Произведения мер

Докажите, что $\mu \times \lambda$, как определено в определении 8.2.5, является мерой.

Определение 8.2.5: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ и $(Y, \mathfrak {N}, \lambda )$ — $\sigma$-конечные пространства с мерой и пусть $Q \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$. Произведение мер $\mu$ и $\lambda$ определяется как $(\mu \times \lambda )(Q) = \int_{X} \lambda (Q_{x}) \, d\mu (x) = \int_{Y} \mu (Q^{y}) \, d\lambda (y)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой. Докажите, что $\mu \times \lambda$, как определено в определении 8.2.5, $\sigma$-конечна.

Пусть $\mu$ — считающая мера на $\mathbb {P}(\mathbb {N})$. Опишите произведение мер $\mu \times \mu$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — конечные пространства с мерой такие, что $\mu (X)= \lambda (Y)=1$, и пусть $E \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$. Докажите, что если $(\mu \times \lambda )(E)=1$, то $\lambda \left(E_{x}\right)=1$ для п.в. $x \in X$.

Пусть $\left(X_{k}, \mathfrak {M}_{k}, \mu_{k}\right)$, для $k=1,2,3$ — $\sigma$-конечные пространства с мерой. Докажите, что меры $\left(\mu_{1} \times \mu_{2}\right) \times \mu_{3}$ и $\mu_{1} \times \left(\mu_{2} \times \mu_{3}\right)$ совпадают как меры на $X_{1} \times X_{2} \times X_{3}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой, пусть $E, F \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$, и предположим, что $\lambda \left(E_{x}\right)=\lambda \left(F_{x}\right)$ для п.в. $[\mu ] x \in X$. Докажите, что $(\mu \times \lambda )(E)= (\mu \times \lambda )(F)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой, пусть $E \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$, и предположим, что $\lambda \left(E_{x}\right)=0$ для п.в. $[\mu ] x \in X$. Докажите, что $\mu \left(E^{y}\right)=0$ для п.в. $[\lambda ] y \in Y$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой, и пусть $\omega$ — мера на $\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$ такая, что $\omega (A \times B)=\mu (A) \lambda (B)$ для всех $A \in \mathfrak {M}$ и всех $B \in \mathfrak {N}$. Докажите, что $\omega =\mu \times \nu$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — конечные пространства с мерой такие, что $\mu (X)= \lambda (Y)=1$, пусть $E \subset X \times Y$ таково, что $(\mu \times \lambda )(E)=\eta^{2}<1$, и пусть $A=\left\{ x \in X: \lambda \left(E_{x}\right) \geq \eta \right\}$. Найдите точную верхнюю оценку для $\mu (A)$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ и $(Y, \mathfrak {N}, \lambda )$ — конечные пространства с мерой такие, что $\mu (X)= \lambda (Y)=1$, пусть $E \subset X \times Y$ таково, что $\mu \left(E^{y}\right) \geq \alpha$ для всех $y \in Y$, пусть $\beta <\alpha$, и пусть $A=\left\{ x \in X: \lambda \left(E_{x}\right) \geq \beta \right\}$. Докажите, что $\mu (A) \geq (\alpha -\beta ) /(1-\beta )$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — конечные пространства с мерой такие, что $\mu (X)= \lambda (Y)=1$, и пусть $E \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$ таково, что $\lambda \left(E_{x}\right) \leq 1 / 2$ для п.в. $[\mu ] x \in X$. Докажите, что $\lambda \left(\left\{ y \in Y: \mu \left(E^{y}\right)=1\right\} \right) \leq 1 / 2$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — неотрицательная измеримая функция с графиком $G=\left\{ (x, y) \in X \times \mathbb {R}: y=f(x)\right\}$. Докажите, что $(\mu \times m)(G)=0$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \nu$ ) — конечные пространства с мерой такие, что $\mu (X)= \nu (Y)=1$, и пусть $A \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — неотрицательная измеримая функция, и пусть $B=\left\{ (x, y) \in X \times \mathbb {R}: 0 \leq y \leq f(x) \text{, если } f(x)<\infty \text{, или } 0 \leq y<\infty \text{, если } f(x)=\infty \right\}$. Докажите, что $B \in \mathfrak {M} \otimes \mathcal{B}$, и свяжите $(\mu \times m)(B)$ с интегралом от $f$.

