Банк задач по математике

Задача F.1

(повторено из Главы 3) Пусть $\mu$ — сигма-конечная мера на (T, B). Предположим, что $h_{1}$ и $h_{2}$ — функции из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{T}, \mathcal{B})$ , для которых $\mu \left(g(t) h_{1}(t)\right) \leq \mu \left(g(t) h_{2}(t)\right)$ для всех $g$ из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{T}, \mathcal{B})$ . Покажите, что $h_{1} \leq h_{2}$ п.в. [ $\mu$ ].

?

Задача F.2

Установите Лемму $\langle 3 \rangle$ следующими шагами. Обозначим через $\gamma$ $X$ -маргинал $\Gamma$ .

Лемма 3: Пусть $\Gamma$ — конечная мера на $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ , чей $\mathcal{T}$ -маргинал абсолютно непрерывен относительно сигма-конечной меры $\mu$ на $\mathcal{B}$ . Для $f \in \mathcal{M}^{+}(X, \mathcal{A})$ определим меру $\Gamma_{f}$ на $\mathcal{B}$ соотношением $\Gamma_{f} g: = \Gamma^{x, t}(f(x) g(t))$ для $g \in \mathcal{M}^{+}(\mathcal{T}, \mathcal{B})$ . Тогда плотность $\lambda (t, f): = d \Gamma_{f} / d \mu$ определена корректно и единственна с точностью до $\mu$ -эквивалентности, и $t \mapsto \lambda (t, f)$ обладает следующими мероподобными свойствами, для всех $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{T}, \mathcal{B})$ и всех $f, f_{1}, f_{2}, \ldots$ из $\mathcal{M}^{+}(X, \mathcal{A})$ : (i) $\lambda \left(t, \alpha_{1} f_{1}+\alpha_{2} f_{2}\right) = \alpha_{1}(t) \lambda \left(t, f_{1}\right)+\alpha_{2}(t) \lambda \left(t, f_{2}\right)$ п.в. $[\mu ]$ ; (ii) если $f_{1} \leq f_{2}$ , то $\lambda \left(t, f_{1}\right) \leq \lambda \left(t, f_{2}\right)$ п.в. $[\mu ]$ ; (iii) если $0 \leq f_{1} \leq f_{2} \leq \ldots \uparrow f$ , то $\lambda \left(t, f_{n}\right) \uparrow \lambda (t, f)$ п.в. $[\mu ]$ .

?

(i)

Для фиксированного $f$ из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ и каждого $n$ из $\mathbb {N}$ обозначим через $\lambda_{n}(t, f)$ произвольный выбор производной Радона—Никодима $d \Gamma_{n \wedge f} / d \mu$ . То есть $\lambda_{n}(t, f)$ является $\mathcal{B}$ -измеримой функцией, для которой $\Gamma^{x, t} g(t)(n \wedge f(x)) = \mu^{t} g(t) \lambda_{n}(t, f)$ для всех $g$ из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{T}, \mathcal{B})$ . Используя Задачу [1], покажите, что $0 \leq \lambda_{n}(t, f) \uparrow$ п.в. [ $\mu$ ].

(ii)

Покажите, что $\lambda (t, f): = \limsup \lambda_{n}(t, f)$ является плотностью для $\Gamma_{f}$ относительно $\mu$ . Используя Задачу [1], покажите, что плотность единственна с точностью до $\mu$ -эквивалентности.

(iii)

Для фиксированных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, g$ из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{T}, \mathcal{B})$ и $f, f_{1}, f_{2}$ из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ покажите, что $\mu^{t}\left(g(t) \alpha_{1}(t) \lambda \left(t, f_{1}\right)\right)+\mu^{t}\left(g(t) \alpha_{2}(t) \lambda \left(t, f_{2}\right)\right) = \Gamma g(t)\left(\alpha_{1}(t) f_{1}(x)+\alpha_{2}(t) f_{2}(x)\right)$ . Выведите с помощью (ii), что $\lambda \left(t, \alpha_{1} f_{1}+\alpha_{2} f_{2}\right) = \alpha_{1}(t) \lambda \left(t, f_{1}\right)+\alpha_{2}(t) \lambda \left(t, f_{2}\right)$ п.в. [ $\mu$ ].

