Экспоненциальные хвосты и закон повторного логарифма

Пусть $X$ имеет распределение $\operatorname {Bin}(n, p)$. Определим $q: = 1-p$. Для $0 \leq x \leq n q$ покажите, что

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины с $\mathbb {E}\left[X_{i}\right]: = p_{i}$ и $0 \leq X_{i} \leq 1$ для каждого $i$. Пусть $p: = \left(p_{1}+\cdots +p_{n}\right) / n = : 1-q$. Покажите, что

Предположим, что $X$ имеет распределение Пуассона ($\lambda$).

Для каждой случайной величины $X$ с конечной дисперсией и каждой константы $M$ покажите, что $\operatorname {Var}\left[\tau (X, M)\right] \leq \operatorname {Var}\left[X\right]$, где $\tau$ определяется как в $\langle 26 \rangle$: для константы $M > 0$, $\tau (x, M): = -M\left\{ x < -M\right\} +x\left\{ \left|x\right| \leq M\right\} +M\left\{ x > M\right\}$ — усечение $x$ до $[-M, M]$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность независимых, одинаково распределённых двумерных случайных векторов с $\mathbb {E}\left[X_{i}\right] = 0$ и $\operatorname {Var}\left[X_{i}\right] = I_{2}$. Определим $S_{n} = X_{1}+\ldots +X_{n}$.