Меры и интегралы

Семейство множеств $\mathcal{U}$ называется фильтрующимся вниз, если для каждой пары $U_{1}, U_{2}$ из $\mathcal{U}$ существует $U_{3}$ из $\mathcal{U}$ с $U_{1} \cap U_{2} \supseteq U_{3}$. Функция множества $\mu : \mathcal{K}_{0} \rightarrow \mathbb {R}^{+}$ называется $\tau$-гладкой, если $\inf \left\{ \mu K: K \in \mathcal{U}\right\} = \mu ( \cap \mathcal{U})$ для каждого фильтрующегося вниз семейства $\mathcal{U} \subseteq \mathcal{K}_{0}$. Обозначим через $\mathcal{K}$ $\cap a$-замыкание $(\emptyset , \cup f, \cap f)$-паввинга $\mathcal{K}_{0}$ — совокупность всех возможных пересечений подклассов $\mathcal{K}_{0}$.

Будем говорить, что возрастающий функционал $T$ на $\mathcal{H}^{+}$ является $\tau$-гладким в нуле, если $\inf \left\{ T h: h \in \mathcal{V}\right\}$ для каждого подсемейства $\mathcal{V}$ из $\mathcal{H}^{+}$, фильтрующегося вниз к нулевой функции. (То есть для каждых $h_{1}$ и $h_{2}$ из $V$ найдётся $h_{3}$ из $V$ с $h_{1} \wedge h_{2} \geq h_{3}$, и поточечная нижняя грань всех функций из $V$ всюду равна нулю.) Распространите Теорему $\langle 16 \rangle$ на $\tau$-гладкие функционалы, построив $\mathcal{K}$-регулярную представляющую меру из класса $\mathcal{K}$ множеств, представимых как поточечные нижние грани подклассов $\mathcal{H}^{+}$.