Мартингалы и другие понятия

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины с $\mathbb {P}\left(\xi_{i} = +1\right) = 1 / 3$ и $\mathbb {P}\left(\xi_{i} = -1\right) = 2 / 3$. Определим $X_{0} = 0$ и $X_{i}: = \xi_{1}+\ldots +\xi_{i}$ и $Z_{i}: = 2^{X_{i}}$, для $i \geq 1$. Покажите, что $\left\{ Z_{i}\right\}$ является мартингалом относительно подходящей фильтрации.

Определим $\tau : = \inf \left\{ i: X_{i} = -1\right\}$. Покажите, что $\tau$ — момент остановки, почти всюду конечный. Подсказка: используйте усиленный закон больших чисел (SLLN).

Покажите, что $\mathbb {E}\left[Z_{0}\right] > \mathbb {E}\left[Z_{\tau }\right]$. (Стоит ли беспокоиться о том, что происходит на множестве $\left\{ \tau = \infty \right\}$?)

Истолкуйте (*) так, что существуют неотрицательные $\mathcal{F}_{i-1}$-измеримые случайные величины $Y_{i-1}$, для которых $\mathbb {E}\left[X_{i} \mid \mathcal{F}_{i-1}\right] = Y_{i-1}+\theta_{i} X_{i-1}$ почти наверное. Положим $Z_{i}: = X_{i}-Y_{i-1}-\theta_{i} X_{i-1}$. Покажите, что $C_{i} X_{i} \leq C_{i-1} X_{i-1}+C_{i} Z_{i}+C_{i} Y_{i-1}$ почти наверное.

Выведите, что $C_{i} X_{i} \leq M_{i}+\Delta$, где $M_{i}$ — мартингал с $M_{0} = 0$ и $\Delta : = \sum_{i = 1}^{N} C_{i} Y_{i-1}$.

Покажите, что левая часть неравенства (**) меньше, чем $\mathbb {E}\left[C_{\tau } X_{\tau }\right]$ для подходящего момента остановки $\tau$, затем перегруппируйте сумму для $\mathbb {E}\left[\Delta \right]$, чтобы получить утверждаемую верхнюю границу.

Обозначим через $M_{n}$ величину $\max_{i \leq n} S_{i}$. Для фиксированного $x > 0$ и подходящего момента остановки $\tau$, примените лемму об остановке, чтобы показать, что

Покажите, что $\mathbb {E}\left[X^{p}\right] = \int_{0}^{\infty } p x^{p-1} \mathbb {P}\left(X \geq x\right) d x$ для каждой неотрицательной случайной величины $X$.

Покажите, что $\mathbb {E}\left[M_{n}^{p}\right] \leq q \mathbb {E}\left[S_{n} M_{n}^{p-1}\right]$.

Оцените последнее произведение с помощью неравенства Гёльдера, затем перегруппируйте, чтобы получить утверждаемое неравенство. (Есть ли проблемы с бесконечными значениями?)

Покажите, что существует разбиение $\pi_{n}$ пространства $\Omega$ не более чем на $2^{n}$ непересекающихся множеств из $\mathcal{F}_{n}$, такое что каждое $F$ в $\mathcal{F}_{n}$ является объединением множеств из $\pi_{n}$.

Определим $\mathcal{F}_{n}$-измеримые случайные величины $X_{n}$ следующим образом: для $\omega \in A \in \pi_{n}$,

Покажите, что $\mathbb {E}\left[X_{n} F\right] = \mu F$ для всех $F$ в $\mathcal{F}_{n}$.

Покажите, что $\left(X_{n}, \mathcal{F}_{n}\right)$ является положительным мартингалом.

Покажите, что $\left\{ X_{n}\right\}$ равномерно интегрируема. Подсказка: что вам известно о $\mu \left\{ X_{n} \geq M\right\}$?

Пусть $X_{\infty }$ обозначает почти наверное существующий предел $\left\{ X_{n}\right\}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X_{\infty } F\right] = \mu F$ для всех $F$ в $\mathcal{F}$. То есть покажите, что $X_{\infty }$ является плотностью для $\mu$ относительно $\mathbb {P}$.

