Геометрия прямой и плоскости

Докажите, что отображение $F$, заданное формулой (3.1), является гомеоморфизмом.

Пусть $\mathcal{T}$ состоит из всех множеств вида $(a, b),[-\infty , b),(a,+\infty ]$ и любых объединений таких множеств. Докажите, что $\mathcal{T}$ — топология на $[-\infty ,+\infty ]$.

Предположим, что $A \subset \mathbb {R}$ является объединением невырожденных замкнутых интервалов. Докажите, что $A$ может быть представлено как счётное дизъюнктное объединение интервалов.

Докажите, что $\overline{\mathbb {R}}$ — компактное множество в топологии, описанной в упражнении 3.1.2.

Докажите, что $\overline{\mathbb {R}}$ полно в топологии, описанной в упражнении 3.1.2.

Пусть $f:[0, \infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция такая, что $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x)= L$, и $L<f(0)$. Докажите, что $f$ достигает максимального значения на $[0, \infty )$.

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность конечных объединений интервалов из $\mathbb {R}$. Докажите, что $\mathcal{F}$ замкнута относительно взятия дополнения.

Пусть $\mathcal{F}$ — множество всех счётных подмножеств $\mathbb {R}$ и предположим, что $E \subset \mathbb {R}$, но $E \notin \mathcal{F}$. Пусть $A:=\left\{ x \in \mathbb {R}:(-\infty , x) \cap E \in \mathcal{F}\right\}$ и $B:= \left\{ x \in \mathbb {R}:(x, \infty ) \cap E \in \mathcal{F}\right\}$. Докажите, что $A \cap B=\varnothing$ и $A \cup B \neq \mathbb {R}$.

Пусть $\left\{ A_{i}: i \in I\right\}$ — совокупность замкнутых интервалов в $\mathbb {R}$. Докажите, что множество

счётно.

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность всех замкнутых подмножеств $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что $\mathcal{F}$ имеет ту же мощность, что и $\mathbb {R}$.

Докажите, что каждое открытое множество в $\mathbb {R}^{n}$ является счётным объединением открытых шаров.

Докажите, что каждый элемент канторова множества можно единственным образом записать в виде $\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} / 3^{n}$, где каждое $a_{n}$ равно либо 0, либо 2.

Пусть $F$ обозначает канторово троичное множество. Докажите, что $F+F=[0,2]$, если $F+F=\left\{ x+y: x \in F, y \in F\right\}$.

Пусть $F$ обозначает канторово троичное множество. Докажите, что $F-F=[-1,1]$, если $F-F=\left\{ x-y: x \in F, y \in F\right\}$.

Докажите или опровергните: если $F$ — несчётное всюду плотное подмножество $\mathbb {R}$, то оно второй категории.

Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел, которые принадлежат или не принадлежат канторову троичному множеству.

Пусть $S$ обозначает множество всех действительных чисел, в представлении которых по основанию 3 обязательно используется цифра 1. Докажите, что $S$ всюду плотно в $\mathbb {R}$.

Пусть $\mathcal{F}$ — совокупность счётных объединений интервалов из $\mathbb {R}$. Докажите, что $\mathcal{F}$ не замкнута относительно взятия дополнения.

Докажите или опровергните: каждое замкнутое множество в $\overline{\mathbb {R}}$ является счётным объединением, возможно, вырожденных замкнутых интервалов.

Докажите, что никакое счётно бесконечное множество не может быть совершенным.

Докажите теорему 3.1.8.

Толстое канторово множество строится подобно обычному канторову множеству, но с удалением на каждом шаге меньших средних интервалов: средних четвертей на шаге 1, средних шестнадцатых на шаге 2 и интервалов суммарной длины $1/4^{n}$ на шаге $n$, что даёт $F_{1} = [0, 3/8] \cup [5/8, 1]$, $F_{2} = [0, 5/32] \cup [7/32, 3/8] \cup [5/8, 25/32] \cup [27/32, 1]$ и так далее; толстое канторово множество есть $F = \cap_{n=1}^{\infty } F_{n}$.

Теорема 3.1.8: Толстое канторово множество $F$ является замкнутым, несчётным, совершенным, нигде не плотным множеством, каждая точка которого является предельной точкой $F^{C}$.

