Плотности и производные

Пусть $\mu$ — мера, определённая на всех подмножествах $X$ равенством $\mu A = +\infty$, если $A \neq \emptyset$, и $\mu (\emptyset ) = 0$. Покажите, что $\mu f = \mu (2 f)$ для всех неотрицательных функций $f$.

Пусть $\lambda$ обозначает меру на $\mathbb {R}$, при которой $\lambda A$ равно числу точек в $A$ (возможно, бесконечному), и пусть $\mu A = \infty$ для всех непустых $A$. Покажите, что $\lambda$ не имеет плотности относительно $\mu$, хотя обе меры имеют одни и те же пренебрежимые множества.

Предположим, что $\Delta_{1}$ и $\Delta_{2}$ — функции из $\mathcal{M}^{+}(\mathcal{X}, \mathcal{A})$, для которых $\mu \left(f \Delta_{1}\right) = \mu \left(f \Delta_{2}\right)$ для всех $f$ из $\mathcal{M}^{+}(X, \mathcal{A})$, при некоторой мере $\mu$.

Пусть $P$ и $Q$ — вероятностные меры на $(\Omega , \mathcal{F})$, а $\mathcal{E}$ — порождающий класс для $\mathcal{F}$, замкнутый относительно конечных пересечений и содержащий $\Omega$. Предположим, что существует такая $p$ из $\mathcal{L}^{1}(Q)$, что $P E = Q(p E)$ для каждого $E$ из $\mathcal{E}$. Покажите, что $P$ имеет плотность $p$ относительно $Q$.

Есть ли у примера $\langle 3 \rangle$ аналог для сходимости в $\mathcal{L}^{p}$ при некотором $p > 1$: если $v$ — конечная мера, подчинённая мере $\lambda$, и если $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций, для которой $\lambda \left|f_{n}\right|^{p} \rightarrow 0$, следует ли отсюда, что $\nu \left|f_{n}\right|^{p} \rightarrow 0$?

Пусть $\nu$ и $\mu$ — конечные меры на сигма-алгебре $\sigma (\mathcal{E})$, порождённой счётной алгеброй $\mathcal{E}$. Предположим, что для каждого $\epsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что $\nu E < \epsilon$ для каждого $E$ из $\mathcal{E}$ с $\mu E < \delta$. Покажите, что $v$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ как мера на $\sigma (\mathcal{E})$.

Пусть $v$ и $\mu$ — конечные меры на $(X, \mathcal{A})$. Предположим, что $v$ имеет разложение Лебега $(\Delta , \mathcal{N})$ относительно $\mu$. Найдите разложение Лебега меры $\mu$ относительно $v$.

Покажите, что мера $\mu$ сигма-конечна тогда и только тогда, когда существует строго положительная измеримая функция $\Psi$, для которой $\mu \Psi < \infty$.

Предположим, что $\left(\mathcal{N}_{1}, \Delta_{1}\right)$ и $\left(\mathcal{N}_{2}, \Delta_{2}\right)$ — оба разложения Лебега для конечной меры $v$ относительно конечной меры $\mu$. Докажите, что $\mathcal{N}_{1} = \mathcal{N}_{2}$ п.в. $[\nu +\mu ]$ и $\Delta_{1} \mathcal{N}_{1}^{c} = \Delta_{2} \mathcal{N}_{2}^{c}$ п.в. $[\nu +\mu ]$, следуя указанным ниже шагам.

Предположим, что $\nu$ и $\mu$ — обе сигма-конечные меры на $(X, \mathcal{A})$.

Пусть $\nu$ — конечная мера, для которой $\nu = \nu_{1}+\lambda_{1} = \nu_{2}+\lambda_{2}$, где каждая $\nu_{i}$ подчинена фиксированной сигма-конечной мере $\mu$, а каждая $\lambda_{i}$ сингулярна относительно $\mu$. Покажите, что $\nu_{1} = \nu_{2}$ и $\lambda_{1} = \lambda_{2}$.

Пусть $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — конечные меры с плотностями $m_{1}$ и $m_{2}$ относительно сигма-конечной меры $\lambda$. Определите $\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)^{+}$ как меру с плотностью $\left(m_{1}-m_{2}\right)^{+}$ относительно $\lambda$.

