B

Гильбертовы пространства

[6/0%]
Показать
LaTeX
Задача B.1

Предположим, что gn→gg_{n} \rightarrow g и hn→hh_{n} \rightarrow h как элементы гильбертова пространства. Покажите, что ⟨gn,hn⟩→⟨g,h⟩\left\langle g_{n}, h_{n} \right\rangle \rightarrow \left\langle g, h \right\rangle.

?
Задача B.2

Пусть F\mathcal{F} — конечное подмножество гильбертова пространства H\mathcal{H}. Покажите, что подпространство, порождённое F\mathcal{F}, является замкнутым подмножеством H\mathcal{H}.

?
Задача B.3

Пусть λ\lambda — конечная мера на B[0,1]\mathcal{B}[0,1]. Пусть H\mathcal{H} обозначает совокупность λ\lambda-классов эквивалентности {[h]:h непрерывна}\left\{ [h]: h \text{ непрерывна}\right\}. Покажите, что H\mathcal{H} не является замкнутым подпространством L2(λ)L^{2}(\lambda ), если λ\lambda равна мере Лебега. Может ли она быть замкнутым подпространством для какого-то другого выбора λ\lambda?

?
Задача B.4

Пусть K\mathcal{K} — замкнутое, выпуклое подмножество гильбертова пространства H\mathcal{H}.

?
(i)

Покажите, что для каждого ff из H\mathcal{H} существует единственный f0f_{0} из K\mathcal{K}, для которого ∥f−f0∥=inf⁡{∥f−h∥:h∈K}\left\| f-f_{0}\right\| = \inf \left\{ \left\| f-h\right\| : h \in \mathcal{K}\right\}. Указание: воспроизведите доказательство Теоремы ⟨2⟩\langle 2 \rangle.

(ii)

Покажите, что ⟨f−f0,g−f0⟩≤0\left\langle f-f_{0}, g-f_{0} \right\rangle \leq 0 для всех gg из K\mathcal{K}. Указание: рассмотрите расстояние от ff до (1−t)f0+tg(1-t) f_{0}+t g при 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

(iii)

Приведите (конечномерный) пример, где ⟨f−f0,g−f0⟩<0\left\langle f-f_{0}, g-f_{0} \right\rangle < 0 для всех gg из K\{f0}\mathcal{K} \backslash \left\{ f_{0}\right\}.

Задача B.5

Используйте лемму Цорна, чтобы доказать, что каждое гильбертово пространство имеет хотя бы один ортонормированный базис.

?
Задача B.6

Пусть H\mathcal{H} — гильбертово пространство с ортонормированным базисом Ψ:={ψi:i∈I}\Psi : = \left\{ \psi_{i}: i \in I\right\}. Покажите, что II счётно тогда и только тогда, когда H\mathcal{H} сепарабельно (то есть содержит счётное плотное подмножество).

?