Банк задач по математике

Задача 8.1

(i)(ii)

Пусть $f = \left(f_{1}, \ldots , f_{k}\right)$ — вектор $\mu$ -интегрируемых вещественнозначных функций. Определим $\mu f$ как вектор $\left(\mu f_{1}, \ldots , \mu f_{k}\right)$ .

?

(i)

Покажите, что $\left|\mu f\right| \leq \mu \left|f\right|$ , где $\left|\cdot \right|$ обозначает обычную евклидову норму. Указание: Пусть $\alpha$ — единичный вектор в направлении $\mu f$ . Заметьте, что $\alpha^{\prime } f \leq \left|f\right|$ .

(ii)

Пусть $f = f_{1}+i f_{2}$ — комплекснозначная функция с $\mu$ -интегрируемыми вещественной и мнимой частями $f_{1}$ и $f_{2}$ . Покажите, что $\left|\mu f\right| \leq \mu \left|f\right|$ , где $\left|\cdot \right|$ обозначает модуль комплексного числа.

Задача 8.2

Предположим, что для преобразования Фурье выполнено $\left|\psi_{P}\left(t_{0}\right)\right| = 1$ при некотором ненулевом $t_{0}$ . То есть $\psi_{P}\left(t_{0}\right) = \exp \left(i \theta_{0}\right)$ для некоторого вещественного $\theta_{0}$ . Покажите, что $P$ сосредоточена на решётке точек $\left\{ \left(\theta_{0}+2 n \pi \right) / t_{0}: n \in \mathbb {Z}\right\}$ .

?

Задача 8.3

(i)(ii)(iii)

Предположим, что $f$ интегрируема относительно меры Лебега $\mathfrak {m}$ на вещественной прямой и абсолютно непрерывна в том смысле, что $f(x) = \mathfrak {m}^{x}(\left\{ t \leq x\right\} \dot{f}(t))$ для всех $x$ , для некоторой интегрируемой функции $\dot{f}$ .

?

(i)

Покажите, что $f(x) \rightarrow 0$ при $\left|x\right| \rightarrow \infty$ . Указание: Покажите, что $\mathfrak {m}^{t} \dot{f}(t) = 0$ , чтобы разобрать случай $x \rightarrow \infty$ .

(ii)

Покажите, что $\mathfrak {m}^{x}\left(f(x) e^{i x t}\right) = -\mathfrak {m}^{x}\left(e^{i x t} \dot{f}(x)\right) /(i t)$ для $t \neq 0$ . Указание: Для корректного применения теоремы Фубини запишите левую часть как $\lim_{C \rightarrow \infty } \mathfrak {m}^{x}\left(e^{i x t}\left\{ \left|x\right| \leq C\right\} \mathfrak {m}^{s}(\dot{f}(s)\left\{ s \leq x\right\} )\right)$ .

(iii)

Если плотность вероятности имеет лебегово-интегрируемые производные вплоть до порядка $k$ , докажите, что её преобразование Фурье имеет порядок $O\left(\left|t\right|^{-k}\right)$ при $\left|t\right| \rightarrow \infty$ .

Задача 8.4

Пусть $\mathfrak {m}$ обозначает меру Лебега на $\mathcal{B}(\mathbb {R})$ . Для каждой $f$ из $\mathcal{L}^{1}(\mathfrak {m})$ покажите, что $\mathrm{m}^{x}\left(f(x) e^{i x t}\right) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \pm \infty$ .

?

Задача 8.5

(i)(ii)

Пусть $g(\cdot )$ — ограниченная вещественная функция на вещественной прямой с ограниченными производными вплоть до порядка $k+1$ , и пусть $X$ — случайная величина, для которой $\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{k}\right] < \infty$ . Пусть $R_{k}(\cdot )$ — остаточный член в разложении Тейлора вплоть до степени $k$ :

g(x) = g(0)+x g^{\prime }(0)+\ldots +\frac{x^{k}}{k!} g^{(k)}(0)+R_{k}(x)

?

(i)

Покажите, что $\left|R_{k}(x)\right| \leq C \min \left(\left|x\right|^{k},\left|x\right|^{k+1}\right)$ для некоторой константы $C$ .

(ii)

Воспользуйтесь теоремой о мажорируемой сходимости, чтобы показать, что

\mathbb {E}\left[g(X t)\right] = g(0)+t g^{\prime }(0) \mathbb {E}\left[X\right]+\ldots +\frac{t^{k}}{k!} g^{(k)}(0) \mathbb {E}\left[X^{k}\right]+o\left(t^{k}\right) \quad \text{ при } t \rightarrow 0

Задача 8.6

(i)(ii)(iii)

Пусть $P$ обозначает двустороннее экспоненциальное распределение, заданное плотностью $p(x) = 1 / 2 \exp (-\left|x\right|)$ относительно меры Лебега на $\mathcal{B}(\mathbb {R})$ .

?

(i)

Покажите, что $P^{x} e^{x s} = 1 /\left(1-s^{2}\right)$ для вещественных $s$ с $\left|s\right| < 1$ .

(ii)

Сделав смелое предположение (или сославшись на аналитическое продолжение), выведите, что $\psi_{P}(t) = 1 /\left(1+t^{2}\right)$ для $t \in \mathbb {R}$ .

(iii)

Распределение Коши задаётся плотностью $q(x) = \pi^{-1} /\left(1+x^{2}\right)$ . Примените формулу обращения из теоремы $\langle 10 \rangle$ , чтобы вывести, что преобразование Фурье распределения Коши равно $\exp (-\left|t\right|)$ .

Примечание.

?

