Многомерные нормальные распределения

Пусть $V_{0}$ и $V_{1}$ — положительно определённые матрицы. Для $0 \leq \theta \leq 1$ пусть $g_{\theta }$ обозначает плотность $N\left(0,(1-\theta ) V_{0}+\theta V_{1}\right)$ на $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что

следуя этим шагам.

Предположим, что $X_{n}$ имеет многомерное нормальное распределение и $X_{n} \leadsto X$. Покажите, что $X$ также имеет многомерное нормальное распределение.

Пусть $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, каждая распределена $N(0,1)$. Покажите, что распределение $M_{n}: = \max_{i \leq n} Z_{i}$ концентрируется в основном в диапазоне порядка $(\log n)^{-1 / 2}$, следуя этим шагам. Определим $\alpha_{n}: = (2 \log n)^{1 / 2}$ и $L_{n} = \frac{1}{2} \log \log n$.

Пусть $X$ и $Y$ — случайные величины, для которых как $\mathbb {P}\left(X > x\right) \leq \mathbb {P}\left(Z > x\right)$, так и $\mathbb {P}\left(X \leq -x\right) \leq \mathbb {P}\left(Z \leq -x\right)$, для всех $x \geq 0$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\exp (t X)\right] \leq \mathbb {E}\left[\exp (t Y)\right]$ для всех неотрицательных $t$.

Пусть $A$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{2}$ с сечениями $A_{y}: = \left\{ x \in \mathbb {R}:(x, y) \in A\right\}$, имеющими гауссову меру $g(y): = \gamma_{1} A_{y}$. Пусть $B$ обозначает 1-сдвиг, как в Лемме $\langle 14 \rangle$.

Лемма 14: Для замкнутого множества $A \subseteq \mathbb {R}^{2}$ с сечениями $A_{y}: = \left\{ x \in \mathbb {R}:(x, y) \in A\right\}$ определим $h(y)$ соотношением $\Phi (h(y)): = \gamma_{1} A_{y}$ ($\Phi$ — стандартная нормальная функция распределения), и пусть $B: = \left\{ (x, y): x \leq h(y)\right\}$ — 1-сдвиг множества $A$ --- множество, полученное сдвигом и растяжением каждого $x$-сечения множества $A$ в полубесконечный интервал с той же $\gamma_{1}$-мерой, так что $y$-сечения множества $B$ имеют ту же $\gamma_{1}$-меру, что и соответствующие сечения $A$. Тогда $B$ является улучшением $A$: $\gamma_{2} B \geq \gamma_{2} A$ и $\gamma_{2} B^{r} \leq \gamma_{2} A^{r}$ для всех $r \geq 0$ (где $A^{r}$ обозначает $r$-окрестность $A$).

Сведите одномерную версию Теоремы $\langle 7 \rangle$ к случаю, когда $A$ является конечным объединением интервалов, следуя этим шагам. Пусть $\Phi (\alpha ): = \gamma_{1} A$.

Теорема 7: Гауссова мера окрестности $A^{r}$ минимизируется, при заданном значении $\gamma_{k} A$, выбором $A$ в качестве замкнутого полупространства. В более общем виде, $\gamma_{k} A^{r} \geq \Phi (r+a)$, для любого борелевского подмножества $A$ пространства $\mathbb {R}^{k}$ с $\gamma_{k} A \geq \Phi (a)$.

(Неравенство Слепиана (1962)) Пусть $X = \left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$ и $Y = \left(Y_{1}, \ldots , Y_{n}\right)$ оба имеют центрированные многомерные нормальные распределения с $\operatorname {Var}\left[X_{j}\right] = \operatorname {Var}\left[Y_{j}\right]$ для каждого $j$ и $\mathbb {E}\left[X_{j} X_{k}\right] \leq \mathbb {E}\left[Y_{j} Y_{k}\right]$ для всех $j \neq k$. Докажите, что $\mathbb {P}\left(\cup_{j}\left\{ X_{j} > \alpha_{j}\right\} \right) \geq \mathbb {P}\left(\cup_{j}\left\{ Y_{j} > \alpha_{j}\right\} \right)$ для всех вещественных чисел $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$.

Пусть $S$ — неотрицательная случайная величина с $\mathbb {P}\left(S > M+r\right) \leq C_{0} \exp \left(-\frac{1}{2} r^{2} / \sigma^{2}\right)$ для всех $r \geq 0$, для положительных констант $C_{0}, M$ и $\sigma^{2}$.