Последовательности и ряды комплексных чисел. Комплекснозначные функции действительного переменного. Кривые и области на комплексной плоскости

Доказать сходимость последовательности и найти ее предел:

Доказать, что если $\left|z_{n}\right| \leqslant M < \infty$ при $n > n_{0}$, то из последовательности $\left\{ z_{n}\right\}$ можно выбрать подпоследовательность $\left\{ z_{n_{k}}\right\}$, сходящуюся к конечному пределу.

Пусть $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n} = A \neq \infty$. Доказать, что

Пусть $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n} = A \neq \infty , \lim_{n \rightarrow \infty } \zeta_{n} = B \neq \infty$. Доказать, что

Пусть числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ положительны и пусть

Доказать, что из равенства $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n} = A \neq \infty$ следует равенство

Доказать, что для сходимости последовательности $\left\{ z_{n}\right\}$ к бесконечности необходимо и достаточно, чтобы сходилась к $+\infty$ последовательность действительных чисел $\left\{ \left|z_{n}\right|\right\}$.

Доказать, что $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n} = \infty$ в том и только в том случае, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{z_{n}} = 0$.

Выберем в пространстве систему координат $\xi , \eta , \zeta$ таким образом, чтобы оси $O \xi$ и $O \eta$ совпадали с осями $O x$ и $O y$ комплексной плоскости, а ось $O \zeta$ была направлена по диаметру сферы Римана (рис. 2.2). Пусть $x = \mathrm{Re}\left(z\right)$, $y = \mathrm{Im}\left(z\right)$, а точка $M(z)$ имеет пространственные координаты $(\xi , \eta , \zeta )$. Доказать формулы:

Рис. 2.2

Пусть точка $M(z)$ имеет пространственные координаты $(\xi , \eta , \zeta )$. Найти пространственные координаты точки $M$:

Дать геометрическое описание множеств сферы Римана, отвечающих следующим множествам комплексной плоскости:

Доказать, что отличные от точек $O$ и $N$ точки $M\left(z_{1}\right)$ и $M\left(z_{2}\right)$ сферы Римана диаметрально противоположны в том и только в том случае, когда точки $z_{1}$ и $z_{2}$ связаны условием $z_{1} \bar{z}_{2} = -1$.

Доказать, что окружности на сфере Римана отвечает на комплексной плоскости или окружность, или прямая, причем прямая получается в том и только в том случае, когда окружность на сфере Римана проходит через ее верхний полюс $N$.

Найти значения параметра $a$, при которых окружности комплексной плоскости отвечают большим кругам на сфере Римана:

Расстояние в пространстве между точками $M\left(z_{1}\right)$ и $M\left(z_{2}\right)$ называется $x o p$ дальным расстоянием между точками $z_{1}$ и $z_{2}$ расширенной комплексной плоскости и обозначается символом $k\left(z_{1}, z_{2}\right)$. Доказать формулы:

Дать геометрическое описание множества точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } z_{n}$ абсолютно сходится, если выполнено одно из условий:

Доказать абсолютную сходимость ряда:

Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ — последовательность положительных чисел таких, что $\lambda_{k+1} \leqslant \lambda_{k} \quad (k \in \mathbb {N}), \quad \lim_{n \rightarrow \infty } \lambda_{n} = 0$, а $\left\{ z_{n}\right\}$ — такая последовательность комплексных чисел, что $\left|\sum_{k = 1}^{n} z_{k}\right| \leqslant M, M > 0, n \in \mathbb {N}$. Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \lambda_{n} z_{n}$ сходится.

Найти все значения $\alpha \in \mathbb {R}$, при которых сходится ряд:

Убедиться в дифференцируемости следующих функций и найти их производные:

Вычислить интеграл:

Пусть функции $z_{1}(t)$ и $z_{2}(t)$ дифференцируемы. Доказать формулы:

Пусть $\varphi (t)$ — действительная функция, дифференцируемая в точке $t_{0}$, а $z(t)$ — комплекснозначная функция, дифференцируемая в точке $\varphi \left(t_{0}\right)$. Доказать, что функция $z_{1}(t) = z(\varphi (t))$ дифференцируема в точке $t_{0}$ и что $z_{1}^{\prime }\left(t_{0}\right) = z^{\prime }\left(\varphi \left(t_{0}\right)\right) \varphi^{\prime }\left(t_{0}\right)$.

Пусть функция $z(t)$ дифференцируема и отлична от нуля. Доказать формулы:

Пусть действительная функция $\varphi (t)$ монотонна и непрерывно дифференцируема на отрезке $[a, b]$, а комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна на отрезке $[\varphi (a), \varphi (b)]$. Доказать, что

Пусть комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна на отрезке $a \leqslant t \leqslant b$. Доказать неравенства:

Пусть $z(t)$ и $\zeta (t)$ — комплекснозначные функции, непрерывные на отрезке $a \leqslant t \leqslant b$. Доказать, что:

Пусть комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна на отрезке $[0,1]$ и пусть $z(0) \neq 0$. Доказать, что несобственный интеграл $\int_{0}^{1} z(t) t^{-\alpha } d t$ сходится при $\alpha < 1$ и расходится при $\alpha \geqslant 1$.

Пусть комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна при $t \geqslant 1$ и пусть существует отличный от нуля предел этой функции при $t \rightarrow +\infty$. Доказать, что несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty } z(t) t^{-\alpha } d t$ сходится при $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha \leqslant 1$.

Пусть комплекснозначная функция $z(t)$ непрерывна при $t \geqslant 1$ и пусть функции $\mathrm{Re}\left(z(t)\right)$ и $\mathrm{Im}\left(z(t)\right)$ неотрицательны и монотонны при $t \geqslant 1$. Доказать, что несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty } z(t) d t$ и ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } z(n)$ сходятся или расходятся одновременно.