Пусть $\delta$ — мера Дирака, сосредоточенная в точке $x=0$, и пусть $E= \left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2}:\left|x-y\right|<1\right\}$. Найдите $(\delta \times m)(E)$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ и $(X, \mathfrak {M}, \lambda )$ — нетривиальные $\sigma$-конечные пространства с мерой такие, что $(\mu \times \lambda )((X \times X) \backslash \Delta )=0$, где $\Delta =\left\{ (x, y) \in X \times X: x=y\right\}$. Докажите, что существуют $a \in X$ и $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ такие, что $\mu =\alpha \delta_{a}$ и $\lambda =\beta \delta_{a}$.

Цель этого упражнения — показать, что в отсутствие $\sigma$-конечности произведение мер не обязательно единственно. Пусть $\Delta =\left\{ (x, y) \in [0,1]^{2}: x=y\right\}$, пусть $m$ — мера Лебега на $\mathcal{B}([0,1])$, пусть $\nu$ — считающая мера на $\mathbb {P}([0,1])$, и пусть $m \times \nu$ — продолжение по Каратеодори меры $\omega$, определённой на измеримых прямоугольниках как $\omega (E \times F)=m(E) \nu (F)$. Определим $\lambda$ на $\mathcal{B}([0,1]) \otimes \mathbb {P}([0,1])$ как $\lambda (E)=\sup \left\{ \sum_{y \in A} m_{y}(([0,1] \times \left\{ y\right\} ) \cap E): A \text{ — конечное подмножество } [0,1]\right\}$, где $m_{y}$ — мера Лебега на $[0,1] \times \left\{ y\right\}$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — пространства с мерой и пусть $E \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$. Через $\mathcal{E}_{\sigma }$ обозначим семейство счётных объединений измеримых прямоугольников, а через $\mathcal{E}_{\sigma \delta }$ — семейство счётных пересечений множеств из $\mathcal{E}_{\sigma }$. Докажите, что существует множество $F \in \mathcal{E}_{\sigma \delta }$ такое, что $E \subset F$ и $(\mu \times \lambda )(E)=(\mu \times \lambda )(F)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $X, \mathfrak {M}, \lambda$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой, и пусть $E \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$ таково, что $(\mu \times \lambda )(E)=0$. Докажите, что для $\mu$-п.в. $x \in X$ выполняется $\lambda \left(E_{x}\right)=0$.

Предположим, что ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой. Пусть $A \in \mathfrak {M}$ и $B \in \mathfrak {N}$ удовлетворяют $\mu (A)=0$ и $\lambda (B)=\infty$. Докажите, что $(\mu \times \lambda )(A \times B)=0$.

Пусть $E$ — измеримое подмножество $[0,1] \times [0,1]$, обладающее тем свойством, что его пересечение с каждой вертикальной прямой не более чем счётно. Докажите или опровергните: двумерная мера Лебега множества $E$ равна 0.

Докажите, что существует неизмеримое множество $E \subset [0,1] \times [0,1]$, обладающее тем свойством, что оно пересекает каждую вертикальную прямую ровно в одной точке.

Пусть $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ — $\mathcal{M} \otimes \mathcal{M}$-измеримая функция, пусть $A=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2}: f(x, y) \neq 0\right\}$, и предположим, что $m \times m(A)=0$. Докажите, что $m\left(A_{x}\right)=0$ для п.в. $x \in \mathbb {R}$, и что $m\left(A^{y}\right)=0$ для п.в. $y \in \mathbb {R}$.

Пусть $f$ — измеримая по Лебегу функция на $\mathbb {R}$ и пусть $F(x, y)= f(x-y)$. Докажите, что $F$ измерима по Лебегу на $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{p+q}$ и $m_{p+q}(A)=0$. Докажите, что для почти всех $x \in \mathbb {R}^{p}$ множество $A_{x}$ принадлежит $\mathcal{M}_{q}$ и $m_{q}\left(A_{x}\right)=0$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — конечные пространства с мерой такие, что $\mu (X)= \lambda (Y)=1$, и пусть $E \subset X \times Y$ таково, что $\lambda \left(E_{x}\right)=0$ для п.в. $[\mu ] x \in X$. Предположим, что $\lambda \left(\left\{ y \in Y: \mu \left(X \backslash E^{y}\right)<1\right\} \right)>0$. Докажите, что $E \notin (\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N})$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — $\sigma$-конечное пространство с мерой, пусть $A \in \mathfrak {M}$, пусть $0 \leq \alpha \leq \infty$, и определим $A_{\alpha }=\left\{ (x, y): x \in A, 0 \leq y \leq \alpha \right\}$ и $A_{\infty }=\left\{ (x, y): x \in A, 0 \leq y<\infty \right\}$. Докажите, что $A_{\alpha } \in \mathfrak {M} \otimes \mathcal{B}$, и найдите $\mu \times m\left(A_{\alpha }\right)$.

