Произведения пространств и независимость

Покажите, что $\mathbb {P}\left(B_{1}^{c} B_{2}^{c} \ldots B_{n}^{c}\right) \leq \exp \left(-\sum_{i = 1}^{n} \mathbb {P}\left(B_{i}\right)\right) \rightarrow 0$.

Выведите, что $\prod_{i = 1}^{\infty } B_{i}^{c} = 0$ почти наверное.

Выведите, что $\sum_{i = 1}^{\infty } B_{i} \geq 1$ почти наверное.

Выведите, что $\sum_{i = m}^{\infty } B_{i} \geq 1$ почти наверное, для каждого конечного $m$. Указание: события $B_{m}, B_{m+1}, \ldots$ независимы.

Завершите доказательство.

Отображение $\phi : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$, определённое как $\phi (s, t) = \left\{ s > t\right\}$, измеримо относительно $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right) \backslash \mathcal{B}(\mathbb {R})$. (Что вы знаете о прообразах для $\phi$?)

Докажите, что отображение $(x, y) \mapsto (f(x), y)$ измеримо относительно $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}(\mathbb {R}) \backslash \mathcal{B}(\mathbb {R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb {R})$.

Покажите, что композиция измеримых функций измерима, если различные сигма-алгебры согласованы должным образом.

Завершите рассуждение.

Покажите, что $\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(y) \subseteq \mathcal{B}(X \times y)$.

Если и $X$, и $y$ имеют счётно порождённые топологии, докажите равенство этих двух сигма-алгебр на пространстве произведения.

Покажите, что $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{n}\right) = \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{k}\right) \otimes \mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{n-k}\right)$.

Покажите, что борелевская сигма-алгебра $\mathcal{B}(X \times X)$ состоит из всех подмножеств $X \times X$.

Покажите, что $\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(X)$ равна

Для заданного счётного класса подмножеств $\mathcal{C}$ множества $X$ определите отношение эквивалентности $x \sim y$ тогда и только тогда, когда $\left\{ x \in C\right\} = \left\{ y \in C\right\}$ для всех $C$ из $\mathcal{C}$. Покажите, что существует не более $2^{\kappa_{0}}$ классов эквивалентности. Выведите, что существует хотя бы одна пара различных точек $x_{0}$ и $y_{0}$, таких что $x_{0} \sim y_{0}$. Выведите, что $\sigma (\mathcal{C})$ не может разделить пару ($x_{0}, y_{0}$).

Покажите, что диагональ $\Delta = \left\{ (x, y) \in X \times X: x = y\right\}$ не может принадлежать сигма-алгебре произведения $\mathcal{B}(X) \otimes \mathcal{B}(X)$, которая, следовательно, является собственной под-сигма-алгеброй $\mathcal{B}(X \times X)$. Указание: предположите, что $\Delta \in \sigma (\mathcal{E})$ для некоторого счётного класса $\mathcal{E}$ измеримых прямоугольников. Найдите пару различных точек $x_{0}, y_{0}$, таких что ни один элемент $\mathcal{E}$, ни $\sigma (\mathcal{E})$, не может выделить собственное подмножество $F = \left\{ \left(x_{0}, x_{0}\right),\left(y_{0}, x_{0}\right),\left(x_{0}, y_{0}\right),\left(y_{0}, y_{0}\right)\right\}$, но $F \Delta = \left\{ \left(x_{0}, x_{0}\right),\left(y_{0}, x_{0}\right)\right\}$.

Для фиксированных $E_{2}, \ldots , E_{n}$ из $\mathcal{E}_{2}, \ldots , \mathcal{E}_{n}$ определите $\mathcal{D}_{1}$ как класс всех событий $D$, для которых $\mathbb {P}\left(D E_{2} \ldots E_{n}\right) = \mathbb {P}\left(D\right)\mathbb {P}\left(E_{2}\right) \ldots \mathbb {P}\left(E_{n}\right)$. Покажите, что $\mathcal{D}_{1}$ является $\lambda$-классом.

