Немного теории меры

Предположим, что события $A_{1}, A_{2}, \ldots$ в вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ независимы: это означает, что $\mathbb {P}\left(A_{i_{1}} A_{i_{2}} \ldots A_{i_{k}}\right) = \mathbb {P}\left(A_{i_{1}}\right) \mathbb {P}\left(A_{i_{2}} \ldots \right) \mathbb {P}\left(A_{i_{k}}\right)$ для всех наборов различных индексов $i_{1}, i_{2}, \ldots , i_{k}$, при любом $k$. Предположим, что $\sum_{i = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(A_{i}\right) = \infty$.

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — события в вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$. Определим $X_{n} = A_{1}+\ldots +A_{n}$ и $\sigma_{n} = \mathbb {E}\left[X_{n}\right]$. Предположим, что $\sigma_{n} \rightarrow \infty$ и $\left\| X_{n} / \sigma_{n}\right\|_{2} \rightarrow 1$. (Сравните с неравенством $\left\| X_{n} / \sigma_{n}\right\|_{2} \geq 1$, которое следует из неравенства Йенсена.)

Предположим, что $T$ — функция из множества $X$ в множество $\mathcal{Y}$, и предположим, что на $\mathcal{Y}$ задана $\sigma$-алгебра $\mathcal{B}$. Определим $\mathcal{A}$ как сигма-алгебру множеств вида $T^{-1} B$, где $B$ принадлежит $\mathcal{B}$. Предположим, что $f \in \mathcal{M}^{+}(X, \mathcal{A})$. Покажите, что существует $\mathcal{B} \backslash \mathcal{B}[0, \infty ]$-измеримая функция $g$ из $\mathcal{Y}$ в $[0, \infty ]$, такая что $f(x) = g(T(x))$ для всех $x$ из $X$, выполнив следующие шаги.

Пусть $g_{1}, g_{2}, \ldots$ — $\mathcal{A} \backslash \mathcal{B}(\mathbb {R})$-измеримые функции из $X$ в $\mathbb {R}$. Покажите, что $\left\{ \lim \sup_{n} g_{n} > t\right\} = \bigcup_{\substack {r \in \mathbb {Q} \\ r > t}} \bigcap_{m = 1}^{\infty } \bigcup_{i \geq m}\left\{ g_{i} > r\right\}$. Выведите, без обращения к примеру $\langle 8 \rangle$, что $\lim \sup g_{n}$ является $\mathcal{A} \backslash \mathcal{B}(\overline{\mathbb {R}})$-измеримой. Предупреждение: будьте осторожны со строгими неравенствами, которые в пределе превращаются в нестрогие — возможна ситуация, когда $x_{n} > x$ для всех $n$, и тем не менее $\lim \sup_{n} x_{n} = x$.

Предположим, что класс множеств $\mathcal{E}$ не разделяет некоторую конкретную пару точек $x, y$: для каждого $E$ из $\mathcal{E}$ либо $\left\{ x, y\right\} \subseteq E$, либо $\left\{ x, y\right\} \subseteq E^{c}$. Покажите, что $\sigma (\mathcal{E})$ также не разделяет эту пару.

Совокупность множеств $\mathcal{F}_{0}$, замкнутую относительно конечных объединений, конечных пересечений и дополнений, называют алгеброй. Неотрицательная функция множества $\mu$, заданная на $\mathcal{F}_{0}$, называется конечно-аддитивной мерой, если $\mu \left(\cup_{i \leq n} F_{i}\right) = \sum_{i \leq n} \mu F_{i}$ для любого конечного набора непересекающихся множеств из $\mathcal{F}_{0}$. Говорят, что функция множества счётно-аддитивна на $\mathcal{F}_{0}$, если $\mu \left(\cup_{i \in \mathbb {N}} F_{i}\right) = \sum_{i \in \mathbb {N}} \mu F_{i}$ для любого счётного набора непересекающихся множеств из $\mathcal{F}_{0}$, объединение которых принадлежит $\mathcal{F}$. Предположим, что $\mu X < \infty$. Покажите, что $\mu$ счётно-аддитивна на $\mathcal{F}_{0}$ тогда и только тогда, когда $\mu A_{n} \downarrow 0$ для каждой убывающей последовательности из $\mathcal{F}_{0}$ с пустым пересечением.

Пусть $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — функции из $\mathcal{M}^{+}(X, \mathcal{A})$, а $\mu$ — мера на $\mathcal{A}$. Покажите, что $\mu \left(\vee_{i} f_{i}\right) \leq \sum_{i} \mu f_{i} \leq \mu \left(\vee_{i} f_{i}\right)+\sum_{i < j} \mu \left(f_{i} \wedge f_{j}\right)$, где $\vee$ обозначает поточечный максимум функций, а $\wedge$ — поточечный минимум.