(iv)

Если $f_{1}, f_{2} \in \mathcal{M}^{+}(X, \mathcal{A})$ и $f_{1}(x) \leq f_{2}(x)$ п.в. [ $\gamma$ ], покажите, что $\mu^{t}\left(g(t) \lambda \left(t, f_{1}\right)\right) \leq \mu^{t}\left(g(t) \lambda \left(t, f_{1}\right)\right)$ для всех $g$ из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{T}, \mathcal{B})$ . Выведите, что $\lambda \left(t, f_{1}\right) \leq \lambda \left(t, f_{2}\right)$ п.в. $[\mu ]$ .

(v)

Если $f_{1}, f_{2}, \ldots \in \mathcal{M}^{+}(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ и $f_{n}(x) \uparrow f(x)$ п.в. [ $\gamma$ ], покажите, что

\mu ^{t}\left(g(t) \lambda \left(t, f_{n}\right)\right) = \Gamma \left(g(t) f_{n}(x)\right) \uparrow \Gamma (g(t) f(x)) = \mu ^{t}(g(t) \lambda (t, f))

для всех $g$ из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{T}, \mathcal{B})$ . Выведите, что $\lambda \left(t, f_{n}\right) \uparrow \lambda (t, f)$ п.в. $[\mu ]$ .

Задача F.3

Пусть $\lambda$ — сигма-конечная радонова мера на $(X, \mathcal{A})$ , где $\mathcal{A}$ — борелевская сигма-алгебра. Покажите, что существует последовательность непересекающихся компактных множеств $\left\{ K_{i}: i \in \mathbb {N}\right\}$ , для которой $\lambda \left(\cup_{i} K_{i}\right)^{c} = 0$ .

?

Задача F.4

(i)(ii)(iii)

Пусть $\lambda$ — конечная мера на борелевской сигма-алгебре полного, сепарабельного метрического пространства $X$ . Обозначим через $\mathcal{K}$ класс всех компактных подмножеств $X$ .

?

(i)

Покажите, что $\lambda$ плотна: для каждого $\epsilon > 0$ существует $K_{\epsilon }$ из $\mathcal{X}$ такое, что $\lambda K_{\epsilon }^{c} < \epsilon$ . Указание: для каждого положительного целого $n$ покажите, что пространство $X$ является счётным объединением замкнутых шаров радиуса $1 / n$ . Найдите конечное семейство таких шаров, объединение которых $B_{n}$ имеет $\lambda$ -меру больше $\lambda X-\epsilon / 2^{n}$ . Покажите, что $\cap_{n} B_{n}$ компактно, используя характеризацию компактных подмножеств полных метрических пространств через полную ограниченность (Simmons 1963, раздел 25).

(ii)

Выведите, что $\lambda B = \sup \left\{ \lambda K: B \supseteq K \in \mathcal{X}\right\}$ для каждого борелевского множества $B$ . Указание: сравните с задачами к Главе 2.

(iii)

Распространите результат на сигма-конечные меры $\lambda$ на полном, сепарабельном метрическом пространстве, для которых $\lambda K < \infty$ для каждого компакта $K$ .

Задача F.5

(i)(ii)(iii)

Пусть $T$ — $\mathcal{A} \backslash \mathcal{B}$ -измеримое отображение из $(X, \mathcal{A})$ в ( $y, \mathcal{B}$ ). Предположим, что $\mathcal{B}$ содержит все одноточечные множества $\left\{ y\right\}$ , для $y \in y$ , и является счётно порождённой: $\mathcal{B}: = \sigma \left(\mathcal{B}_{0}\right)$ для некоторого счётного подкласса $\mathcal{B}_{0}$ . Без ограничения общности можно предположить, что $\mathcal{B}_{0}$ устойчив относительно дополнений. Покажите, что $\operatorname {graph}(T) \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ , следуя этим шагам.

?

(i)

Будем говорить, что множество $B$ разделяет точки $y_{1}$ и $y_{2}$ , если либо $y_{1} \in B$ и $y_{2} \in B^{c}$ , либо $y_{1} \in B^{c}$ и $y_{2} \in B$ . Для фиксированных $y_{1}$ и $y_{2}$ покажите, что

\mathcal{B}_{1}: = \left\{ B \in \mathcal{B}: B \text{ не разделяет } y_{1} \text{ и } y_{2}\right\}

является сигма-алгеброй. Выведите, что $\mathcal{B}_{1}$ не может содержать все множества из $\mathcal{B}_{0}$ .

(ii)

Если $y \neq T x$ , для некоторого $x \in X$ и $y \in y$ , покажите, что $(x, y) \in \left(T^{-1} B^{c}\right) \otimes B$ для некоторого $B \in \mathcal{B}_{0}$ .

