Теорема Фубини

Пусть $m$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$ и $E=\left\{ (x, y): 0 \leq y \leq x\right\}$. Вычислите

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное полное пространство с мерой и пусть $f: X \rightarrow [0, \infty )$ измерима. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f$ интегрируема на $X$, пусть $\lambda >0$, и определим

Докажите, что $\varphi$ и $\psi$ борелевски измеримы и что $\int_{X}\left|f\right| d \mu =\int_{0}^{\infty }(\varphi (t)+ \psi (t)) d t$.

Вычислите

и используйте это для нахождения значений

Пусть $g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая по Лебегу функция такая, что функция $f(x, y)=2 g(x)-3 g(y)$ интегрируема по Лебегу на $[0,1] \times [0,1]$. Докажите, что $g$ интегрируема по Лебегу на $[0,1]$.

Пусть $f, g$ — неотрицательные интегрируемые функции на $\mathbb {R}$, пусть $A, B$ — множества положительной меры в $\mathbb {R}$, и предположим, что $f$ строго положительна на $A$, а $g$ строго положительна на $B$. Пусть

Докажите, что $f * g>0$ на множестве положительной меры.

Пусть $X=[0,1], Y=[0, \infty ), f(u, v)=1 /\left(1+u^{2} v^{2}\right), g(x, y, t)= f(x, t) f(y, t)$, для $(x, y, t) \in X \times X \times Y:=Z$.

Пусть $X=Y=[-\pi / 2, \pi / 2]$ с мерой Лебега и

Докажите, что оба повторных интеграла существуют и равны между собой. Существует ли двойной интеграл от $f$?

Пусть $m$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$ и $E=\left\{ (x, y): 0 \leq y \leq \sqrt{x}\right\}$. Вычислите

Вычислите

Вычислите

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — пространства с мерой. Предположим, что $g: X \rightarrow \mathbb {R}$ — $\mu$-интегрируемая функция и что $h: Y \rightarrow \mathbb {R}$ — $\lambda$-интегрируемая функция. Определим $f: X \times Y \rightarrow \mathbb {R}$ как $f(x, y)=g(x) h(y)$. Докажите, что $f$ является $\mu \times \lambda$-интегрируемой и что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой, $\mu (X)=1$, и пусть $f, g$ : $X \rightarrow \mathbb {R}$ — интегрируемые функции, удовлетворяющие

для всех $x, y \in X$. Докажите, что $\int_{X} f d \mu \int_{X} g d \mu \leq \int_{X} f g d \mu$.

Докажите, что при $s>0$

Пусть $f$ интегрируема по Лебегу на ( $0, a$ ) и пусть $g(x)=\int_{x}^{a} t^{-1} f(t) d t$. Докажите, что $g$ интегрируема на $(0, a)$ и $\int_{0}^{a} g(x) d x=\int_{0}^{a} f(x) d x$.

Пусть $f:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая по Лебегу функция такая, что интегралы $\int_{0}^{1} f(x, y) d x, \int_{0}^{1} f(x, y) d y$ и $\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{1} f(x, y) d x$ существуют и конечны. Докажите или опровергните: $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f(x, y) d y$ существует.

Приведите пример ограниченной неотрицательной функции $f$ на $[0,1] \times [0,1]$, которая не интегрируема по Лебегу, но оба повторных интеграла существуют и равны 0.

Пусть $X=Y=[0,1]$ с мерой Лебега и

Докажите, что оба повторных интеграла существуют, но не равны между собой.

Пусть $X=Y=[-1,1]$ с мерой Лебега и

Докажите, что оба повторных интеграла существуют и равны между собой, но двойной интеграл от $f$ не существует.

Пусть $X=Y=(0,1)$ и пусть $m$ — мера Лебега на ( 0,1 ). Найдите пример положительной непрерывной функции $f:(0,1) \times (0,1) \rightarrow \mathbb {R}$ такой, что

конечен, но $\int_{Y} f_{x} d y$ бесконечен для некоторого $x \in (0,1)$.

Рассмотрим пространство с мерой $(\mathbb {N}, \mathbb {P}(\mathbb {N}), \mu )$, где $\mu$ — считающая мера, и пусть

Докажите, что $f$ не интегрируема относительно $\mu \times \mu$, и что оба повторных интеграла существуют, но не равны между собой.

Пусть $f$ — ограниченная борелевски измеримая функция на $\mathbb {R}^{2}$, обладающая тем свойством, что и $f_{x}$, и $f^{y}$ интегрируемы и $\int_{\mathbb {R}} f_{x}=\int_{\mathbb {R}} f^{y}=0$. Докажите или опровергните: $f$ интегрируема на $\mathbb {R}^{2}$ относительно меры Лебега на $\mathcal{B}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$.

Докажите, что $(\mu \times \lambda )(D)=\infty$ в примере 8.3.6.

Пример 8.3.6 (теорема 8.3.1 не выполняется, если одна из мер не $\sigma$-конечна): пусть $X=Y=[0,1]$, $\mu =m$, а $\lambda$ — считающая мера. Определим $f(x,y)=1$, если $x=y$, и $f(x,y)=0$, если $x \neq y$; эквивалентно, $f=\chi_{D}$, где $D=\left\{ (x,x):x \in [0,1]\right\}$.

Пусть $f_{n}(x)=a e^{-n a x}-b e^{-n b x}$, где $0<a<b$. Докажите, что

Пусть $X=Y=[0,1]$ с мерой Лебега и $f(x, y)=(x-1 / 2)^{-3}$, если $0<y<\left|x-1 / 2\right|$, и $f(x, y)=0$ в остальных случаях. Найдите повторные интегралы и двойной интеграл от $f$ по $X \times Y$.

Приведите пример неизмеримой функции $f$ такой, что $\left|f\right|$ интегрируема и оба повторных интеграла корректно определены, но имеют разные значения.

Пусть $f \in L(\mathbb {R})$ и $\beta \in (0,1)$. Докажите, что

для (лебеговски) п.в. $a \in \mathbb {R}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное пространство с мерой и, для каждого $t \in \mathbb {R}$, пусть $e_{t}=\chi_{(t, \infty )}$. Докажите, что если $f, g: X \rightarrow \mathbb {R}$ измеримы, то $\int_{X}\left|f-g\right| d \mu = \int_{\mathbb {R}} d t \int_{X}\left|e_{t} \circ f-e_{t} \circ g\right| d \mu$.

Пусть $f \in L((0, \infty ) \times \mathbb {R})$. Определим последовательность $g_{n}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ как

Докажите, что:

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ и $(Y, \mathfrak {N}, \lambda )$ — полные пространства с мерой, и пусть $(X \times Y, \overline{\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}}, \overline{\mu \times \lambda })$ обозначает пополнение ( $X \times Y, \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}, \mu \times \lambda$ ). Предположим, что $f$ — вещественнозначная, $\overline{\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}}$-измеримая функция на $X \times Y$, интегрируемая относительно $\overline{\mu \times \lambda }$. Докажите, что заключения теоремы Фубини верны для $f$.