Выведите, что $\mathcal{D}_{1} \supseteq \sigma \left(\mathcal{E}_{1}\right)$. То есть, что аналог предполагаемой факторизации, в котором $\mathcal{E}_{1}$ заменено на $\sigma \left(\mathcal{E}_{1}\right)$, также выполняется.

Аналогично покажите, что каждый последующий $\mathcal{E}_{i}$ также может быть заменён на его $\sigma \left(\mathcal{E}_{i}\right)$.

Используя закон нуля-единицы Колмогорова (пример $\langle 12 \rangle$), покажите, что множество $\left\{ \lim \sup \bar{Z}_{n} > r\right\}$ является хвостовым событием для каждой константы $r$, и, следовательно, имеет вероятность либо нуль, либо единица. Выведите, что $\limsup \bar{Z}_{n} = c_{0}$ почти наверное, для некоторой константы $c_{0}$ (возможно, $\pm \infty$).

Если $\bar{Z}_{n}$ сходится к конечному пределу (возможно, случайному) при каждом $\omega$ из множества $A$ с $\mathbb {P}\left(A\right) > 0$, покажите, что на самом деле должна существовать конечная константа $c_{0}$, для которой $\bar{Z}_{n} \rightarrow c_{0}$ почти наверное.

Покажите, что существует не более чем счётное число точек $x$, атомов, для которых $\mu \left\{ x\right\} > 0$.

Покажите, что

где $\left\{ x_{i}: i \in \mathbb {N}\right\}$ содержит все атомы обеих мер.

Объясните, как (ii) связано с формулой интегрирования по частям:

Указание: прочитайте раздел 3.4.

Выразите $b_{i}$ как $\alpha_{1}+\ldots +\alpha_{i}$, для последовательности $\left\{ \alpha_{i}\right\}$ неотрицательных чисел. Изменив порядок суммирования, покажите, для $m < n$, что $\sum_{i = 1}^{n} b_{i} x_{i}$ равно

Для заданного $\epsilon > 0$ найдите такое $m$, что $\left|\sum_{i = p}^{n} x_{i}\right| < \epsilon$ всякий раз, когда $m \leq p \leq n$.

При $m$, как в (ii), и $n \geq m$, покажите, что $\left|\sum_{i = 1}^{n} b_{i} x_{i}\right| \leq \left|C_{m}\right|+\epsilon \sum_{j = 1}^{n} \alpha_{j}$.

Выведите утверждаемую сходимость.

Покажите, что $\sum_{i = 1}^{\infty } \mathbb {E}\left[Z_{i}^{2}\right] / i^{2 \beta } < \infty$ и $\sum_{i = 1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\left|Z_{i}\right|\right] / i^{\beta } < \infty$.

Выведите, что $\sum_{i = 1}^{\infty } Z_{i} / i^{\beta }$ сходится почти наверное.

Покажите, что $\sum_{i = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\left|Y_{i}\right|^{\alpha } > i\right) < \infty$.

Выведите, что $\sum_{i = 1}^{\infty } Y_{i} / i^{\beta }$ сходится почти наверное.

Выведите с помощью леммы Кронекера (задача [22]), что $n^{-1 / \alpha }\left(Y_{1}+\ldots +Y_{n}\right)$ сходится к 0 почти наверное.

Обоснуйте, что нет потери общности в предположении $X_{i} \geq 0$. Подсказка: рассмотрите положительную и отрицательную части.

Покажите, что $\mathbb {E}\left[T_{n}\right] / n \rightarrow \mu$ при $n \rightarrow \infty$ и $\left(S_{n}-T_{n}\right) / n \rightarrow 0$ почти наверное.

Покажите, что $\operatorname {Var}\left[T_{n}\right] \leq \sum_{i} \mathbb {E}\left[X_{1}^{2} \left\{ X_{1} \leq i \leq n\right\} \right]$.

