Банк задач по математике

Задача 6.1

Проводятся испытания Бернулли с постоянной вероятностью успеха. Пусть

\xi _{i} = \begin{cases} 1, & \text{ если } i-е \text{ и }(i+1) \text{-е испытания закончились успехом } \\ 0, & \text{ в остальных случаях. } \end{cases}

Выполняется ли для последовательности $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots 3 Б Ч$ ?

?

Задача 6.2

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, причем $\xi_{n}$ принимает значения $\sqrt{n}, 0$ и $-\sqrt{n}$ с вероятностями $1 /(2 n), 1-1 / n, 1 /(2 n)$ соответственно. Выполняется ли для этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.3

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, причём $\xi_{n}$ принимает значения $-n, 0$ и $n$ с вероятностями $1 /\left(2 n^{2}\right), 1-1 / n^{2}$ , и $1 /\left(2 n^{2}\right)$ соответственно. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.4

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин,

\mathbb {P}\left(\xi _{n} = \pm 2^{n}\right) = 2^{-(2 n+1)}, \quad \mathbb {P}\left(\xi _{n} = 0\right) = 1-2^{-2 n} .

Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.5

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, причем $\xi_{n}$ принимает значения $2^{n}$ и $-2^{n}$ с вероятностями 1/2. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.6

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, причем $\xi_{n}$ принимает значения $-2^{n},-1,1,2^{n}$ с вероятностями $2^{-n-1}, \frac{1-2^{-n}}{2}, \frac{1-2^{-n}}{2}, 2^{-n-1}$ соответственно. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.7

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, причем $\xi_{n}$ принимает значения $-n, 0, n$ с вероятностями $1 / 4,1 / 2,1 / 4$ соответственно. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.8

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, причем $\xi_{n}$ принимает значения $-n, 0, n$ с вероятностями $2^{-n}, 1-2^{-n+1}, 2^{-n}$ соответственно. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.9

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, причем $\xi_{n}$ принимает значения $-\varphi (n), 0, \varphi (n)$ с вероятностями $1 / \psi (n), 1-2 / \psi (n), 1 / \psi (n)$ соответственно, где $\varphi (n)$ и $\psi (n)$ таковы, что

\varphi (n) \geqslant 0, \quad \psi (n) \geqslant 2, \quad \frac{\varphi (n)}{\psi (n)} \leqslant C

( $C$ — постоянная). Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.10

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. В случае, когда $n$ — точный квадрат, $\xi_{n}$ принимает значения $-\sqrt{n}, \sqrt{n}$ с вероятностью $1 / 2$ каждое, при остальных $n \xi_{n}$ принимает значения $-2^{-n}, 2^{-n}$ с вероятностью $1 / 2$ каждое. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.11

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, причем $\xi_{n}$ принимает значения $-\sqrt{n}$ и $\sqrt{n}$ с вероятностью $1 / 2$ каждое. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?

?

Задача 6.12

При каких значениях $\alpha > 0$ к последовательности независимых случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ , таких, что

\mathbb {P}\left(\xi _{n} = n^{\alpha }\right) = \mathbb {P}\left(\xi _{n} = -n^{\alpha }\right) = 1 / 2,

применим ЗБЧ?

?

Задача 6.13

(теорема Чебышёва)Доказать, что ЗБЧ выполняется для последовательности независимых случайных величин, имеющих равномерно ограниченные дисперсии.

?

Задача 6.14

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с конечными дисперсиями $\sigma_{i}^{2}$ . Доказать, что если

\frac{1}{n^{2}} \sum _{i = 1}^{n} \sigma _{i}^{2} \rightarrow 0 \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty ,

то к последовательности $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ применим ЗБЧ.

?

Задача 6.15

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с дисперсиями $\sigma_{i}^{2}$ . Доказать, что если ковариация $\xi_{i}$ и $\xi_{j}$ неположигельна при $i \neq j$ и

\frac{1}{n^{2}} \sum _{i = 1}^{n} \sigma _{i}^{2} \rightarrow 0 \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty ,

то для последовательности $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ выполняется ЗБЧ.