(iii)

Выведите, что $\operatorname {graph}(T)^{c}$ является счётным объединением измеримых прямоугольников.

Задача F.6

Предположим, что $H: y \rightarrow \mathbb {R}$ инъективно. Покажите, что $\sigma (H)$ счётно порождена и содержит все одноточечные множества.

?

Задача F.7

(i)(ii)(iii)

Предположим, что $\mathcal{C}$ — счётно порождённая сигма-алгебра на множестве $y$ , содержащая все одноточечные подмножества. То есть $\mathcal{C}: = \sigma \left(\mathcal{C}_{0}\right)$ , для некоторого счётного $\mathcal{C}_{0}: = \left\{ C_{1}, C_{2}, \ldots \right\}$ . Определим вещественнозначную, C-измеримую функцию $H(y): = \sum_{i} 3^{-i}\left\{ y \in C_{i}\right\}$ на $y$ .

?

(i)

Покажите, что $H$ инъективна. Указание: если $H\left(y_{1}\right) = H\left(y_{2}\right)$ , с $y_{1} \neq y_{2}$ , покажите, что $\mathcal{C}$ не может разделить точки $y_{1}, y_{2}$ , что влечёт $\left\{ y_{1}\right\} \notin \mathcal{C}$ .

(ii)

Снабдите область значений $\mathcal{R}: = H^{y}$ (которая может не быть борелевским множеством) следовой сигма-алгеброй $\mathcal{D}: = \left\{ B \mathcal{R}: B \in \mathcal{B}(\mathbb {R})\right\}$ . Покажите, что отображение $G = H^{-1}$ из $\mathcal{R}$ на $y$ является $\mathcal{D} \backslash \mathcal{C}$ -измеримым. Указание: покажите, что $G^{-1} C_{i}$ является множеством всех точек из $\mathcal{R}$ , чьи разложения по основанию 3 содержат 1 на $i$ -м месте.

(iii)

Покажите, что $\mathrm{C} = \sigma (H)$ .

Задача F.8

Предположим, что $T$ — функция из множества $X$ в множество $\mathcal{T}$ , снабжённое сигма-алгеброй $\mathcal{B}$ . Предположим, что $S: X \rightarrow y$ является $\sigma (T) \backslash \mathcal{C}$ -измеримой, где $\mathcal{C}$ — счётно порождённая сигма-алгебра на $y$ , содержащая все одноточечные множества. Покажите, что существует $\mathcal{B} \backslash \mathcal{C}$ -измеримое отображение $\gamma : \mathcal{T} \rightarrow y$ , такое что $S = \gamma \circ T$ .

?

Задача F.9

(i)(ii)(iii)

Пусть $X_{0}$ — счётное плотное подмножество компактного метрического пространства $X$ . Обозначим через $\bar{B}(x, r)$ замкнутый шар радиуса $r$ с центром $x$ . Определим $\mathcal{X}_{1}$ как совокупность всех конечных объединений шаров $\bar{B}(x, r)$ с рациональным $r$ и $x \in X_{0}$ . Обозначим через $\mathcal{X}_{0}$ совокупность всех конечных пересечений множеств из $\mathcal{X}_{1}$ .

?

(i)

Покажите, что $\mathcal{X}_{0}$ является счётным ( $\emptyset , \cup f, \cap f$ )-паввингом компактных подмножеств $\mathcal{X}$ .

(ii)

Для каждого замкнутого подмножества $F$ пространства $X$ покажите, что существует убывающая последовательность множеств $\left\{ K_{n}\right\}$ из $\mathcal{X}_{0}$ , для которой $F = \cap_{n} K_{n}$ . Указание: объединение открытых шаров $B(x, 1 / n)$ с $x \in X_{0} \cap F$ покрывает компакт $F$ . Найдите конечное подпокрытие. Рассмотрите объединение соответствующих замкнутых шаров.

(iii)

Для каждой пары замкнутых подмножеств $K_{1}, K_{2}$ из $\mathcal{X}_{0}$ , для которой $K_{1} \supseteq K_{2}$ , покажите, что существует возрастающая последовательность множеств $\left\{ H_{n}\right\}$ из $\mathcal{K}_{0}$ , для которой $U_{n} H_{n} = K_{1} \backslash K_{2}$ . Указание: покройте компактное множество $\left\{ x \in K_{1}: d\left(x, K_{2}\right) \geq 2 / n\right\}$ конечным числом замкнутых шаров радиуса $1 / n$ , затем пересеките их объединение с $K_{1}$ .

Разложение мер