Условные распределения и условные математические ожидания

На вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$), где $\Omega = [0,1]$, $\mathscr {A}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств, $\mathbb {P}$ — мера Лебега, задана случайная величина $\xi$. Пусть $\mathscr {B}$ — $\sigma$-алгебра, порожденная множествами $[0,1 / 3),\left\{ 1 / 3\right\}$ и $(1 / 3,1 / 2)$. Найти $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B} \right]$, если

В условиях предыдущей задачи найти функцию распределения случайной величины $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B} \right]$.

На вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$), где $\Omega = [0,1]$, $\mathscr {A}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств, $\mathbb {P}$ — мера Лебега, задана случайная величина $\xi = \omega$. Найти $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B} \right]$, если:

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины. Найти $\operatorname {Var}\left[\mathbb {E}\left[ \xi \eta \mid \xi \right]\right]$, если:

Пусть случайная величина $\xi$ принимает не более $n$ значений. Верно ли, что $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B} \right]$ также принимает не более $n$ значений?

Доказать, что если все события $\sigma$-алгебры $\mathscr {B}$ имеют вероятность 0 или 1 , то с вероятностью 1

Пусть $\xi$ — случайная величина и $\varphi (x)$ — борелевская функция, такая, что $\mathbb {E}\left[\varphi (\xi )\right]$ существует. Доказать, что

Доказать, что если $\sigma$-алгебры $\mathscr {B}_{1}$ и $\mathscr {B}_{2}$ независимы, то для любых $\xi$ и $\eta$ случайные величины $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B}_{1} \right]$ и $\mathbb {E}\left[ \eta \mid \mathscr {B}_{2} \right]$ независимы.

Пусть $\mathscr {B}_{1}$ и $\mathscr {B}_{2}$ — независимые $\sigma$-алгебры. Доказать, что для любой случайной величины $\xi$, имеющей математическое ожидание, с вероятностью 1

Пусть на вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$), где $\Omega$ — отрезок $[0,1], \mathscr {A}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств $\Omega , \mathbb {P}$ — мера Лебега, задана случайная величина $\eta = \omega$. Доказать, что для любой случайной величины $\xi$ с вероятностью $1 \quad \mathbb {E}\left[ \xi \mid \eta \right] = \xi$.

Обязана ли случайная величина $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \eta \right]$ быть измеримой относительно $\sigma$-алгебры, порожденной случайной величиной $\xi$ ?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с конечным математическим ожиданием. Доказать, что если существует случайная величина $\zeta$ такая, что $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \zeta \right] = \eta$, то $\mathbb {E}\left[\xi \right] = \mathbb {E}\left[\eta \right]$. Верно ли обратное, т. е. следует ли из равенства $\mathbb {E}\left[\xi \right] = \mathbb {E}\left[\eta \right]$, существование $\zeta$ такой, что $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \zeta \right] = \eta$ ?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным математическим ожиданием. Доказать, что случайные величины $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \xi +\eta \right]$ и $\mathbb {E}\left[ \eta \mid \xi +\eta \right]$ одинаково распределены. В каком случае они будут независимы?

Доказать, что в условиях предыдущей задачи

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным математическим ожиданием. Доказать, что

Пусть $\mathscr {B}_{1}, \mathscr {B}_{2}, \ldots$ — невозрастающая последовательность $\sigma$-алгебр, $\xi$ — случайная величина. Найти

Пусть $\mathscr {B}_{1}, \mathscr {B}_{2}, \ldots$ — неубывающая последовательность $\sigma$-алгебр, $\xi$ — случайная величина. Найти

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что если с вероятностью 1 $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \eta \right] = \eta$ и $\mathbb {E}\left[ \eta \mid \xi \right] = \xi$, то $\xi = \eta$ п. I.

Пусть $\xi$ — случайная величина с математическим ожиданием $a, \mathscr {B}_{1}$ и $\mathscr {B}_{2}$ — независимые $\sigma$-алгебры, $\xi_{1} = \mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B}_{1} \right], \quad \xi_{2} = \mathbb {E}\left[ \xi_{1} \mid \mathscr {B}_{2} \right]$. Найти распределение $\xi_{2}$.

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным математическим ожиданием, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$. Доказать, что

с вероятностью единица.

(неравенство Иенсена) Пусть $\varphi (x)$ — выпуклая функция, $\xi$ — случайная величина, такая, что $\mathbb {E}\left[\left|\varphi (\xi )\right|\right] < \infty$. Доказать, что

Доказать, что $\operatorname {Var}\left[\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B} \right]\right] \leqslant \operatorname {Var}\left[\xi \right]$.

Пусть $0 < \alpha \leqslant 1,0 < \beta \leqslant 1, \alpha +\beta \leqslant 1, \xi$ и $\eta$ — случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, $\eta$ — случайная величина с конечной дисперсией, $a = \mathbb {E}\left[\eta \right]$. Доказать, что

при $n \rightarrow \infty$.