Пусть $f$ — борелевски измеримая функция на $\mathbb {R}$ и $E=\left\{ (x+f(x), x- f(x)): x \in \mathbb {R}\right\}$. Докажите или опровергните: $m_{2}(E)=0$.

Пусть $f$ и $g$ — вещественнозначные интегрируемые функции на пространстве с мерой $(X, \mathfrak {M}, \mu )$; определим

Докажите, что

По примеру 1.4.13, существует вполне упорядоченное множество $W$ и биекция $j:[0,1] \rightarrow W$ такая, что для любого $x \in [0,1]$, $j(x)$ имеет не более чем счётное число предшественников. Пусть $Q$ — множество точек $(x, y)$ в $[0,1] \times [0,1]$ таких, что $j(x)$ предшествует $j(y)$, и пусть $f=\chi_{Q}$. Докажите, что (8.9) неверно для $(X, \mathfrak {M}, \mu )=(Y, \mathfrak {N}, \lambda )=[0,1]$ с мерой Лебега. Объясните, почему это не противоречит теореме 8.2.1.

Приведите пример множества $Q \subset [0,1] \times [0,1]$, для которого существуют и $\varphi (x)$, и $\psi (y)$ (как в (8.8)), но измерима только одна из этих функций.

Докажите или опровергните: существует множество $Q \subset [0,1] \times [0,1]$, для которого $\varphi (x)=1$ и $\psi (y)=0$, где $\varphi$ и $\psi$ — как в (8.8).

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой такие, что ( $X \times Y, \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}, \mu \times \lambda$ ) полно. Предположим, что $B \subset \mathfrak {N}$ и $\lambda (B)=0$. Докажите, что $\mathfrak {M}=\mathbb {P}(X)$.

Предположим, что ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \lambda$ ) — пространства с мерой, и пусть $(X, \overline{\mathfrak {M}}, \bar{\mu })$ и $(Y, \overline{\mathfrak {N}}, \bar{\lambda })$ обозначают их пополнения. Также обозначим через $(X \times Y, \overline{\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}}, \overline{\mu \times \lambda }$ ) пополнение ( $X \times Y, \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}, \mu \times \lambda$ ). Наконец, пусть $(X \times Y, \overline{\overline{\mathfrak {M}} \otimes \overline{\mathfrak {N}}}, \overline{\bar{\mu } \otimes \bar{\lambda }})$ обозначает пополнение ( $X \times Y, \overline{\mathfrak {M}} \otimes \overline{\mathfrak {N}}, \bar{\mu } \otimes \bar{\lambda }$ ). Докажите, что

Пусть $N \subset \mathbb {R}^{p}$ удовлетворяет $m_{p}(N)=0$ и пусть $B \subset \mathbb {R}^{q}$. Докажите, что $m_{p+q}(N \times B)=0$.

Докажите часть (b) теоремы 8.2.9.

Теорема 8.2.9: Пусть $p, q, r$ — положительные целые числа, удовлетворяющие $p+q=r$. Тогда (a) $\mathcal{B}_{r} \subset \mathcal{M}_{p} \otimes \mathcal{M}_{q} \subset \mathcal{M}_{r}$. (b) $\mathcal{M}_{p} \otimes \mathcal{M}_{q} \neq \mathcal{M}_{r}$. (Часть (a) доказана в тексте; остаётся только часть (b).)

Пусть $p, q, r$ — положительные целые числа, удовлетворяющие $p+q=r$. Докажите, что $\mathcal{B}_{p} \otimes \mathcal{B}_{q}= \mathcal{B}_{r}$. Сделайте вывод, что $\mathcal{B}_{r} \neq \mathcal{M}_{p} \otimes \mathcal{M}_{q}$.