?

Задача 6.16

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями, причем $\xi_{n}$ зависит только от $\xi_{n-1}$ и $\xi_{n+1}$ , но не зависит от остальных $\xi_{1}$ . Доказать, что для этой последовательности выполняется ЗБЧ.

?

Задача 6.17

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями, причем $\operatorname {Cov}\left[ \xi_{i}, \xi_{j} \right] \leqslant 0$ при $i \neq j$ . Доказать, что к этой последовательности применим ЗБЧ.

?

Задача 6.18

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с конечными дисперсиями и пусть коэффициент корреляции величин $\xi_{i}$ и $\xi_{j}$ не превосходит $g(\left|j-i\right|)$ , где $g(k) \geqslant 0$ . Доказать, что если

[g(0)+\ldots +g(n-1)]\left[\sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{n}^{2}\right] = o\left(n^{2}\right) \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty ,

то к последовательности $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ применим ЗБЧ.

?

Задача 6.19

(теорема Бернштейна)Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями, причем $\operatorname {Cov}\left[ \xi_{j}, \xi_{k} \right] \rightarrow 0$ равномерно при $\left|j-k\right| \rightarrow \infty$ . Доказать, что к этой последовательности применим ЗБЧ.

?

Задача 6.20

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $\mathbb {E}\left[\xi_{i}\right] = a, \operatorname {Var}\left[\xi_{i}\right] = \sigma^{2}, i = 1$ , $2, \ldots$ Доказать, что последовательность случайных величин $\eta_{1}$ , $\eta_{2}, \ldots$ , где

\eta _{n} = \frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\xi _{1}^{2}+\ldots +\xi _{n}^{2}},

сходится по вероятности, и найти предел.

?

Задача 6.21

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что если $\left|\eta_{n}\right| < c n$ , а $\operatorname {Var}\left[\eta_{n}\right] > \alpha n^{2}$ , то к последовательности $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ ЗБЧ неприменим.

?

Задача 6.22

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной ненулевой дисперсией, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что ЗБЧ не выполняется для последовательности $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ , но выполняется для последовательности $a_{1} \eta_{1}, a_{2} \eta_{2}, \ldots$ , если $a_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 6.23

Последовательность независимых случайных величин $\xi_{1}$ , $\xi_{2}, \ldots$ называется эквивалентной последовательности независимых случайных величин $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ , если сходится ряд

\sum _{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\xi _{n} \neq \eta _{n}\right) .

Доказать, что если при каждом $n$ случайные величины $\xi_{n}$ и $\eta_{n}$ имеют одинаковое математическое ожидание и ЗБЧ применим к одной из двух эквивалентных последовательностей, то он применим и к другой.

?

Задача 6.24

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, для которой выполняется ЗБЧ. Обязан ли выполняться ЗБЧ цля последовательности $\left|\xi_{1}\right|,\left|\xi_{2}\right|, \ldots$ ?

?

Задача 6.25

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходимости $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ сходимость $\frac{\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}}{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ ?

?

Задача 6.26

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, таких, что

\mathbb {E}\left[\left|\xi _{i}-\mathbb {E}\left[\xi _{i}\right]\right|\right] \leqslant C, \quad i = 1,2, \ldots \quad (C \text{ — постоянная }),

и пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots$ последовательность вещественных чисел, $a_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ . Доказать, что для последовательности $a_{1} \xi_{1}, a_{2} \xi_{2}, \ldots$ выполняется ЗБЧ.

?

Задача 6.27

Верно ли следующее утверждение: если для последовательности случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ выполняется ЗБЧ и $a_{1}, a_{2}, \ldots$ — равномерно ограниченная последовательность неотрицательных чисел, то для последовательности $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ , где $\eta_{n} = a_{n} \xi_{n}$ , также выполняется ЗБЧ?

?

