Мотивация

Пусть $A_{1}, \ldots , A_{N}$ — события в вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$. Для каждого подмножества $J$ множества $\left\{ 1,2, \ldots , N\right\}$ обозначим через $A_{J}$ пересечение $\cap_{i \in J} A_{i}$. Определим $S_{k}: = \sum_{\left|J\right| = k} \mathbb {P}\left(A_{J}\right)$, где $\left|J\right|$ обозначает число индексов в $J$. Для $0 \leq m \leq N$ покажите, что вероятность $\mathbb {P}\left(\left\{ \text{ровно }m\text{ из событий }A_i\text{ происходит}\right\} \right)$ равна $\binom {m}{m} S_{m}-\binom {m+1}{m} S_{m+1}+\ldots \pm \binom {N}{m} S_{N}$.

Заново выведите утверждение леммы $\langle 6 \rangle$, рассмотрев чистый выигрыш от следующей системы ставок:

1. за каждое $i$ заплатите $c_{i} p\left(F_{i}\right)$, чтобы получить $c_{i}$, если произойдёт $F_{i}$, где $c_{i}: = p\left(X \mid F_{i}\right)$;

2. заплатите $-p(X)$, чтобы получить $-X$;

3. за каждое $i$ сделайте ставку, зависящую от $F_{i}$, заплатив $c_{i}$ (если произойдёт $F_{i}$), чтобы получить $X$.

Лемма 6: Если $\Omega$ разбито на непересекающиеся события $F_{1}, \ldots , F_{k}$, а $X$ — случайная величина, то $p(X) = \sum_{i = 1}^{k} p\left(F_{i}\right) p\left(X \mid F_{i}\right)$.

Для возрастающей последовательности событий $\left\{ A_{n}: n \in \mathbb {N}\right\}$ с объединением $A$ покажите, что $\mathbb {P}\left(A_{n}\right) \uparrow \mathbb {P}\left(A\right)$.