Теорема 10: Если $P$ имеет преобразование Фурье $\psi$ , для которого $\int_{-\infty }^{\infty }\left|\psi (z)\right| d z < \infty$ , то $P$ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега с плотностью $f(y): = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\infty }^{\infty } \psi (z) \exp (-i z y) d z$ , которая ограничена и равномерно непрерывна.

Задача 8.7

Предположим, что $(X, Y)$ имеет многомерное нормальное распределение с $\operatorname {cov}(X, Y) = 0$ . Покажите, что $X$ и $Y$ независимы.

?

Задача 8.8

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины, распределённые равномерно на $(0,1)$ . Вычислите логарифм преобразования Фурье для $n^{-1 / 2}\left(X_{1}+\ldots +X_{n}-\frac{1}{2} n\right)$ с точностью до остаточного члена порядка $O\left(n^{-2}\right)$ .

?

Задача 8.9

(i)(ii)(iii)(iv)

Предположим, что $X$ — случайная величина с преобразованием Фурье $\psi_{X}$ .

?

(i)

Для каждого $\delta > 0$ покажите, что

\frac{1}{\delta } \int _{0}^{\delta }\left(1-\Re \psi _{X}(t)\right) d t = \mathbb {E}\left[1-\frac{\sin X \delta }{X \delta }\right] \geq c_{0} \mathbb {P}\left(\left|X\right| \geq 1 / \delta \right)

где $1-c_{0}: = \sup_{\left|x\right| \geq 1}\left|\sin x / x\right|$ .

(ii)

Если $\psi$ — комплекснозначная функция, непрерывная в начале координат, покажите, что

\frac{1}{\delta } \int _{0}^{\delta } \Re (\psi (0)-\psi (t)) d t \rightarrow 0 \quad \text{ при } \delta \rightarrow 0

(iii)

Предположим, что $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность случайных величин, преобразования Фурье которых $\psi_{n}$ сходятся поточечно к функции $\psi$ , непрерывной в начале координат. Покажите, что $X_{n}$ имеет порядок $O_{p}(1)$ .

(iv)

Покажите, что $\psi$ из пункта (iii) равна преобразованию Фурье некоторой случайной величины $Z$ , представляющей предел по распределению некоторой подпоследовательности $\left\{ X_{n}\right\}$ . Выведите с помощью теоремы $\langle 12 \rangle$ , что $X_{n} \rightsquigarrow Z$ .

Примечание.

?

Теорема 12 (Теорема о непрерывности): Пусть $X, X_{1}, X_{2}, \ldots$ — случайные величины с преобразованиями Фурье $\psi , \psi_{1}, \psi_{2}, \ldots$ , для которых $\psi_{n}(t) \rightarrow \psi (t)$ для каждого вещественного $t$ . Тогда $X_{n} \rightsquigarrow X$ .

Задача 8.10

(i)(ii)

Предположим, что случайная величина $X$ имеет преобразование Фурье $\psi$ , для которого $\psi (t) = 1+O\left(t^{2}\right)$ вблизи $t = 0$ .

?

(i)

Покажите, что существует конечная константа $C$ , такая что

C \geq \frac{\Re (1-\psi (t))}{t^{2}} \geq \mathbb {E}\left[\frac{1-\cos (X t)}{(X t)^{2}} X^{2}\left\{ 0 < \left|X\right| \leq M\right\} \right]

для всех $M$ . Выведите с помощью теоремы о мажорируемой сходимости, что $2 C \geq \mathbb {E}\left[X^{2}\right]$ .

(ii)

Покажите, что $\mathbb {E}\left[X\right] = 0$ .

Задача 8.11

Предположим, что $X$ — случайная величина, а $f(z, X)$ — совместно измеримая функция, аналитическая в окрестности $\mathcal{N}: = \left\{ z \in \mathbb {C}:\left|z-z_{0}\right| < \delta \right\}$ точки $z_{0}$ на комплексной плоскости. Обозначим через $f^{\prime }(z, X)$ производную по $z$ . Предположим, что $\left|f^{\prime }(z, X)\right| \leq M(X)$ для $\left|z-z_{0}\right| \leq \delta$ , где $\mathbb {E}\left[M(X)\right] < \infty$ . Покажите, что $\mathbb {E}\left[f(z, X)\right]$ аналитична в $\mathcal{N}$ , с производной $\mathbb {E}\left[f^{\prime }(z, X)\right]$ .

?

Задача 8.12

(i)(ii)

Предположим, что случайная величина $X$ имеет преобразование Фурье $\phi (t) = \exp \left(i c t-d t^{2}\right)$ для комплексных чисел $c: = c_{1}+i c_{2}$ и $d: = d_{1}+i d_{2}$ .

?

(i)

Выведите из фактов, что $\left|\phi (t)\right| \leq 1$ и $\phi (t) = 1-c_{2} t+i c_{1} t+o(t)$ вблизи $t = 0$ , что $c_{2} = 0$ .

(ii)

Покажите, что $X-c_{1}$ имеет преобразование Фурье $\exp \left(-d t^{2}\right) = 1+O\left(t^{2}\right)$ вблизи $t = 0$ . Выведите с помощью теоремы $\langle 2 \rangle$ и задачи [10], что $d = \mathbb {E}\left[\left|X-c_{1}\right|^{2}\right]$ , что неотрицательно.

Примечание.

?

Теорема 2: Если $\mathbb {E}\left[\left|X\right|^{k}\right] < \infty$ для некоторого положительного целого $k$ , то преобразование Фурье допускает приближение $\psi_{X}(t) = 1+i t \mathbb {E}\left[X\right]+\frac{(i t)^{2}}{2 !} \mathbb {E}\left[X^{2}\right]+\ldots +\frac{(i t)^{k}}{k !} \mathbb {E}\left[X^{k}\right]+o\left(t^{k}\right)$ при $t$ вблизи 0.

Преобразования Фурье