Сходимость по распределению

Пусть $B$ — подмножество метрического пространства. Для каждой пары точек $x_{1}$ и $x_{2}$ в $X$ покажите, что $\inf_{y \in B} d\left(x_{1}, y\right) \leq d\left(x_{1}, x_{2}\right)+\inf_{y \in B} d\left(x_{2}, y\right)$. Выведите, что функция $f_{B}(x): = d(x, B)$ удовлетворяет условию Липшица $\left|f_{B}(x)-f_{B}(y)\right| \leq d(x, y)$.

Для вещественнозначных функций $f, g$ на $X$ докажите, что $\left\| f g\right\|_{B L} \leq 2\left\| f\right\|_{B L}\left\| g\right\|_{B L}$.

Пусть $B$ — подмножество метрического пространства $X$. Покажите, что

Пусть $P$ — вероятностная мера на сепарабельном метрическом пространстве, а $B$ — борелевское множество, для которого $P(\partial B) > 0$.

Для $\mathbf{x} = \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb {R}^{2}$ определим $Q_{\mathrm{x}} = \left\{ \left(y_{1}, y_{2}\right) \in \mathbb {R}^{2}: y_{1} \leq x_{1}, y_{2} \leq x_{2}\right\}$ — квадрант с вершиной x. Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность случайных векторов, а $P$ — вероятностная мера, такая что $\mathbb {P}\left(X_{n} \in Q_{\mathrm{x}}\right) \rightarrow P Q_{\mathrm{x}}$ для всех x, таких что $P\left(\partial Q_{\mathrm{x}}\right) = 0$. Покажите, что $X_{n} \rightsquigarrow P$, следуя этим шагам.

Пусть $X$ — метрическое пространство. Покажите, что отображение $\psi :(x, y) \rightarrow d(x, y)$ непрерывно. Выведите, что $\psi$ является $\mathcal{B}\left(X^{2}\right) \backslash \mathcal{B}(\mathbb {R})$-измеримым. Если $X$ сепарабельно, выведите, что $\psi$ является $\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(X) \backslash \mathcal{B}(\mathbb {R})$-измеримым, и, следовательно, $\omega \mapsto d(X(\omega ), Y(\omega ))$ измеримо, если $X$ и $Y$ — случайные элементы $X$.

Если $P \ell = Q \ell$ для каждой $\ell$ в $B L(X)$, покажите, что $P = Q$ как меры на $\mathcal{B}(X)$.

Пусть $X$ — сепарабельное метрическое пространство. Покажите, что $\Delta (P, Q): = \sup \left\{ \left|P \ell -Q \ell \right|:\left\| \ell \right\|_{B L} \leq 1\right\}$ является метрикой для слабой сходимости. То есть покажите, что $P_{n} \leadsto P$ тогда и только тогда, когда $\Delta \left(P_{n}, P\right) \rightarrow 0$, следуя этим шагам. (Прочитайте доказательство леммы $\langle 37 \rangle$ для подсказок.)

Пусть $y$ и $z$ — метрические пространства, такие что $y$ сепарабельно. Пусть $d$ — метрика на $y \otimes z$, определённая в примере $\langle 14 \rangle$.

Пример 14: Для метрических пространств $\left(y, d_{y}\right)$ и $\left(\mathcal{Z}, d_{\mathcal{Z}}\right)$ снабдим $X: = y \times \mathcal{Z}$ метрикой $d\left(x_{1}, x_{2}\right): = \max \left(d_{y}\left(y_{1}, y_{2}\right), d_{\mathcal{Z}}\left(z_{1}, z_{2}\right)\right)$, где $x_{i}: = \left(y_{i}, z_{i}\right)$.

Пусть $P_{0}, P$ — вероятностные меры на $\mathcal{B}(y)$, а $Q_{0}, Q$ — вероятностные меры на $\mathcal{B}(\mathcal{Z})$. Для фиксированной $\ell$ в $B L(y \times \mathcal{Z})$ определим $h_{0}(z): = P_{0}^{y} \ell (y, z)$ и $g_{Q}(y): = Q^{z} \ell (y, z)$.

Предположим, что $\left\{ X_{n}\right\}$ — случайные элементы $X$, а $P$ — вероятностная мера $P$ на $\mathcal{B}(X)$, для которой $\mathbb {P}\left(X_{n} \in B\right) \rightarrow P B$ для каждого множества $P$-непрерывности. Пусть $f$ — ограниченная измеримая функция на $X$ (без потери общности предположим $0 \leq f \leq 1$), непрерывная во всех точках, кроме точек $P$-пренебрежимого множества $\mathcal{N}$.

Предположим, что $\mu_{n} \rightarrow \mu$ и $\sigma_{n}^{2} \rightarrow \sigma^{2}$, причём оба предела конечны. Пусть $Z$ имеет распределение $N(0,1)$. Покажите, что $\left|\mathbb {E}\left[\ell \left(\mu_{n}+\sigma_{n} Z\right)\right]-\mathbb {E}\left[\ell (\mu +\sigma Z)\right]\right| \leq \left\| \ell \right\|_{B L} \mathbb {E}\left[1 \wedge \left(\left|\mu_{n}-\mu \right|+\left|\sigma_{n}-\sigma \right|\left|Z\right|\right)\right]$. Выведите, с помощью теоремы о мажорируемой сходимости, что $N\left(\mu_{n}, \sigma_{n}^{2}\right) \rightsquigarrow N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$.

