Броуновское движение

Для каждого малого $\epsilon > 0$ покажите, что существуют строго положительные константы $C$ и $\theta$, для которых $\mathbb {P}\left(M_{n} \leq (1-\epsilon ) \ell_{n}\right) = \left(1-2 \mathbb {P}\left(Z_{1} > (1-\epsilon ) \ell_{n}\right)\right)^{n} \leq \exp \left(-C n^{\theta }\right)$ для всех достаточно больших $n$. Выведите, что $\liminf_{n} M_{n} / \ell_{n} \geq 1$ почти наверное.

Для каждого $\epsilon > 0$ покажите, что $\mathbb {P}\left(M_{n} \geq (1+\epsilon ) \ell_{n}\right) \leq n / n^{(1+\epsilon )^{2}}$. Выведите, что $\lim \sup_{k} M_{n(k)} / \ell_{n(k)} \leq 1$ почти наверное.

Используйте неравенство $M_{n} / \ell_{n} \leq M_{n(k+1)} / \ell_{n(k)}$ для $n(k) < n \leq n(k+1)$ и результат из пунктов (i) и (ii), чтобы заключить, что $M_{n} / \ell_{n} \rightarrow 1$ почти наверное.

Используйте задачу [1], чтобы доказать, что $\sum_{n} \mathbb {E}\left[D_{n}\right] < \infty$. Выведите, что существует пренебрежимо малое множество $N$, такое что $\epsilon_{n}(\omega ): = \sum_{i \geq n} D_{i}(\omega ) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ для $\omega \notin N$.

Пусть $s$ и $t$ — точки в $S_{n}$, для которых $\left|s-t\right| \leq 2^{-m}$, где $n > m$. Для каждого $k$ обозначим через $s_{k}$ наибольшее значение в $S_{k}$, для которого $s_{k} \leq s$, и аналогично определим $t_{k}$. (Таким образом, $s = s_{n}$ и $t = t_{n}$.) Покажите, что

Выведите, что

и, следовательно,

Для каждого $t$ из $[0,1]$ и каждого $\omega \in N^{c}$ определим

Определим $B^{*}(t, \omega )$ равным нулю, если $\omega \in N$. (Заметьте, что $B_{t}^{*}$ измерима относительно пополнения $\mathcal{F}_{t}^{*}$.) Покажите, что для всех $t, t^{\prime }$ из $[0,1]$

Покажите, что $B^{*}(t, \omega ) = \lim_{n} B\left(t_{n}, \omega \right)$ почти наверное, где $\left\{ t_{n}\right\}$ — последовательность, определённая в шаге (ii). Для каждого $\epsilon > 0$ выведите, что $\mathbb {P}\left(\left|B_{t}^{*}-B_{t}\right| > \epsilon \right) \leq \mathbb {P}\left(\liminf \left\{ \left|B\left(t_{n}\right)-B_{t}\right| > \epsilon \right\} \right) \leq \underset {n}{\liminf } \mathbb {P}\left(\left|B\left(t_{n}\right)-B_{t}\right| > \epsilon \right) = 0$. (Вспомните, что $B(t)-B\left(t_{n}\right)$ имеет распределение $N\left(0, t-t_{n}\right)$.) Заключите, что $B_{t}^{*} = B_{t}$ почти наверное для каждого $t$.

Покажите, что $\left\{ \tau \leq t\right\} = \left\{ \sup_{s \leq t} B_{s}(\omega ) = M(\omega )\right\}$. Выведите, что $\tau$ измерима относительно $\mathcal{F}_{1}$. Указание: Работайте с процессом в рациональные моменты времени.

Для каждого $t$ из $[0,1)$ покажите, что $\left\{ \tau = t\right\} \subseteq \left\{ \sup_{t \leq s \leq 1}\left(B_{s}-B_{t}\right) \leq 0\right\}$. Выведите с помощью результата из упражнения $\langle 12 \rangle$ (момент первого достижения стандартным броуновским движением фиксированного положительного уровня $a$ имеет плотность $a t^{-3 / 2} \exp \left(-a^{2} / 2 t\right) / \sqrt{2 \pi }$ относительно меры Лебега на $\mathbb {R}^{+}$, так что он принимает любое конкретное значение с вероятностью ноль), что $\mathbb {P}\left(\tau = t\right) = 0$.

Используйте задачу [6], чтобы показать, что $\mathbb {P}\left(\tau = 1\right) = 0$.

Покажите, что $(X, d)$ сепарабельно. Указание: Рассмотрите счётное семейство кусочно-линейных функций, полученных интерполяцией между конечным числом «вершин» с рациональными координатами.

Докажите, что сигма-алгебра $\mathcal{C}$, порождённая конечномерными проекциями, совпадает с борелевской сигма-алгеброй $\mathcal{B}(X)$. Указание: Для одного включения используйте непрерывность проекций. Для другого включения замените расстояния в sup-норме супремумами по подмножествам рациональных чисел.

Для каждого фиксированного $t$ покажите, что $1 = \mathbb {E}\left[X_{\theta }(t \wedge \tau )\right]$. Указание: Вы можете обратиться к приложению E, если хотите быть полностью строгими.

Если $\theta > 2 \beta$, покажите, что $0 \leq X_{\theta }(t \wedge \tau ) \leq \exp (\theta \alpha )$.

Если $\theta > 2 \beta$, покажите, что $X_{\theta }(t \wedge \tau ) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$ на множестве $\left\{ \tau = \infty \right\}$.

Выведите, что $1 = \mathbb {E}\left[\exp \left(\theta \alpha +\left(\theta \beta -1 / 2 \theta^{2}\right) \tau \right) \left\{ \tau < \infty \right\} \right]$ для каждого $\theta > 2 \beta$. Затем устремите $\theta$ к $2 \beta$ убывая, чтобы завершить рассуждение.

Покажите, что мера $\mathbb {Q}$, определённая как $d \mathbb {Q} / d \mathbb {P}: = \exp \left(\alpha B_{1}-\frac{1}{2} \alpha^{2}\right)$, является вероятностной мерой на $\mathcal{F}$.

Покажите, что процесс $X_{t}: = B_{t}-\alpha t$ для $0 \leq t \leq 1$ является броуновским движением относительно $\mathbb {Q}$. Указание: Для фиксированных $s < t$, вещественного $\theta$ и $F$ из $\mathcal{F}_{s}$ покажите, что

Заметьте, что правая часть сводится к выражению, не зависящему от $\theta$, что отождествляет его с $\mathbb {Q} F$.