Пусть $F$ обозначает толстое канторово множество, полученное удалением на шаге $n$ из каждого из $2^{n-1}$ интервалов среднего интервала длины $\alpha^{n} I$, где $0<\alpha <1 / 2$. (В классическом канторовом множестве $\alpha =1 / 3$.) Докажите, что $F$ является замкнутым, несчётным, совершенным, нигде не плотным множеством, каждая точка которого является предельной точкой $F^{C}$.

Докажите, что характеристическая функция толстого канторова множества $F$ разрывна в каждой точке $F$ и непрерывна в каждой точке $F^{C}$.

Докажите предложение 3.1.6.

Пусть $\left\{ O_{n}\right\}$ обозначает удалённые средние трети при построении канторова множества: $O_{1}=(1/3,2/3)$, $O_{2}=(1/9,2/9) \cup (1/3,2/3) \cup (7/9,8/9)$ и так далее, с $O = \cup_{n=1}^{\infty } O_{n}$. Определим последовательность функций $\left\{ \varphi_{n}\right\}$ следующим образом: каждая $\varphi_{n}$ удовлетворяет $\varphi_{n}(0)=0$, $\varphi_{n}(1)=1$; на $2^{n}-1$ компонентах $O_{n}$ (в порядке слева направо) $\varphi_{n}$ принимает постоянные значения $1/2^{n}, 2/2^{n}, \ldots , (2^{n}-1)/2^{n}$ соответственно; и $\varphi_{n}$ линейно продолжается на остальную часть $[0,1]$.

Предложение 3.1.6: Последовательность $\left\{ \varphi_{n}\right\}$, определённая выше, удовлетворяет: (a) $\left|\varphi_{n+1}(x) - \varphi_{n}(x)\right| < 2^{-n}$ для каждого $x \in [0,1]$. (b) Она сходится равномерно на $[0,1]$. (Функция Кантора–Лебега — это $\varphi := \lim \varphi_{n}$.)

Докажите теорему 3.1.7.

Пусть $\left\{ O_{n}\right\}$ обозначает удалённые средние трети при построении канторова множества, $O = \cup_{n=1}^{\infty } O_{n}$, и пусть $\left\{ \varphi_{n}\right\}$ — последовательность функций, определённая в предложении 3.1.6 (каждая $\varphi_{n}(0)=0$, $\varphi_{n}(1)=1$, постоянна и равна значениям $1/2^{n}, 2/2^{n}, \ldots , (2^{n}-1)/2^{n}$ на компонентах $O_{n}$, линейно продолжена в остальных точках). Функция Кантора–Лебега — это $\varphi := \lim \varphi_{n}$.

Теорема 3.1.7: Функция Кантора–Лебега $\varphi$ является возрастающей непрерывной функцией, отображающей $[0,1]$ на $[0,1]$. Её производная существует на $O$, и $\varphi ' = 0$ на $O$.

Пусть $\varphi$ — функция Кантора–Лебега. Докажите, что $\varphi (1-x)=1-\varphi (x)$ для всех $x \in [0,1]$.

Пусть $\varphi$ — функция Кантора–Лебега и пусть $0<\alpha \leq \log_{3} 2$ фиксировано. Докажите, что существует $C=C(\alpha )>0$ такое, что для всех $x, y \in [0,1]$ выполняется $\left|\varphi (x)-\varphi (y)\right| \leq C\left|x-y\right|^{\alpha }$.

Докажите, что если $x=\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} / 3^{n}$ — элемент канторова множества, а $\varphi$ — функция Кантора–Лебега, то $\varphi (x)=\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} / 2^{n+1}$.

Пусть $\varphi$ — функция Кантора–Лебега. Докажите, что $\varphi (x)=2 \varphi (x / 3)$ для всех $x \in [0,1]$.

Пусть $F$ обозначает канторово множество, а $\varphi$ — функцию Кантора–Лебега. Докажите или опровергните: существует $c \in F \cap (0,1)$, для которого $\varphi^{\prime }(c)$ существует и конечна.

Найдите длину графика функции Кантора–Лебега.

Определите, удовлетворяет ли функция Кантора–Лебега условию Липшица на $[0,1]$.

Пусть $f$ — возрастающая функция на $[0,1]$, совпадающая с функцией Кантора–Лебега $\varphi$ на дополнении канторова множества. Докажите, что $f=\varphi$ на $(0,1)$.