Задача 6.28

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $a_{1}, a_{2}, \ldots$ — равномерно ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Можно ли утверждать, что если ЗБЧ выполняется для $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ , то он выполняется и для $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ , где $\eta_{i} = a_{i} \xi_{i}$ ?

?

Задача 6.29

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ — две последовательности независимых случайных величин, причем

\begin{gathered} \xi _{n} = \begin{cases} \varphi (n), & \text{ с вероятностью } p_{n} \\ 0, & \text{ с вероятностью } 1-2 p_{n} \\ -\varphi (n), & \text{ с вероятностью } p_{n} \end{cases} \\ \eta _{n} = \begin{cases} \varphi (n), & \text{ с вероятностью } q_{n} \\ 0, & \text{ с вероятностью } 1-2 q_{n} \\ -\varphi (n), & \text{ с вероятностью } q_{n} \end{cases} \\ \frac{p_{n}}{q_{n}} \leqslant C < \infty , \quad n = 1,2, \ldots \end{gathered}

Доказать, что если ЗБЧ выполняется для последовательности $\left\{ \eta_{n}\right\}$ , то он выполняется и для последовательности $\left\{ \xi_{n}\right\}$ .

?

Задача 6.30

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ — две последовательности независимых в каждой последовательности случайных величин, причем

\begin{gathered} \xi _{n} = \begin{cases} \varphi (n), & \text{ с вероятностью } p_{n} \\ 0, & \text{ с вероятностью } 1-2 p_{n} \\ -\varphi (n), & \text{ с вероятностью } p_{n} \end{cases} \\ \eta _{n} = \begin{cases} \psi (n), & \text{ с вероятностью } p_{n} \\ 0, & \text{ с вероятностью } 1-2 p_{n} \\ -\psi (n), & \text{ с вероятностью } p_{n} \end{cases} \\ \frac{\varphi (n)}{\psi (n)} \leqslant C < \infty , \quad n = 1,2, \ldots \end{gathered}

Доказать, что если ЗБЧ выполняется для последовательности $\left\{ \eta_{n}\right\}$ , то он выполняется и для последовательности $\left\{ \xi_{n}\right\}$ .

?

Задача 6.31

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ — две последовательности независимых в каждой последовательности случайных величин и пусть

\mathbb {P}\left(\left|\xi _{i}-\mathbb {E}\left[\xi _{i}\right]\right| \geqslant t\right) \leqslant \mathbb {P}\left(\left|\eta _{i}-\mathbb {E}\left[\eta _{i}\right]\right| \geqslant t\right)

для любого $t \geqslant 0$ . Верно ли, что если для последовательности $\eta_{1}$ , $\eta_{2}, \ldots$ выполняется ЗБЧ, то он выполняется и для последовательности $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ ?

?

Задача 6.32

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями, $C_{1}, C_{2}, \ldots$ — неубывающая последовательность положительных чисел. Доказать, что к последовательности $C_{1} \xi_{1}, C_{2} \xi_{2}, \ldots$ применим ЗБЧ тогда и только тогда, когда

C_{n} / \sqrt{n} \rightarrow 0 \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty

?

Задача 6.33

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и равномерно ограниченными дисперсиями. Доказать, что ряд

\sum _{n = 1}^{\infty } \xi _{n} / n

почти наверное сходится.

?

Задача 6.34

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Доказать, что ряд $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum \operatorname {Var}\left[\xi_{n}\right]$ .

?

Задача 6.35

Доказать, что если ряд из независимых случайных величин сходится почти наверное к постоянной, то каждый член ряда есть почти наверное постоянная.

?

Задача 6.36

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Может ли ряд $\sum \xi_{n}$ сходиться почти наверное, а последовательность медиан $m \eta_{n}$ не сходиться?

?

Задача 6.37

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Доказать, что ряд $\sum \xi_{n}^{(s)}\left(\xi_{n}^{(s)}\right.$ — симметризация $\left.\xi_{n}\right)$ сходится почти наверное тогда и только тогда, когда существует последовательность вещественных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots$ , такая, что почти наверное сходится ряд $\sum \left(\xi_{n}-a_{n}\right)$ .