Пусть $\mu$ — конечная мера, а $f$ — измеримая функция. Для каждого положительного целого $k$ покажите, что $\mu \left|f\right|^{k} < \infty$ тогда и только тогда, когда $\sum_{n = 1}^{\infty } n^{k-1} \mu \left\{ \left|f\right| \geq n\right\} < \infty$.

Предположим, что $v: = T \mu$ — образ меры $\mu$ при измеримом отображении $T$. Покажите, что $f \in \mathcal{L}^{1}(\nu )$ тогда и только тогда, когда $f \circ T \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$, и в этом случае $v f = \mu (f \circ T)$.

Пусть $\left\{ h_{n}\right\} ,\left\{ f_{n}\right\}$ и $\left\{ g_{n}\right\}$ — последовательности $\mu$-интегрируемых функций, сходящиеся $\mu$-почти всюду к пределам $h, f$ и $g$. Предположим, что $h_{n}(x) \leq f_{n}(x) \leq g_{n}(x)$ для всех $x$. Предположим также, что $\mu h_{n} \rightarrow \mu h$ и $\mu g_{n} \rightarrow \mu g$. Адаптируйте доказательство теоремы о мажорируемой сходимости, чтобы показать, что $\mu f_{n} \rightarrow \mu f$.

Совокупность множеств называется монотонным классом, если она замкнута относительно объединений возрастающих последовательностей и пересечений убывающих последовательностей. Адаптируйте рассуждение из теоремы $\langle 38 \rangle$, чтобы доказать: если класс $\mathcal{E}$ замкнут относительно конечных объединений и дополнений, то $\sigma (\mathcal{E})$ совпадает с наименьшим монотонным классом, содержащим $\mathcal{E}$.

Пусть $\mu$ — конечная мера на борелевской сигма-алгебре $\mathcal{B}(X)$ метрического пространства $X$. Назовём множество $B$ внутренне регулярным, если $\mu B = \sup \left\{ \mu F: B \supseteq F \text{ замкнуто}\right\}$, и внешне регулярным, если $\mu B = \inf \left\{ \mu F: B \subseteq G \text{ открыто}\right\}$

Пусть $\mu$ — конечная мера на борелевской сигма-алгебре полного сепарабельного метрического пространства $X$. Покажите, что $\mu$ плотна: для каждого $\epsilon > 0$ существует компакт $K_{\epsilon }$, такой что $\mu K_{\epsilon }^{c} < \epsilon$.

Говорят, что последовательность случайных величин $\left\{ X_{n}\right\}$ сходится по вероятности к случайной величине $X$ (обозначение $X_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} X$), если $\mathbb {P}\left(\left|X_{n}-X\right| > \epsilon \right) \rightarrow 0$ для каждого $\epsilon > 0$.

Пусть $f$ и $g$ — измеримые функции на $(X, \mathcal{A}, \mu )$, а $r$ и $s$ — положительные вещественные числа, для которых $r^{-1}+s^{-1} = 1$. Покажите, что $\mu \left|f g\right| \leq \left(\mu \left|f\right|^{r}\right)^{1 / r}\left(\mu \left|g\right|^{s}\right)^{1 / s}$, рассуждая следующим образом. Сначала разберитесь с тривиальным случаем, когда один из множителей в правой части равен 0 или $\infty$. Затем, без ограничения общности (почему?), предположите, что $\mu \left|f\right|^{r} = 1 = \mu \left|g\right|^{s}$. Используйте вогнутость логарифмической функции, чтобы показать, что $\left|f g\right| \leq \left|f\right|^{r} / r+\left|g\right|^{s} / s$, а затем проинтегрируйте по $\mu$. Этот результат называется неравенством Гёльдера.

Обобщите неравенство Гёльдера (задача [15]) на случай более чем двух измеримых функций $f_{1}, \ldots , f_{k}$ и положительных вещественных чисел $r_{1}, \ldots , r_{k}$, для которых $\sum_{i} r_{i}^{-1} = 1$. Покажите, что $\mu \left|f_{1} \ldots f_{k}\right| \leq \prod_{i}\left(\mu \left|f_{i}\right|^{r_{i}}\right)^{1 / r_{i}}$.

Пусть $(X, \mathcal{A}, \mu )$ — пространство с мерой, $f$ и $g$ — измеримые функции, а $r$ — вещественное число с $r \geq 1$. Определим $\left\| f\right\|_{r} = \left(\mu \left|f\right|^{r}\right)^{1 / r}$. Выполните следующие шаги, чтобы доказать неравенство Минковского: $\left\| f+g\right\|_{r} \leq \left\| f\right\|_{r}+\left\| g\right\|_{r}$.

