Безгранично делимые распределения

Пусть случайная величина $\xi$ имеет безгранично делимое распределение. Доказать, что при любых вещественных $a$ и $b$ распределение случайной величины $a \xi +b$ также безгранично делимо.

Доказать, что слабый предел последовательности безгранично делимых распределений безгранично делим.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с безгранично делимым распределением. Доказать, что случайная величина $\xi +\eta$ имеет также безграничное распределение.

Пусть $f(t)$ — безгранично делимая характеристическая функция. Доказать, что характеристическая функция $\left|f(t)\right|$ также безгранично делима.

Доказать, что безгранично делимая характеристическая функция нигде не обращается в нуль.

Доказать, что показательное распределение безгранично делимо и найти его «корень $k$-й степеши».

Пусть $f(t)$ — безгранично делимая характеристическая функция. Доказать, что для любого $\alpha > 0$ функция $(f(t))^{\alpha }$ также является безгранично делимой характеристической функцией.

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция, такая, что для некоторой последовательности целых положительных чисел $n_{1}, n_{2}, \ldots$, удовлетворяющей условию $n_{h} \rightarrow \infty$ при $k \rightarrow \infty$, функции

являются характеристическими. Доказать, что $f(t)$ безгранично делима.

Доказать, что равномерное на отрезке распределение не может быть безгранично делимым.

Доказать, что распределение с плотностью $\frac{2}{\pi x^{2}} \sin^{2} \frac{x}{2}$ не является безгранично делимым.

Доказать, что:

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем $\xi$ имеет равномерное на некотором отрезке распределение. Доказать, что случайная величина $\xi +\eta$ не может иметь безграничио делимое распределение.

Пусть $F(x)$ — произвольная функция распределения. Доказать, что ни при каком $a \neq 0$ функция распределения

не может быть безгранично делимой.

Доказать, что непрерывная, линейная на каждом отрезке $[n, n+1], n = 0, \pm 1, \ldots$ функция не может быть безгранично делимой функцией распределения.

Случайная величина $\xi$, определенная на некотором вероятностном пространстве, может быть пазвапа безгранично делимой, если при любом целом положительном $n$ она может быть представлена в виде суммы $n$ независимых, одинаково распределенных случайных величин, заданных на том же вероятностном пространстве. Привести пример величины, которая не является безгранично делимой, но имеет безгранично делимое распределение.

Доказать, что безгранично делимая невырожденная случайная величина не может быть с вероятностью единица ограниченной.

Пусть $\varphi (t)$ — любая характеристическая функция и $p$ — произвольное положительное число. Доказать, что функция

является безгранично делимой характеристической функцией.

Доказать, что любая безгранично делимая характеристическая фушкция $f(t)$ представима в виде

где $p_{n}$ — положительные числа, а $\varphi_{n}(t)$ — некоторые характеристические функции.

Пусть $\varphi (t)$ — произвольная характеристическая функция. Доказать, что для любого $a > 1$ функция

есть безгранично делимая характеристическая функция.

Доказать, что геометрическое распределение безгранично делимо.

Пусть $\psi (t)$ — произвольная непрерывная неположительная четная функция, выпуклая при $t \geqslant 0, \psi (0) = 0$. Доказать, что $e^{\psi (t)}$ — безгранично делимая характеристическая функция.

Доказать, что нормальное распределение и распределение Коши являются устойчивыми.

Можно ли утверждать, что сумма независимых случайных величин, каждая из которых имеет устойчивое распределение, также имеет устойчивое распределение?

Доказать, что любое устойчивое распределение является безгранично делимым.

Является ли устойчивым показательное распределение?

Доказать, что распределение с характеристической функцией $\exp \left\{ -c\left|t\right|^{\alpha }\right\}$, где $c > 0$ и $0 < \alpha \leqslant 2$, является устойчивым.

Доказать, что для устойчивой случайной величины $\xi$

для всех $r \in (0, \alpha )$, где $\alpha$ — параметр в каноническом представлении устойчивых распределений.

Доказать, что характеристическая функция устойчивого с параметром $\alpha$ распределения при $0 < \alpha \leqslant 1$ не дифференцируема в нуле.

Может ли безгранично делимое распределение быть дискретным, но не решетчатым?

Пусть $a_{1}, \ldots , a_{n}, c_{1}, \ldots , c_{n}$ — произвольные положительные числа, такие, что

Доказать, что распределение с плотностью

безгранично делимо.

Пусть $f(x)$ — положительная измеримая функция, $F(x)$ функция распределения. Доказать, что распределение с плотностью

безгранично делимо.

Доказать, что функция

где $a_{k} \geqslant 0, \sum a_{k} = 1, c_{k} \geqslant 0,0 < \alpha_{k} \leqslant 1$, является характеристической функцией безгранично делимого распределения.