Для фиксированного $\rho > 1$ пусть $\left\{ k_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность положительных целых чисел, такая что $k_{n} / \rho^{n} \rightarrow 1$. Покажите, что $\sum_{n}\left\{ i \leq k_{n}\right\} / k_{n}^{2} \leq C / i^{2}$ для каждого положительного целого $i$, для некоторой константы $C$.

Используя пункты (iii) и (iv), а также задачу [25], покажите, что

Выведите с помощью леммы Бореля–Кантелли, что $\left(T_{k_{n}}-\mathbb {E}\left[T_{k_{n}}\right]\right) / k_{n} \rightarrow 0$ почти наверное.

Выведите, что $S_{k_{n}} / k_{n} \rightarrow \mu$ почти наверное, при $n \rightarrow \infty$.

Для каждого $\rho^{\prime } > \rho$ покажите, что

когда $n$ достаточно велико.

Выведите, что $\lim \sup S_{m} / m$ и $\liminf S_{m} / m$ оба лежат между $\mu / \rho$ и $\mu \rho$ с вероятностью один.

Отбрасывая последовательность пренебрежимо малых множеств по мере убывания $\rho$ до 1, выведите, что $S_{m} / m \rightarrow \mu$ почти наверное.

Если $F_{1}$ и $F_{2}$ — множества из $\mathcal{F}$, для которых $F_{1} X = F_{2} X$, покажите, что $P F_{1} = P F_{2}$.

Обозначим через $\mathcal{A}$ совокупность всех множеств вида $F X$, с $F \in \mathcal{F}$. Покажите, что $\mathcal{A}$ является сигма-алгеброй (так называемой следовой сигма-алгеброй).

Покажите, что $\mathcal{M}^{+}(X, \mathcal{A}) = \left\{ \left.\bar{f}(x)\right|_{x}: \bar{f} \in \mathcal{M}^{+}(\Omega , \mathcal{F})\right\}$.

Покажите, что $Q(F X): = P F$ является корректно определённой (в силу (i)) вероятностной мерой на $\mathcal{A}$.

Покажите, что $Q f = P \bar{f}$, для каждой $\bar{f} \in \mathcal{M}^{+}(\Omega , \mathcal{F})$, чьё сужение на $X$ равно $f$.

Покажите, что множества $A_{i}$, для $i \in \overline{\mathbb {N}}$, попарно не пересекаются, и $\cup_{i \geq 0} A_{i} = [0,1)$.

Пусть $D_{0}$ — борелевски измеримое подмножество $A_{0}$. Определим $D_{i}$ как множество точек $x+r_{i}$, с $x \in D_{0}$ и сложением по модулю 1. Покажите, что $m D_{0} = m D_{i}$ для каждого $i$, и $1 \geq \sum_{i \geq 0} \mathfrak {m} D_{i}$. Выведите, что $m D_{0} = 0$.

Выведите, что $A_{0}$ не может быть измеримым (даже для пополнения борелевской сигма-алгебры), иначе $[0,1)$ было бы счётным объединением лебеговски пренебрежимых множеств.

Предположим, что $D$ — борелевски измеримое подмножество $U_{i \leq n} A_{i}$ для некоторого конечного $n$. Покажите, что $[0,1)$ содержит счётное число непересекающихся сдвигов $D$. Выведите, что $\mathfrak {m} D = 0$.

Определим $X_{n} = \cup_{i \geq n} A_{i}$. Выведите из (iv), что каждое $X_{n}$ имеет внешнюю лебеговскую меру 1 (то есть $m B = 1$ для каждого борелевского множества $B \supseteq X_{n}$), но $\cap_{n} X_{n} = \emptyset$.

Покажите, что каждая функция $f$ в $\mathcal{M}^{+}\left(\Omega_{n}, \mathcal{F}_{n}\right)$ является сужением функции $\bar{f}$ в $\mathcal{M}^{+}\left([0,1)^{n}, \mathcal{B}^{n}\right)$ на $\Omega_{n}$.