Пусть $\varphi (t)$ — действительная функция, непрерывно дифференцируемая при $t \geqslant 1$ и монотонно стремящаяся к нулю при $t \rightarrow +\infty$, а $z(t)$ — комплекснозначная функция, непрерывная при $t \geqslant 1$ и обладающая тем свойством, что

Доказать, что несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty } z(t) \varphi (t) d t$ сходится.

Выяснить, при каких действительных значениях параметра $\alpha$ сходится несобственный интеграл:

Доказать, что несобственный интеграл $\int_{1}^{\infty } e^{i t^{\beta }} t^{-\alpha } d t$ при действительных значениях постоянных $\alpha$ и $\beta$ сходится в том и только в том случае, когда эти постоянные связаны соотношением $\alpha > \min (1,1-\beta )$.

Пусть $f(t)$ — комплекснозначная функция, непрерывная на отрезке $[a, b]$ и дифференцируемая в каждой внутренней точке этого отрезка. Доказать, что число $\lambda = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ принадлежит выпуклой оболочке множества значений, принимаемых функцией $f^{\prime }(t)$ на интервале $(a, b)$.

Пусть функция $f(t)$ удовлетворяет тем же условиям, что и в задаче 34, а $g(t)$ — действительная функция, непрерывная на отрезке $[a, b]$ и имеющая отличную от нуля производную в каждой внутренней точке этого отрезка. Доказать, что число $\lambda = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ принадлежит выпуклой оболочке множества значений, принимаемых функцией $\frac{f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}$ на интервале $(a, b)$.

Рассмотрев функции

на отрезке $[0, \pi ]$, убедиться, что условие действительности функции $g(t)$ в задаче 35 существенно.

Пусть $f(t)$ и $g(t)$ — комплекснозначные функции, непрерывные на отрезке $[a, b]$ и дифференцируемые в каждой внутренней точке этого отрезка. Доказать, что можно подобрать три точки $\tau_{1}, \tau_{2}, \tau_{3}$ интервала $(a, b)$ и три неотрицательных числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$, для которых $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3} = 1$, таким образом, чтобы выполнялось равенство

Доказать, что $\lim_{t \rightarrow b-0} \frac{f(t)}{g(t)} = A$, если $f(t)$ и $g(t)$ — непрерывные комплекснозначные функции, удовлетворяющие условиям:

Выяснить, какая кривая определяется параметрическим уравнением (указать множество точек плоскости и порядок их прохождения):

Пусть кривая $\gamma$ задана параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$ и пусть функция $z(t)$ имеет в точке $t_{0}$ отличную от нуля производную $z^{\prime }\left(t_{0}\right)$. Доказать, что кривая $\gamma$ имеет в точке $z\left(t_{0}\right)$ касательную и что комплексное число $z^{\prime }\left(t_{0}\right)$ изображает на комплексной плоскости вектор, направленный по этой касательной.

Пусть кривая $\gamma$ задана параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$, где $z(t)$ — функция, имеющая две непрерывные производные на отрезке $[a, b]$. Обозначим через $\tau (t)$ комплексное число, изображающее единичный вектор касательной к кривой $\gamma$ в точке $z(t)$ (направленный в ту же сторону, что и сама кривая в этой точке); через $\nu (t)$ обозначим комплексное число, изображающее единичный вектор нормали к кривой $\gamma$ в точке $z(t)$ (направленный вправо от кривой); через $\rho (t)$ обозначим кривизну кривой $\gamma$ в точке $z(t)$. Доказать формулы:

Пусть кривая $\gamma$ задана параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$, где $z(t)$ — функция, непрерывно дифференцируемая на отрезке $[a, b]$. Доказать, что кривая $\gamma$ спрямляема и что для ее длины $\lambda (\gamma )$ справедлива формула

Доказать, что любая кусочно-гладкая кривая спрямляема.

Пусть $z = \varkappa (t), \quad 0 \leqslant t \leqslant l$, — натуральное уравнение кривой $\gamma$ и пусть функция $\varkappa (t)$ дважды непрерывно дифференцируема на отрезке $[0, l]$, а величины $\tau (t), \nu (t), \rho (t)$ имеют тот же смысл, что и в задаче 41. Доказать формулы:

Описать с помощью неравенств область $D$, если ее граница $\partial D$ состоит из одной замкнутой кривой, определяемой параметрическим уравнением:

Пусть $D$ — конечная область, а ее граница $\partial D$ состоит из одной замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$, где функция $z(t)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[a, b]$. Доказать, что для площади $\sigma (D)$ области $D$ справедлива формула

Пусть $D$-конечная область, а ее граница $\partial D$ состоит из $m$ замкнутых кривых, заданных параметрическими уравнениями

где $z_{k}(t)$ — функции, непрерывно дифференцируемые на отрезках $\left[a_{k}, b_{k}\right]$ соответственно. Доказать, что для площади $\sigma (D)$ области $D$ справедлива формула

Доказать, что для выпуклости области $D$ необходимо и достаточно, чтобы она была звездообразна относительно каждой своей точки.

Пусть граница $\partial D$ области $D$ состоит из одной гладкой замкнутой кривой с параметрическим уравнением $z = z(t), a \leqslant t \leqslant b$, где функция $z(t)$ имеет на отрезке $[a, b]$ непрерывную и отличную от нуля производную. Доказать, что:

Доказать, что область $D$, звездообразная относительно одной из своих точек (в частности, выпуклая область), односвязна.