Справедливо ли следующее утверждение: если $\xi_{n} \rightarrow \xi$ п. п., то для любой случайной величины $\eta$

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, $\mathscr {B}$ — $\sigma$-алгебра. Доказать, что если для некоторого $p \geqslant 1$ $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{n}-\xi \right|^{p}\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, то

Пусть $\mathscr {B}_{1}, \mathscr {B}_{2}, \ldots$ — последовательность, $\sigma$-алгебр, $\xi$ и $\eta$ случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что если $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B}_{n} \right] \rightarrow \eta$ п. п. при $n \rightarrow \infty$, то $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B} \right] = \mathbb {E}\left[ \eta \mid \mathscr {B} \right]$ п. п., где $\mathscr {B} = \bigcap_{n = 1}^{\infty } \mathscr {B}_{n}$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что если существует последовательность случайных величин $\zeta_{1}, \zeta_{2}, \ldots$ такая, что $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \zeta_{n} \right] \rightarrow \eta$ п. п. при $n \rightarrow \infty$, то $\mathbb {E}\left[\xi \right] = \mathbb {E}\left[\eta \right]$.

Пусть $\mathscr {B}_{1} \subset \mathscr {B}_{2} \subset \ldots$ — неубывающая последовательность $\sigma$-алгебр, $\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$

Пусть $\mathscr {B}_{1} \subset \mathscr {B}_{2} \subset \ldots$ — неубывающая последовательность $\sigma$-алгебр,

$\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B}_{n} \right] \rightarrow \mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B} \right]$ п. н.

Пусть $\mathscr {B}_{1} \supset \mathscr {B}_{2} \supset \ldots$ — невозрастающая последовательность $б$-алгебр,

$\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B}_{n} \right] \rightarrow \mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B} \right]$ п. н.

Пусть $\mathscr {B}_{1}, \mathscr {B}_{2}, \ldots$ — последовательность $\sigma$-алгебр, $\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что последовательность $\mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B}_{1} \right], \mathbb {E}\left[ \xi \mid \mathscr {B}_{2} \right], \ldots$ равномерно интегрируема.

Доказать, что случайная велнчнна $\xi$ и $\sigma$-алгебра $\mathscr {B}$ независимы тогда и только тогда, когда для любой борелевской функции $\varphi (x)$, такой, что $\mathbb {E}\left[\left|\varphi (\xi )\right|\right] < \infty$, выполнено равенство

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$) — вероятностное пространство, $\mathscr {B}$ — $\sigma$-алгебра, $\mathscr {B} \subset \mathscr {A}$. Доказать, что для любого события $A$

Доказать, что любые две случайные величины, определеппые на вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, P$), условно независимы относительно $\sigma$-алгебры $\mathscr {A}$.

Доказать, что случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы тогда и только тогда, когда они условно независимы относительно тривиальной $\sigma$-алгебры $\mathscr {B} = \left\{ \varnothing , \Omega \right\}$.

Доказать, что $\sigma$-алгебры $\mathscr {B}_{1}$ и $\mathscr {B}_{2}$ условно независимы относительно $\sigma$-алгебры $\mathscr {B}$ тогда и только тогда, когда для пюбого $B_{2} \in \mathscr {B}_{2}$

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы. Могут ли они быть условно зависимыми относительно какой-нибудь $\sigma$-алгебры $\mathscr {B}$ ?

Пусть $\mathbb {P}\left( A \mid \mathscr {B} \right), A \in \mathscr {A},$ — регулярное семейство условных вероятностей, $\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что

Пусть $\mathscr {B}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств $\Omega = (0,1)$, P — мера Лебега на $\mathscr {B}, C \subset \Omega$ — множество, имеющее внешнюю меру Лебега 1 и внутреннюю меру Лебега 0. Рассмотрим вероятностное пространство ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbf{P}_{c}$), где $\mathscr {A}$ — б-алгебра множеств вида $A = B_{1} C+B_{2} \bar{C}, B_{1}, B_{2} \in \mathscr {B}, \quad \mathbb {P}_{C}\left(A\right) = \frac{1}{2} \mathbb {P}\left(B_{1}\right)+\frac{1}{2} \mathbb {P}\left(B_{2}\right)$. Доказать, что семейство условных вероятностей $\mathbb {P}_{c}\left( A \mid \mathscr {B} \right)$ не является регулярным.

Рассмотрим вероятностное пространство ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$), где $\Omega = [0,1], \mathscr {A}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств, $\mathbb {P}$ — мера Лебега. Доказать, что семейство условных вероятностей $\mathbb {P}\left( A \mid \mathscr {B} \right)$ является регулярным, если:

Пусть на вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, P$), где $\Omega = [0,1], \mathscr {A}$ — $\sigma$-алгебра борелевских множеств, $\mathbb {P}$ — мера Лебега, задана случайная величина $\xi (\omega ) = \omega$. Найти условное распределение $\xi$ относительно $\sigma$-алгебры $\mathscr {B}$, порожденной случайной величиной $\eta$, если