Покажите, что $\mathbb {E}_{n}\left[f\right]: = \mathfrak {m}^{t} \bar{f}(t, t, \ldots , t)$, для $f \in \mathcal{M}^{+}\left(\Omega_{n}, \mathcal{F}_{n}\right)$, определяет согласованное семейство конечномерных распределений.

Пусть $g_{n}$ обозначает индикаторную функцию множества $\left\{ \omega_{n} \in \Omega_{n}: x_{1} = x_{2} = \ldots = x_{n}\right\}$, и пусть $f_{n}(\omega ) = g_{n}(\omega \mid n)$ — соответствующие функции в $\mathcal{H}^{+}$. Покажите, что $\mathbb {E}_{n}\left[g_{n}\right] = 1$ для всех $n$, хотя $f_{n} \downarrow 0$ поточечно.

Выведите, что функционал $\mathbb {P}$, определённый в $\langle 47 \rangle$, не является сигма-непрерывным в нуле. (Определение 47: на конусе $\mathcal{H}^{+}: = \cup_{n} \mathcal{H}_{n}^{+}$ функций на $\Omega$, зависящих лишь от конечного числа координат, определим $\mathbb {P} h: = \mathbb {E}_{n}\left[g_{n}\right]$ всякий раз, когда $h(\omega ) = g_{n}(\omega \mid n)$ для некоторой $g_{n}$ из конуса $\mathcal{G}_{n}^{+}$ ограниченных неотрицательных $\mathcal{F}_{n}$-измеримых функций на $\Omega_{n}$; согласованность семейства $\left\{ \mathbb {P}_{n}\right\}$ делает это определение корректным. Возрастающий функционал $T$ на $\mathcal{H}^{+}$ является $\sigma$-непрерывным в нуле, если $T h_{i} \downarrow 0$ для каждой последовательности $\left\{ h_{i}\right\}$ в $\mathcal{H}^{+}$ с $1 \geq h_{i} \downarrow 0$ поточечно.)

Пусть $\left\{ z_{n}: n \in \mathbb {N}\right\}$ — последовательность с $z_{n} \in H_{n}$. Используя компактность каждого $K_{i}$, найдите подпоследовательности $\mathbb {N}_{1} \supseteq \mathbb {N}_{2} \supseteq \mathbb {N}_{3} \supseteq \ldots$ множества $\mathbb {N}$, для которых $y(i): = \lim_{n \in \mathbb {N}_{i}} \pi_{i} z_{n}$ существует как точка $K_{i}$. Определим $\mathbb {N}_{\infty }$ как подпоследовательность, чей $i$-й член равен $i$-му члену $\mathbb {N}_{i}$. Покажите, что $\lim_{n \in \mathbb {N}_{\infty }} \pi_{i} z_{n} = y(i)$ для каждого $i$.

Покажите, что первые $i$ компонент $y(i+1)$ совпадают с $y(i)$ для каждого $i$. Выведите, что существует $y$ в $\Omega$, для которого $\pi_{i} y = y(i) \in K_{i}$ для каждого $i$. Выведите, что $y \in H$, и, следовательно, $H \neq \emptyset$.

Рассмотрите частный случай, когда $z_{n} \in H$ для каждого $n$. Покажите, что существует подпоследовательность, сходящаяся к точке $H$.

Покажите, что $\mathcal{F} = \cup_{S} \mathcal{F}_{S}$, где объединение берётся по всем счётным подмножествам $S$ множества $T$.

Для каждого счётного $S \subset T$ пусть $\mathbb {P}_{S}$ — вероятностная мера на $\mathcal{F}_{S}$, обладающая тем свойством, что $\mathbb {P}_{S}$ равна сужению $\mathbb {P}_{S^{\prime }}$ на $\mathcal{F}_{S}$, если $S \subseteq S^{\prime }$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(F\right): = \mathbb {P}_{S}\left(F\right)$ для $F \in \mathcal{F}_{S}$ определяет счётно-аддитивную вероятностную меру на $\mathcal{F}_{T}$.