Мартингалы в непрерывном времени

Пусть $\left\{ N_{t}: 0 \leq t \leq 1\right\}$ — семейство пренебрежимых множеств для меры Лебега на $\mathcal{B}[0,1]$, такое что $\cup_{t} N_{t} = [0,1]$. Для $\omega \in \Omega : = [0,1]$ определим $X_{t}(\omega ): = \left\{ \omega \in N_{t}\right\}$. Покажите, что $\left\{ X_{t}: 0 \leq t \leq 1\right\}$ является мартингалом относительно фильтрации $\left\{ \mathcal{B}[0, t]: 0 \leq t \leq 1\right\}$. Обязана ли она иметь кадлаг-траектории?

Покажите, что согласованный процесс $\left\{ X_{t}: t \in \mathbb {R}^{+}\right\}$ с непрерывными справа траекториями обязан быть прогрессивно измеримым.

Пусть $\left\{ X_{t}: t \in \mathbb {R}^{+}\right\}$ — процесс с непрерывными траекториями, согласованный с фильтрацией $\left\{ \mathcal{F}_{t}: t \in \mathbb {R}^{+}\right\}$. Определим $\tau (\omega ): = \inf \left\{ t \in \mathbb {R}^{+}: X_{t}(\omega ) \in F\right\}$ для некоторого замкнутого множества $F$. Покажите, что $\left\{ \tau \leq t\right\} = \left\{ \omega : \inf_{s \in Q_{t}} d\left(X_{s}(\omega ), F\right) = 0\right\}$, где $Q_{t}$ обозначает множество рациональных чисел в $[0, t]$. Выведите, что $\tau$ является моментом остановки для этой фильтрации.