Пусть $P$ и $Q$ — вероятностные меры с плотностями $p$ и $q$ относительно сигма-конечной меры $\lambda$. Для фиксированного $\alpha \geq 1$ покажите, что $\Delta_{\alpha }(P, Q): = \lambda \left|p^{1 / \alpha }-q^{1 / \alpha }\right|^{\alpha }$ не зависит от выбора доминирующей меры.

Адаптируйте рассуждение из предыдущей задачи, чтобы показать, что относительная энтропия $D(P \| Q)$ не зависит от выбора доминирующей меры.

Пусть $P$ — стандартное распределение Коши на вещественной прямой, а $Q$ — стандартное нормальное распределение. Покажите, что $D(P \| Q) = \infty$, хотя $P$ и $Q$ взаимно абсолютно непрерывны.

Пусть $P$ и $Q$ — вероятностные меры, определённые на одной и той же сигма-алгебре $\mathcal{F}$. Рандомизированный критерий — это измеримая функция $f$ с $0 \leq f \leq 1$. (Для наблюдения $\omega$ значение $f(\omega )$ даёт вероятность отклонения «гипотезы» $P$.) Найдите критерий, минимизирующий $P f+Q(1-f)$.

Пусть $P$ и $Q$ — конечные меры, определённые на одной и той же сигма-алгебре $\mathcal{F}$, с плотностями $p$ и $q$ относительно меры $\mu$. Предположим, что $X_{0}$ — измеримое множество, обладающее тем свойством, что существует неотрицательная константа $K$, такая что $q \geq K p$ на $X_{0}$ и $q \leq K p$ на $X_{0}^{c}$. Для каждой $\mathcal{F}$-измеримой функции с $0 \leq f \leq 1$ и $P f \leq P X_{0}$ докажите, что $Q f \leq Q X_{0}$.

Пусть $\mu = \mu_{1}-\mu_{2}$ и $\mu^{\prime } = \mu_{1}^{\prime }-\mu_{2}^{\prime }$ — знакопеременные меры в смысле раздела 3. Покажите, что $v: = \left(\mu_{1}+\mu_{2}^{\prime }\right) \wedge \left(\mu_{1}^{\prime }+\mu_{2}\right)-\left(\mu_{2}+\mu_{2}^{\prime }\right)$ — наибольшая знакопеременная мера, для которой $v \leq \mu$ и $v \leq \mu^{\prime }$.

Пусть $f(x) = (1+x) \log (1+x)-x$, для $x \geq -1$. Используя представления

покажите, что $f(x) \geq 1 / 2 x^{2}(1+x / 3)^{-1}$.

Покажите, что функция $x^{-1} \cos \left(x^{-2}\right)$ не интегрируема на [0,1].

Докажите теорему $\langle 19 \rangle$, установив следующие утверждения.

Теорема 19: Пусть $H$ — непрерывная функция, определённая на интервале $[a, b]$, для которой в каждой точке $[a, b)$ существует (вещественнозначная) правая производная $h(x): = \lim_{\delta \downarrow 0}\left(H(x+\delta )-H(x)\right) / \delta$. Если $h$ интегрируема по Лебегу, то $H(x) = H(a)+\int_{a}^{x} h(t) d t$ для каждого $x$ из $[a, b]$, а значит, $H$ — абсолютно непрерывная функция на $[a, b]$.

Без ограничения общности предположим, что $a = 0$, $b = 1$ и $H(0) = 0$. Обозначим через $m$ меру Лебега на $\mathcal{B}[0,1]$. Зафиксируем $\epsilon > 0$. Определим $A_{n}: = \left\{ n \epsilon \leq h < (n+1) \epsilon \right\}$ для каждого целого $n$, как положительного, так и отрицательного. Заметим, что

Пусть $H$ — непрерывная вещественная функция, определённая на [0,1). Предположим, что правая производная $h$ существует и конечна всюду. Если $h$ — возрастающая функция, покажите, что $H$ выпукла.

Пусть $h$ интегрируема относительно меры Лебега $\mathfrak {m}$ на $\mathbb {R}^{d}$. Покажите, что

Обобщите, заменив открытые шары убывающими последовательностями замкнутых множеств $F_{n} \downarrow \left\{ z\right\}$, регулярных в смысле раздела 5.