Покажите, что $Z_{n} = \left(X_{n}-\alpha \right)^{+}$ является положительным субмартингалом, с $Z_{\sigma_{i}} = 0$, если $\sigma_{i} < \infty$, и $Z_{\tau_{i}} \geq \beta -\alpha$, если $\tau_{i} < \infty$.

Для каждого $i$ покажите, что $Z_{\tau_{i} \wedge N}-Z_{\sigma_{i} \wedge N} \geq (\beta -\alpha )\left\{ \tau_{i} \leq N\right\}$. Подсказка: рассмотрите отдельно три случая $\sigma_{i} > N, \sigma_{i} \leq N < \tau_{i}$ и $\tau_{i} \leq N$.

Покажите, что $-\mathbb {E}\left[Z_{\sigma_{1} \wedge N}\right]+\mathbb {E}\left[Z_{\tau_{k} \wedge N}\right] \geq k(\beta -\alpha ) \mathbb {P}\left(\tau_{k} \leq N\right)$. Подсказка: возьмите математические ожидания, затем просуммируйте по $i$ в неравенстве из пункта (ii). Используйте лемму об остановке для субмартингалов, чтобы доказать $\mathbb {E}\left[Z_{\tau_{i} \wedge N}\right]-\mathbb {E}\left[Z_{\sigma_{i+1} \wedge N}\right] \leq 0$.

Покажите, что $\mathbb {E}\left[Z_{\tau_{k} \wedge N}\right] \leq \mathbb {E}\left[Z_{N}\right] = \mathbb {E}\left[\left(X_{N}-\alpha \right)^{+}\right]$.

Для фиксированных $\alpha < \beta$ используйте неравенство для числа пересечений из задачи [11], чтобы доказать, что

Выведите, что $\left\{ X_{n}\right\}$ сходится почти наверное к предельной случайной величине $X$, которая может принимать значения $\pm \infty$.

Докажите, что $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|\right] \leq 2 \mathbb {E}\left[X_{n}^{+}\right]-\mathbb {E}\left[X_{1}\right]$ для каждого $n$. Выведите с помощью леммы Фату, что $\mathbb {E}\left[\left|X\right|\right] < \infty$.

Покажите, что $\operatorname {Var}\left[Z_{n}\right] = \sigma^{2} \mu^{n-1}+\mu^{2} \operatorname {Var}\left[Z_{n-1}\right]$.

Обозначим через $X_{n}$ мартингал $Z_{n} / \mu^{n}$. Покажите, что $\sup_{n} \operatorname {Var}\left[X_{n}\right] < \infty$.

Выведите, что $X_{n}$ сходится как почти наверное, так и в $\mathcal{L}^{1}$ к пределу $X$, и, следовательно, $\mathbb {E}\left[X\right] = 1$. В частности, предел $X$ не может быть вырожденным в 0.

Покажите, что $\sum_{n}\left(\mu -\mu_{n}\right) = P^{x}\left(x \sum_{n}\left\{ x > \mu^{n}\right\} \right)$, которая сходится к конечному пределу тогда и только тогда, когда выполняется (XLOGX).

Определим $\tilde{X}_{n}: = \mu^{-n} \sum_{i} \xi_{n, i}\left\{ \xi_{n, i} \leq \mu^{n}\right\} \left\{ i \leq Z_{n-1}\right\}$. Покажите, что $\mathbb {E}_{n-1}\left[\tilde{X}_{n}\right] = \mu_{n} X_{n-1} / \mu$ почти наверное. Покажите также, что

Покажите, что, для некоторой константы $C_{1}$,

Выведите, что $\sum_{n}\left(\tilde{X}_{n}-X_{n}\right)$ сходится почти наверное к конечному пределу.

Обозначим через $\operatorname {var}_{n-1}$ условную дисперсию, соответствующую $\mathbb {P}_{n-1}$. Покажите, что

Выведите, с помощью (ii), что

для некоторой константы $C_{2}$. Заключите, что $\sum_{n}\left(\tilde{X}_{n}-\mu_{n} X_{n-1} / \mu \right)$ является мартингалом, который сходится как почти наверное, так и в $\mathcal{L}^{1}$.

Выведите из (iii), (iv) и того факта, что $\sum_{n}\left(X_{n}-X_{n-1}\right)$ сходится почти наверное, что $\sum_{n} X_{n-1}\left(1-\mu_{n} / \mu \right)$ сходится почти наверное к конечному пределу.