Предположим, что $X_{n}$ имеет распределение $N\left(\mu_{n}, \sigma_{n}^{2}\right)$, и $X_{n} \rightsquigarrow P$.

Предположим, что случайные величины $\left\{ X_{n}\right\}$ сходятся по распределению к $X$, и что $\left\{ A_{n}\right\}$ и $\left\{ B_{n}\right\}$ — последовательности констант с $A_{n} \rightarrow A$ и $B_{n} \rightarrow B$ (оба предела конечны). Покажите, что $A_{n} X_{n}+B_{n} \rightsquigarrow A X+B$. Обобщите на случайные векторы.

Пусть $Y$ — случайный $k$-вектор с $\mu : = \mathbb {E}\left[Y\right]$ и $V: = \operatorname {Var}\left[Y\right]$. Пусть $V$ имеет представление $V = L \Lambda^{2} L^{\prime }$, с $L$ — ортогональной матрицей и $\Lambda : = \operatorname {diag}\left(\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}\right)$, каждое $\lambda_{i}$ неотрицательно. Определим $R: = L \Lambda$. Пусть $W$ — случайный $k$-вектор независимых случайных величин $N(0,1)$.

Пусть $f$ — ограниченная измеримая вещественнозначная функция на вещественной прямой. Пусть $k$ — интегрируемая по Лебегу функция с производной $k^{\prime }$. Предположим, что существует интегрируемая по Лебегу функция $M$ с $\left|k(x+\delta )-k(x)\right| \leq \left|\delta \right| M(x)$ для всех $\left|\delta \right| \leq 1$ и всех $x$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность случайных величин, все определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Если $X_{n} = o_{p}(1)$, мы знаем из главы 2, что существует подпоследовательность $\left\{ X_{n_{i}}: i \in \mathbb {N}\right\}$, для которой $X_{n_{i}}(\omega ) = o(1)$ для почти всех $\omega$. Если вместо этого $X_{n} = O_{p}(1)$, должна ли обязательно существовать подпоследовательность, для которой $X_{n_{i}}(\omega ) = O(1)$ для почти всех $\omega$?

Пусть $\psi$ — строго возрастающая функция на $\mathbb {R}^{+}$ с $\psi (0) = 0$ и $\psi (t) \rightarrow 1$ при $t \rightarrow \infty$. Покажите, что последовательность случайных векторов $\left\{ X_{n}\right\}$ имеет порядок $O_{p}(1)$ тогда и только тогда, когда $\lim \sup \mathbb {E}\left[\psi \left(\left|X_{n}\right|\right)\right] < 1$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ и $\left\{ Y_{n}\right\}$ — последовательности случайных $k$-векторов, с $X_{n}$ и $Y_{n}$, определёнными на одном и том же пространстве и независимыми друг от друга. Предположим, что $X_{n}-Y_{n} = O_{p}(1)$. Покажите, что существует последовательность неслучайных векторов $\left\{ a_{n}\right\}$, для которой $X_{n}-a_{n} = O_{p}(1)$.

Если $X$ имеет распределение Пуассона($\lambda$), покажите, что $\sqrt{X}-\sqrt{\lambda } \leadsto N(0,1 / 4)$ при $\lambda \rightarrow \infty$.

Пусть $\left\{ X_{n, i}\right\}$ — треугольный массив случайных величин, независимых внутри каждой строки и удовлетворяющих (a) $\sum_{i} \mathbb {P}\left(\left|X_{n, i}\right| > \epsilon \right) \rightarrow 0$ для каждого $\epsilon > 0$, (b) $\sum_{i} \operatorname {Var}\left[X_{n, i} \left\{ \left|X_{n,i}\right| \leq \varepsilon \right\} \right] \to 1$ для каждого $\epsilon > 0$.

Покажите, что $\sum_{i} X_{n, i}-A_{n} \leadsto N(0,1)$, где $A_{n}: = \sum_{i} \mathbb {E}\left[X_{n, i} \left\{ \left|X_{n, i}\right| \leq 1\right\} \right]$.

Пусть $\left\{ X_{n, i}\right\}$ — треугольный массив случайных величин, независимых внутри каждой строки и удовлетворяющих

Если каждая из компонент $\left\{ X_{n i}\right\}$, для $i = 1, \ldots , k$, последовательности случайных $k$-векторов $\left\{ X_{n}\right\}$ имеет порядок $O_{p}(1)$, покажите, что $X_{n} = O_{p}(1)$.

Предположим, что $f(x) = o(\left|x\right|)$ при $x \rightarrow 0$, и $g(x) = O\left(\left|x\right|^{k}\right)$ при $x \rightarrow 0$. Предположим, что $X_{n} = O_{p}\left(\alpha_{n}\right)$ для некоторой последовательности констант $\alpha_{n}$, стремящихся к нулю. Получите оценку скорости, с которой $f\left(g\left(X_{n}\right)\right)$ стремится к нулю.