Измеримость на декартовых произведениях

Докажите второе равенство в (8.1).

Докажите второе равенство в (8.2).

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ и $(Y, \mathfrak {N})$ — измеримые пространства. Докажите или опровергните: $A \times B \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$ тогда и только тогда, когда $A \in \mathfrak {M}$ и $B \in \mathfrak {N}$.

Пусть $\mathcal{B}$ обозначает $\sigma$-алгебру борелевских подмножеств $\mathbb {R}$. Докажите, что существует множество $E \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ такое, что $E_{x} \in \mathcal{B}$ и $E^{y} \in \mathcal{B}$ для всех $x, y \in \mathbb {R}$, но $E \notin \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}$.

Докажите импликацию в (8.4).

Докажите или опровергните: если $A, B$ — измеримые по Лебегу подмножества $\mathbb {R}^{2}$, то и $A+B$ измеримо. Здесь $A+B=\left\{ x+y: x \in A, y \in B\right\}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) — измеримое пространство. Докажите, что если $E \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {M}$, то $\left\{ x \in X:(x, x) \in E\right\} \in \mathfrak {M}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}$ ) — измеримые пространства и пусть $\mathcal{A}=\left\{ E \subset Y: X \times E \in \mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, содержащая $\mathfrak {N}$.

Пусть $\left(X_{k}, \mathfrak {M}_{k}\right)$, для $k=1,2,3$ — измеримые пространства. Докажите, что $\mathfrak {M}_{1} \otimes \left(\mathfrak {M}_{2} \otimes \mathfrak {M}_{3}\right)=\left(\mathfrak {M}_{1} \otimes \mathfrak {M}_{2}\right) \otimes \mathfrak {M}_{3}$.

Пусть $X, Y$ — непустые множества и пусть $\mathcal{A} \subset \mathbb {P}(X)$. Докажите, что $\sigma (\mathcal{A}) \times Y= \sigma (\mathcal{A} \times Y)$.

Пусть $A$ — борелевское множество в $\mathbb {R}^{p}$. Докажите, что $A \times \mathbb {R}^{q}$ — борелевское множество в $\mathbb {R}^{p+q}$.

Пусть $\mathcal{G}$ — монотонный класс в $X \times Y$, пусть $P \subset X \times Y$, и

Докажите, что:

Пусть $\mathcal{G}$ — монотонный класс, замкнутый относительно конечных дизъюнктных объединений. Докажите, что он замкнут относительно счётных дизъюнктных объединений.

Приведите пример монотонного класса $\mathcal{G}$ на $\mathbb {R}$, удовлетворяющего условиям

1. $\mathbb {R}$ принадлежит $\mathcal{G}$, и

2. если $A \in \mathcal{G}$, то его дополнение $A^{c}$ принадлежит $\mathcal{G}$, но не являющегося $\sigma$-алгеброй.

Пусть $\mathcal{G}$ — монотонный класс и пусть $\mathcal{F}=\left\{ A \in \mathcal{G}: A^{C} \in \mathcal{G}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{F}$ — монотонный класс.

Пусть $\mathcal{G}$ — монотонный класс на $X$, пусть $\mathcal{C}$ — некоторое семейство подмножеств $X$, и пусть $\mathcal{A}=\left\{ A \in \mathcal{G}: A \cap C \in \mathcal{G} \text{ для всех } C \in \mathcal{C}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{A}$ — монотонный класс.

Пусть $\mathcal{G}$ — монотонный класс, пусть $\mathcal{S} \subset \mathcal{G}$ — алгебра, и пусть $\mathcal{F}=\left\{ A \in \mathcal{G}: A \cup B \in \mathcal{G} \text{ для всех } B \in \mathcal{S}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{F}$ — монотонный класс.

Пусть $\mathcal{G}$ — монотонный класс на $X$, являющийся также алгеброй. Докажите, что $\mathcal{G}$ — $\sigma$-алгебра.

Пусть $\mathcal{S}$ — алгебра, пусть $\mathcal{G}$ — наименьший монотонный класс, содержащий $\mathcal{S}$, и пусть $\mathcal{T}=\left\{ A \in \mathcal{G}: A \cup B \in \mathcal{G} \text{ для всех } B \in \mathcal{G}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{T}$ — монотонный класс, содержащий $\mathcal{S}$.