Предположим, что $\mathbb {P}\left(X > 0\right) > 0$. Покажите, что существует $\omega$, для которого одновременно $\sum_{n} X_{n-1}(\omega )\left(1-\mu_{n} / \mu \right) < \infty$ и $\lim X_{n-1}(\omega ) > 0$. Выведите с помощью (i), что выполняется (XlogX).

Предположим, что выполняется (XlogX). Из (i) выведите, что $\mathbb {E}\left[\sum_{n} X_{n-1}\left(1-\mu_{n} / \mu \right)\right] < \infty$. Выведите с помощью (iv), что $\sum_{n}\left(\widetilde{X}_{n}-X_{n-1}\right)$ сходится в $\mathcal{L}^{1}$. Выведите с помощью (ii), что $\mathbb {E}\left[X\right] \geq \mathbb {E}\left[X_{N}+\sum_{n = N+1}^{\infty }\left(\widetilde{X}_{n}-X_{n-1}\right)\right] = 1-o(1)$ при $N \rightarrow \infty$, откуда следует, что $X$ невырожден. (На самом деле, $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}-X\right|\right] \rightarrow 0$. Почему?)

Определим $X_{n}: = \sum_{i = 1}^{n} \xi_{i} / i$. Покажите, что $\sup_{n} \mathbb {E}\left[X_{n}^{2}\right] < \infty$. Выведите, что $X_{n}(\omega )$ сходится к конечному пределу для почти всех $\omega$.

Примените лемму Кронекера, чтобы вывести, что $n^{-1} \sum_{i = 1}^{n} \xi_{i} \rightarrow 0$ почти наверное.

Пусть $f$ — ограниченная $\mathcal{A}^{n}$-измеримая функция на $X^{n}$. Определим $X: = f\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ и $Y: = f\left(x_{n+1}, \ldots , x_{2 n}\right)$. Используя задачу [16], покажите, что $\mathbb {E}\left[X Y\right] \geq \mathbb {E}\left[X\right]\mathbb {E}\left[Y\right]$, с равенством, если $\mathbb {P}$ является произведение-мерой.

Предположим, что $\mathbb {P} = \alpha_{1} \mathbb {Q}_{1}+\alpha_{2} \mathbb {Q}_{2}$, с $\alpha_{i} > 0$ и $\alpha_{1}+\alpha_{2} = 1$, где $\mathbb {Q}_{1}$ и $\mathbb {Q}_{2}$ — различные обмениваемые вероятностные меры. Пусть $f$ — ограниченная измеримая функция на некотором $X^{n}$, для которой $\mu_{1}: = \mathbb {Q}_{1} f\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \neq \mathbb {Q}_{2} f\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) = : \mu_{2}$. Определим $X$ и $Y$, как в пункте (i). Покажите, что $\mathbb {E}\left[X Y\right] > \mathbb {E}\left[X\right]\mathbb {E}\left[Y\right]$. Подсказка: используйте строгую выпуклость функции квадрата, чтобы показать, что $\alpha_{1} \mu_{1}^{2}+\alpha_{2} \mu_{2}^{2} > \left(\alpha_{1} \mu_{1}+\alpha_{2} \mu_{2}\right)^{2}$. Выведите, что $\mathbb {P}$ не является произведение-мерой.

Предположим, что $\mathbb {P}$ не является произведение-мерой. Объясните, почему существуют $E \in \mathcal{A}^{n}$ и ограниченная измеримая функция $g$, для которых

где $\mathbf{z}: = \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$. Определим $\alpha = \mathbb {P}\left(\mathbf{z} \in E\right)$. Покажите, что $0 < \alpha < 1$. Для каждой $h \in \mathcal{M}^{+}\left(X^{\mathbb {N}}, \mathcal{A}^{\mathbb {N}}\right)$ определим

Покажите, что $\mathbb {Q}_{1}$ и $\mathbb {Q}_{2}$ соответствуют различным обмениваемым вероятностным мерам, для которых $\mathbb {P} = \alpha \mathbb {Q}_{1}+(1-\alpha ) \mathbb {Q}_{2}$. То есть $\mathbb {P}$ не является крайней точкой множества всех обмениваемых вероятностных мер на $\mathcal{A}^{\mathbb {N}}$.