Может ли производящая функция целочисленного неотрицательного безгранично делимого распределения обращаться в нуль?

Пусть $\xi$ — целочисленная случайная величина с безгранично делимым распределением. Доказать, что $\mathbb {P}\left(\xi \text{ делится на два}\right) \neq \mathbb {P}\left(\xi \text{ не делится на два}\right)$.

Пусть $\xi$ — целочисленная случайная велнчнна с симметричным безгранично делимым распределением. Доказать, что \mathbb {P}\left(\xi делится на два \right) > \mathbb {P}\left(\xi не делится на два.

Пусть $\xi$ — неотрицательная целочисленная случайная величина с безгранично делимым распределением, $\mathbb {P}\left(\xi = 0\right) > 0$. Доказать, что $\mathbb {P}$ ($\xi$ делится на два) $> \mathbb {P}$ ($\xi$ не делится на два).

Пусть $\xi$ — неотрицательная целочисленная случайная величина с безгранично делимым распределением. Показать, что если $\mathbb {P}\left(\xi = 0\right) > 0$ и $\mathbb {P}\left(\xi = 1\right) > 0$, то $\mathbb {P}\left(\xi = k\right) > 0$ для любого целого положительного $k$.

Показать, что плотность безгранично делимого распределения, симметричная относительно некоторой точки $a$, достигает в точке $a$ своего максимума.

Пусть $F(x)$ — целочисленная безгранично делимая функция распределения, симметричная относительно точки $k$. Доказать, что в точке $k$ $F(x)$ имеет максимальный скачок.

Показать, что характеристическая функция

не является безгранично делимой.

Может ли безгранично делимая характеристическая функция быть произведеннем двух не безгранично делимых характеристических функций?

Пусть $\xi$ — неотрицательная целочисленная случайная величина с безгранично делимым распределением, $p_{k} = \mathbb {P}\left(\xi = k\right)$, $p_{0} > 0, p_{1} > 0$. Доказать, что $p_{1}^{2} \leqslant 2 p_{0} p_{2}$.

Пусть $\xi_{n k}, n \geqslant 1,1 \leqslant k \leqslant n$ — последовательность случайных величин, причем при каждом $n$ случайные величины

независимы и одинаково распределены. Положим

Доказать, что если распределения $\eta_{n}$ слабо сходятся при $n \rightarrow \infty$ к некоторому предельному распределению, то последнее безгранично делимо.

Пусть $\xi$ — неотрицательная целочисленная случайная величина, $\mathbb {P}\left(\xi = 0\right) > 0$. Доказать, что для того, чтобы $\xi$ имела безгранично делимое распределение, необходимо и достаточно, чтобы ее производящая функция допускала представление

где $Q(z)$ — производящая функция некоторой целочисленной неотрицательной случайной величины, а $\lambda$ — положительное число.

Пусть $\psi (t)$ — произвольная характеристическая функция. Доказать, что функция

является характеристической функцией безгранично делимого распределения с конечной дисперсией.

Доказать, что функция

является характеристической функцией безгранично делимого распределения с конечной дисперсией.

Пусть $\xi$ — целочисленная случайная величина, имеющая безгранично делимое распределение. Доказать, что ее характеристическая функция $\varphi (z)$ представима в виде

где $m$ — целое, $q_{k} \geqslant 0$.

Пусть $\xi$ — безгранично делимая случайная величина с решетчатым распределением ($h$ — шаг решетки). Доказать, что

где $v_{1}, v_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, имеющие распределение Пуассона.

Доказать, что для того, чтобы последовательность безгранично делимых характеристических функций $\varphi_{1}(z), \varphi_{2}(z), \ldots$ сходилась к характеристической функции $\varphi (z)$, необходимо и достаточно, чтобы почти для всех $x$ $G_{n}(x) \rightarrow G(x)$ и $\gamma_{n} \rightarrow \gamma$ при $n \rightarrow \infty$, где $G_{n}, G, \gamma_{n}, \gamma$ — функции и постоянные из канонического представления Леви — Хинчина характеристических функций $\varphi_{n}(z)$ и $\varphi (z)$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $v$ — случайная величина, не зависящая от $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и имеющая пуассоновское распределение. Доказать, что случайная величина

имеет безгранично делимое распределение.

Доказать, что для всех $\alpha > 0$ функция

является безгранично делимой характеристической функцией. Найти ее представление в форме Леви - Хинчина.

Найти представление Леви - Хинчина характеристических функций нормального и пуассоновского распределений.

Пусть $\xi = \xi_{1}+\xi_{2}$, где $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ независимы и имеют безгранично делимые распределения. Доказать, что: