Представления и склейки

Предположим, что $X$ и $Y$ — случайные элементы множества $X$, определённые на одном и том же вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$, с распределениями $P$ и $Q$. Покажите, что $\mathbb {P}^{*}\left\{ X \neq Y\right\} \geq v(P, Q)$. Указание: Выберите измеримое множество $D \supseteq \left\{ X \neq Y\right\}$ с $\mathbb {P}\left(D\right) = \mathbb {P}^{*}\left\{ X \neq Y\right\}$. Заметьте, что $\mathbb {P}\left(X \in A\right)-\mathbb {P}\left(Y \in A\right) = \mathbb {P}\left(X \in A\right) \cap D-\mathbb {P}\left(Y \in A\right) \cap D$.

Предположим, что диагональ $\Delta : = \left\{ (x, y) \in \mathcal{X} \times \mathcal{X}: x = y\right\}$ произведение-измерима. Вспомните из раздела 3.3, что $v = 1-(P \wedge Q)(X) = (P-Q)^{+}(X) = (Q-P)^{+}(X)$. Определим вероятностную меру $\mathbb {P} = \frac{1}{v}(P-Q)^{+} \otimes (Q-P)^{+}+\lambda$, где $\lambda$ — образ $P \wedge Q$ при отображении $x \mapsto (x, x)$. Пусть $X$ и $Y$ — координатные отображения. Покажите, что $X$ имеет распределение $P$, а $Y$ имеет распределение $Q$, и $\mathbb {P}\left(X \neq Y\right) = v$.

Для каждого $x$ из $X$ покажите, что существует не более чем счётное число замкнутых шаров $B$ с центром в $x$, для которых $P(\partial B) > 0$.

Для каждого $x_{i}$ из $S$ найдите шар $B_{i}$ с центром в $x_{i}$ и радиусом между $\epsilon / 4$ и $\epsilon / 2$, для которого $P\left(\partial B_{i}\right) = 0$.

Покажите, что $\cup_{i \in \mathbb {N}} B_{i}$ содержит замыкание $S$. Указание: Каждая точка замыкания находится в пределах $\epsilon / 4$ от хотя бы одного $x_{i}$.

Покажите, что $P\left(\cup_{i \leq m} B_{i}\right) > 1-\epsilon$, когда $m$ достаточно велико.

Покажите, что множества $C_{i}: = B_{i} \backslash \cup_{1 \leq j < i} B_{j}$ и $C_{0}: = \left(\cup_{i \leq m} B_{i}\right)^{c}$ обладают требуемыми свойствами.

Предположим, что существует собственное подмножество $A_{0}$ множества $S$, для которого $\nu A_{0} = \mu R_{A_{0}}$. Определим $R_{\alpha }^{\prime } = R_{\alpha } \backslash R_{A_{0}}$ для $\alpha \notin A_{0}$. Покажите, что $\nu A \leq \mu R_{A}^{\prime }$ для всех $A \subseteq S \backslash A_{0}$. Постройте $K$, применив индуктивное предположение отдельно для $A_{0}$ и $S \backslash A_{0}$. (Сравните с пунктом (iv) задачи [5].) Теперь предположим, что $\nu A < \mu R_{A}$ для всех собственных подмножеств $A$ множества $S$. Обозначим через $L_{\alpha }$ вероятностное распределение $\mu \left(\cdot \mid R_{\alpha }\right)$, сосредоточенное на $R_{\alpha }$.

Покажите, что $\mu \geq \nu \left\{ 1\right\} L_{1}$. Указание: Покажите, что $\mu B \geq \nu \left\{ 1\right\} \mu \left(B R_{1}\right) / \mu R_{1}$ для всех $B \subseteq R_{1}$.

Обозначим через $\epsilon_{1}$ единичную массу в точке 1. Пусть $\theta_{0}$ — наибольшее значение в $[0, \nu \left\{ 1\right\} ]$, для которого $\left(\mu -\theta_{0} L_{1}\right) R_{A} \geq \left(\nu -\theta_{0} \epsilon_{1}\right) A$ для каждого $A \subseteq S$.

Если $\theta_{0} = \nu \left\{ 1\right\}$, воспользуйтесь индуктивным предположением, чтобы найти вероятностное ядро из $S \backslash \left\{ 1\right\}$ в $T$, для которого $\left(\mu -\nu \left\{ 1\right\} L_{1}\right) \geq \sum_{\alpha \geq 2} \nu \left\{ \alpha \right\} K_{\alpha }$. Определим $K_{1} = L_{1}$.

Если $\theta_{0} < \nu (1)$, покажите, что существует $A_{0} \subseteq S$, для которого $\left(\mu -\theta L_{1}\right) R_{A_{0}} < \left(\nu -\theta \epsilon_{1}\right) A_{0}$, когда $\nu \left\{ 1\right\} \geq \theta > \theta_{0}$. Выведите, что $A_{0}$ должно быть собственным подмножеством $S$, для которого $\left(\mu -\theta_{0} L_{1}\right) R_{A_{0}} = \left(\nu -\theta_{0} \epsilon_{1}\right) A_{0}$. Примените пункт (i), чтобы найти вероятностное ядро $M$, для которого $\mu -\theta_{0} L_{1} \geq \left(\nu \left\{ 1\right\} -\theta_{0}\right) M_{1}+\sum_{\alpha \geq 2} \nu \left\{ \alpha \right\} M_{\alpha }$. Определим $K_{1}: = \left(\theta_{0} / v\left\{ 1\right\} \right) L_{1}+\left(1-\theta_{0} / v\left\{ 1\right\} \right) M_{1}$.