , f_{m}(z)$ регулярны в области $G$. Доказать, что при $\alpha > 0$ функция $u(z) = \left|f_{1}(z)\right|^{\alpha }+\ldots +\left|f_{m}(z)\right|^{\alpha }$ субгармонична в области $G$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| < R$. Доказать, что функция

при любом $\alpha > 0$ является монотонно возрастающей функцией $r$ в интервале $0 \leqslant r < R$ (если $f(z) \not\equiv$ const).

Доказать, что функция

субгармонична в полосе $a < \mathrm{Re}\left(z\right) < b$ в том и только в том случае, когда функция $\varphi (x)$ выпукла книзу на интервале $a < x < b$.

Доказать, что функция $u\left(r e^{i \theta }\right) = \varphi (r)$ субгармонична в кольце $\rho < \left|z\right| < R$ в том и только в том случае, если функция $\varphi (r)$ логарифмически выпукла на интервале $(\rho , R)$, т. е. если для любых трех значений $\rho < r_{1} < r_{2} < r_{3} < R$ имеет место неравенство

Доказать, что функция $u\left(r e^{i \theta }\right) = r^{\rho } \varphi (\theta )$ субгармонична в угле $\alpha < \theta < \beta$ в том и только в том случае, когда функция $\varphi (\theta )$ тригонометрически $\rho$-выпукла на интервале $(\alpha , \beta )$, т. е. если для любой тройки значений $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$, удовлетворяющих условиям $\alpha < \theta_{1} < \theta_{2} < \theta_{3} < \beta$ и $\theta_{3}-\theta_{1} < \pi / \rho$, имеет место неравенство

Пусть функция $f(z)$ регулярна в кольце $\rho < \left|z\right| < R$. Обозначим

Доказать, что при $\rho < r_{1} < r_{2} < r_{3} < R$ имеет место неравенство

(Теорема Адамара о трех кругах.)

Пусть функция $f(z)$ регулярна в кольце $\rho < \left|z\right| < R$. Обозначим

Доказать, что при $\rho < r_{1} < r_{2} < r_{3} < R$ имеет место неравенство

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) > 0$ и удовлетворяет неравенству

Доказать, что функция

является выпуклой вниз функцией $\varphi$ на интервале $-\pi / 2 < \varphi < \pi / 2$.