C

Выпуклость

[5/0%]
Показать
LaTeX
Задача C.1

Пусть ff — выпуклая функция, принимающая значения в R∪{∞}\mathbb {R} \cup \left\{ \infty \right\}, определённая как

f(x,y)={−y1/2 при 0≤1 и x∈R∞ иначе  f(x, y) = \begin{cases} -y^{1 / 2} & \text{ при } 0 \leq 1 \text{ и } x \in \mathbb {R} \\ \infty & \text{ иначе } \end{cases}

Пусть T0T_{0} обозначает линейную функцию, определённую на оси xx как T0(x,0):=0T_{0}(x, 0): = 0 для всех x∈Rx \in \mathbb {R}. Покажите, что T0T_{0} не имеет продолжения до линейного функционала на R2\mathbb {R}^{2}, для которого T(x,y)≤f(x,y)T(x, y) \leq f(x, y) всюду, хотя T0≤fT_{0} \leq f вдоль оси xx.

?
Задача C.2

Предположим, что XX — случайная величина, для которой производящая функция моментов, M(t):=E[exp⁡(tX)]M(t): = \mathbb {E}\left[\exp (t X)\right], существует (и конечна) для tt из открытого интервала JJ вокруг начала координат вещественной прямой. Обозначим через Pt\mathbb {P}_{t} вероятностную меру с плотностью etX/M(t)e^{t X} / M(t) относительно P\mathbb {P}, для t∈Jt \in J, с соответствующей дисперсией var⁡t(⋅)\operatorname {var}_{t}(\cdot ). Определим Λ(t):=log⁡M(t)\Lambda (t): = \log M(t).

?
(i)

Используйте теорему о мажорируемой сходимости, чтобы обосновать операции, необходимые для того, чтобы показать, что

Λ′(t)=M′(t)/M(t)=E[XetX/M(t)]=Et[X]Λ′′(t)=(M(t)M′′(t)−M′(t)2)/M(t)2=var⁡t(X) \begin{aligned} \Lambda ^{\prime }(t) & = M^{\prime }(t) / M(t) = \mathbb {E}\left[X e^{t X} / M(t)\right] = \mathbb {E}_{t}\left[X\right] \\ \Lambda ^{\prime \prime }(t) & = \left(M(t) M^{\prime \prime }(t)-M^{\prime }(t)^{2}\right) / M(t)^{2} = \operatorname {var}_{t}(X) \end{aligned}
(ii)

Выведите, что Λ\Lambda является выпуклой функцией на JJ.

(iii)

Покажите, что Λ\Lambda достигает минимума при t=0t = 0, если E[X]=0\mathbb {E}\left[X\right] = 0.

Задача C.3

Пусть QQ — вероятностная мера, определённая на конечном интервале [a,b]. Обозначим через σQ2\sigma_{Q}^{2} её дисперсию.

?
(i)

Покажите, что σQ2≤(b−a)2/4\sigma_{Q}^{2} \leq (b-a)^{2} / 4. Указание: сведите к случаю b=−ab = -a, отметив, что σQ2≤Qx(x2)\sigma_{Q}^{2} \leq Q^{x}\left(x^{2}\right).

(ii)

Предположим также, что Qx(x)=0Q^{x}(x) = 0. Определим Λ(t):=log⁡(Qxext)\Lambda (t): = \log \left(Q^{x} e^{x t}\right), для t∈Rt \in \mathbb {R}. Покажите, что Λ′′(t)≤(b−a)2/4\Lambda^{\prime \prime }(t) \leq (b-a)^{2} / 4, и, следовательно, Λ(t)≤t2(b−a)2/8\Lambda (t) \leq t^{2}(b-a)^{2} / 8 для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

(iii)

(Хёфдинг 1963) Пусть X1,…,XnX_{1}, \ldots , X_{n} — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями, причём XiX_{i} принимает значения только в конечном интервале [ai,bi]\left[a_{i}, b_{i}\right]. Для ϵ>0\epsilon > 0 покажите, что

P(X1+…+Xn≥ϵ)≤inf⁡t>0e−ϵt∏iE[etXi]≤exp⁡(−2ϵ2/∑i(bi−ai)2) \mathbb {P}\left(X_{1}+\ldots +X_{n} \geq \epsilon \right) \leq \inf _{t > 0} e^{-\epsilon t} \prod _{i} \mathbb {E}\left[e^{t X_{i}}\right] \leq \exp \left(-2 \epsilon ^{2} / \sum _{i}\left(b_{i}-a_{i}\right)^{2}\right)
Задача C.4

Пусть PP — вероятностная мера на Rk\mathbb {R}^{k}. Определим M(t);=Px(ex⋅t)M(t) ; = P^{x}\left(e^{x \cdot t}\right) для t∈Rkt \in \mathbb {R}^{k}.

?
(i)

Покажите, что множество C:={t∈Rk:M(t)<∞}C: = \left\{ t \in \mathbb {R}^{k}: M(t) < \infty \right\} выпукло.

(ii)

Покажите, что log⁡M(t)\log M(t) выпукла на rel-int (C)(C).

Задача C.5

Пусть ff — выпуклая возрастающая функция на R+\mathbb {R}^{+}. Покажите, что существует возрастающая последовательность выпуклых, возрастающих функций fnf_{n}, каждая из которых fn′′f_{n}^{\prime \prime } ограничена и непрерывна, такая что 0≤fn(x)≤fn+1(x)↑f(x)0 \leq f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \uparrow f(x) для каждого xx.

?