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра на $X$. Докажите, что наименьший монотонный класс, содержащий $\mathcal{A}$, совпадает с наименьшей $\sigma$-алгеброй, содержащей $\mathcal{A}$.

${ }^{*}$ Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра на $X$, пусть $\sigma (\mathcal{A})$ — $\sigma$-алгебра, порождённая $\mathcal{A}$, и пусть $\mu , \nu$ — конечные меры на $X$, совпадающие на $\mathcal{A}$.

Пусть $X$ — дизъюнктное объединение $X=\cup_{i=1}^{\infty } X_{i}$, и для каждого $i \in \mathbb {N}$ пусть $\mathcal{G}_{i}$ — монотонный класс на $X_{i}$. Докажите или опровергните: $\cup_{i=1}^{\infty } \mathcal{G}_{i}$ — монотонный класс.

Пусть $\left\{ \mathcal{G}_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ — вложенные монотонные классы на $X$, т.е. $\mathcal{G}_{i} \subset \mathcal{G}_{i+1}$ для всех $i \in \mathbb {N}$. Докажите или опровергните: $\cup_{i=1}^{\infty } \mathcal{G}_{i}$ — монотонный класс.

Докажите утверждение (b) теоремы 8.1.17.

Теорема 8.1.17: Пусть $f$ — $(\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N})$-измеримая функция на $X \times Y$. Тогда: (a) для каждого $x \in X$ функция $f_{x}$ является $\mathfrak {N}$-измеримой функцией на $Y$; (b) для каждого $y \in Y$ функция $f^{y}$ является $\mathfrak {M}$-измеримой функцией на $X$. (Часть (a) доказана в тексте; остаётся только часть (b).)

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ и $(Y, \mathfrak {N})$ — измеримые пространства, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — $\mathfrak {M}$-измеримая функция, пусть $g: Y \rightarrow \mathbb {R}$ — $\mathfrak {N}$-измеримая функция, и пусть $h: X \times Y \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $h(x, y)=f(x) g(y)$. Докажите, что $h$ является $\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$-измеримой.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) — измеримое пространство, и пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — неотрицательная функция. Докажите, что $f$ измерима тогда и только тогда, когда множество $\left\{ (x, y) \in X \times \mathbb {R}: 0 \leq y \leq f(x)\right\}$ измеримо, то есть принадлежит $\mathfrak {M} \otimes \mathcal{M}$.

Пусть $f:[a, b] \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ таковы, что $f_{x}$ непрерывна для каждого $x \in [a, b]$, а $f^{y}$ измерима по Лебегу для каждого $y \in \mathbb {R}$. Докажите, что $f$ измерима относительно $\mathcal{B}([a, b]) \otimes \mathcal{M}$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ и $(Y, \mathfrak {N})$ — измеримые пространства, пусть $f: X \rightarrow Y$, и предположим, что график $f$ является $\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$-измеримым. Докажите или опровергните: $f$ измерима, то есть если $A \in \mathfrak {N}$, то $f^{-1}(A) \in \mathfrak {M}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}$ ) — измеримые пространства и пусть $f: X \rightarrow Y$ измерима, то есть если $A \in \mathfrak {N}$, то $f^{-1}(A) \in \mathfrak {M}$. Докажите или опровергните: график $f$ является $\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$-измеримым.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ и $(Y, \mathfrak {N})$ — измеримые пространства. Докажите, что $\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, относительно которой измеримы проекции. (Проекции $P_{1}$ и $P_{2}$ определяются как $P_{1}(x, y)=x$ и $P_{2}(x, y)=y$.)

Пусть ( $X, \mathfrak {M}$ ) — измеримое пространство и пусть $f: X \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — функция такая, что $f^{y}$ измерима для каждого $y \in [0,1]$ и $f_{x}$ непрерывна для каждого $x \in X$. Покажите, что множество $E_{\varepsilon , \delta }:=\left\{ x: \left|f(x, y)-f(x, 0)\right| \geq \varepsilon \text{ для всех } y< \delta \right\}$ измеримо.

Пусть $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, для которой и $f_{x}$, и $f^{y}$ борелевски измеримы. Докажите или опровергните: $f$ борелевски измерима.

Пусть $X$ и $Y$ — множества, пусть $E \subset X \times Y$, и пусть $f=\chi_{E}$. Докажите, что $f_{x}=\chi_{E_{x}}$ и $f^{y}=\chi_{E^{y}}$.