Для $f$ из $\mathcal{L}^{1}(\mu )$ определим $\left\| f\right\|_{1} = \mu \left|f\right|$. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность Коши в $\mathcal{L}^{1}(\mu )$, то есть $\left\| f_{n}-f_{m}\right\|_{1} \rightarrow 0$ при $\min (m, n) \rightarrow \infty$. Покажите, что существует такая $f$ из $\mathcal{L}^{1}(\mu )$, что $\left\| f_{n}-f\right\|_{1} \rightarrow 0$, выполнив следующие шаги.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность Коши в $\mathcal{L}^{p}(X, \mathcal{A}, \mu )$, то есть $\left\| f_{n}-f_{m}\right\|_{p} \rightarrow 0$ при $\min (m, n) \rightarrow \infty$. Покажите, что существует такая функция $f$ из $\mathcal{L}^{p}(X, \mathcal{A}, \mu )$, что $\left\| f_{n}-f\right\|_{p} \rightarrow 0$, выполнив следующие шаги.

Для каждой случайной величины на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ определим

Пусть $L^{\infty }: = L^{\infty }(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ обозначает множество классов эквивалентности вещественнозначных случайных величин с $\left\| X\right\|_{\infty } < \infty$. Покажите, что $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ является нормой на $L^{\infty }$, которое представляет собой векторное пространство, полное относительно метрики, задаваемой $\left\| X\right\|_{\infty }$.

Пусть $\left\{ X_{t}: t \in T\right\}$ — семейство $\overline{\mathbb {R}}$-значных случайных величин с, возможно, несчётным множеством индексов $T$. Завершите следующее рассуждение, чтобы показать, что существует счётное подмножество $T_{0}$ множества $T$, такое что случайная величина $X = \sup_{t \in T_{0}} X_{t}$ обладает свойствами (a) $X \geq X_{t}$ почти наверное, для каждого $t \in T$ (b) если $Y \geq X$ почти наверное, для каждого $t \in T$, то $Y \geq X$ почти наверное (Случайная величина $X$ называется существенной верхней гранью семейства. Она обозначается ess $\sup_{t \in T} X_{t}$. Пункт (b) показывает, что она единственна с точностью до почти наверного совпадения.)

Пусть $\Psi$ — выпуклая возрастающая функция, для которой $\Psi (0) = 0$ и $\Psi (x) \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow \infty$. (Например, $\Psi (x)$ может равняться $x^{p}$ при некотором фиксированном $p \geq 1$, либо $\exp (x)-1$, либо $\exp \left(x^{2}\right)-1$.) Определим $\mathcal{L}^{\Psi }(X, \mathcal{A}, \mu )$ как множество всех вещественнозначных измеримых функций на $X$, для которых $\mu \Psi \left(\left|f\right| / c_{0}\right) < \infty$ при некотором положительном вещественном $c_{0}$. Определим $\left\| f\right\|_{\Psi }: = \inf \left\{ c > 0: \mu \Psi (\left|f\right| / c) \leq 1\right\}$, с соглашением, что инфимум пустого множества равен $+\infty$. Для каждых $f, g$ из $\mathcal{L}^{\Psi }(X, \mathcal{A}, \mu )$ и каждого вещественного $t$ докажите следующие утверждения.

Определим $\left\| f\right\|_{\Psi }$ и $\mathcal{L}^{\Psi }$, как в задаче [22]. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность Коши в $\mathcal{L}^{\Psi }(\mu )$, то есть $\left\| f_{n}-f_{m}\right\|_{\Psi } \rightarrow 0$ при $\min (m, n) \rightarrow \infty$. Покажите, что существует такая $f$ из $\mathcal{L}^{\Psi }(\mu )$, что $\left\| f_{n}-f\right\|_{\Psi } \rightarrow 0$, выполнив следующие шаги.

Пусть $\Psi$ — выпуклая возрастающая функция с $\Psi (0) = 0$, как в задаче [22]. Пусть $\Psi^{-1}$ обозначает обратную к ней функцию. Если $X_{1}, \ldots , X_{N} \in \mathcal{L}^{\Psi }(X, \mathcal{A}, \mu )$, покажите, что

Для каждого $\theta$ из $[0, 1]$ пусть $X_{n, \theta }$ — случайная величина с распределением $\operatorname {Binomial}(n, \theta )$. То есть $\mathbb {P}\left(X_{n, \theta } = k\right) = \binom {n}{k} \theta^{k}(1-\theta )^{n-k}$ для $k = 0,1, \ldots , n$. Можно считать известными следующие элементарные факты: $\mathbb {E}\left[X_{n, \theta }\right] = n \theta$ и $\mathbb {E}\left[\left(X_{n, \theta }-n \theta \right)^{2}\right] = n \theta (1-\theta )$. Пусть $f$ — непрерывная функция, заданная на $[0,1]$.

Распространите результат об аппроксимации из примера $\langle 46 \rangle$ на случай бесконечной меры $\mu$ на $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{k}\right)$, придающей конечную меру каждому компактному множеству.