?

Задача 6.38

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ — независимые в совокупности случайные величины. Доказать, что если почти наверное сходится ряд $\sum \left(\xi_{n}+\eta_{n}\right)$ , то для некоторых последовательностей вещественных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, \ldots$ почти наверное сходятся ряды

\sum \left(\xi _{n}-a_{n}\right) \quad \text{ и } \quad \sum \left(\eta _{n}-b_{n}\right) .

?

Задача 6.39

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \xi_{n}$ сходится почти наверное тогда и только тогда, когда он сходится по вероятности.

?

Задача 6.40

Доказать, что ряд из независимых случайных величин сходится почти наверное тогда и только тогда, когда он сходится по распределению.

?

Задача 6.41

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ — соответствующие характеристические функции. Доказать, что ряд $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится тогда и только тогда, когда

\lim _{n \rightarrow \infty } \prod _{k = 1}^{n} f_{k}(t) = f(t),

где $f(t)$ — непрерывная в нуле функция.

?

Задача 6.42

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с характеристическими функциями $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ соответственно. Доказать, что если бесконечное произведение $\prod_{t = 1}^{\infty } f_{n}(t)$ сходится к отличному от нуля пределу на некотором множестве положительной лебеговой меры, то ряд $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится, и обратно.

?

Задача 6.43

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с характеристическими функциями $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ соответственно. Доказать, что бесконечное произведение $\prod_{n = 1}^{\infty }\left|f_{n}(t)\right|$ строго положительно на множестве положительной лебеговой меры тогда и только тогда, когда существует последовательность вещественных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots$ такая, что ряд $\sum \left(\xi_{n}-a_{n}\right)$ почти наверное сходится.

?

Задача 6.44

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин,

\mathbb {P}\left(\xi _{1} = -1\right) = \mathbb {P}\left(\xi _{1} = 1\right) = 1 / 2.

Доказать, что ряд $\sum c_{n} \xi_{n}$ , где $c_{1}, c_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел, сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum c_{n}^{2}$ .

?

Задача 6.45

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с равпомерным на отрезке $[-1,+1]$ распределением. Доказать, что ряд $\sum c_{n} \xi_{n}$ сходится почти наверное тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum c_{n}^{2}$ .

?

Задача 6.46

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Доказать, что ряд $\sum c_{n} \xi_{n}$ , где $c_{\mathrm{t}}$ , $c_{2}, \ldots$ последовательность вещественных чисел, почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum c_{n}^{2}$ .

?

Задача 6.47

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями. Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n} \xi_{n}$ , где $c_{1}, c_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел, почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum c_{n}^{2} < \infty$ .

?

Задача 6.48

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайшых величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона.

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \xi_{n}$ почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\xi_{n}\right]$ .

?

Задача 6.49

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых неотрицательных случайных величин, таких, что $\mathbb {P}\left(\xi_{n} > c\right) = 0$ . Доказать, что ряд $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum \mathbb {E}\left[\xi_{n}\right]$ .

?

Задача 6.50

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, удовлетворяющих условию $\left|\xi_{n}\right| \leqslant c < \infty , n = 1,2, \ldots$ Доказать, что ряд $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится, если сходится ряд $\sum \mathbb {E}\left[\left|\xi_{n}-\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right]\right|\right]$ . Верно ли обратное?

?

Задача 6.51

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одннаковое распределение Конн с плотностью

\frac{1}{\pi \left(1+x^{2}\right)} .

Доказать, что ряд $\sum c_{n} \xi_{n}$ , где $c_{1}, c_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел, почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum \left|c_{n}\right|$ .

?

Задача 6.52

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность пезавнсимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью распределения

\frac{1-\cos x}{\pi x^{2}},

$c_{1}, c_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел. Доказать, что ряд $\sum c_{n} \xi_{n}$ почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum \left|c_{n}\right|$ .

?

Задача 6.53

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих симметричное устойчивое с показателем $\alpha > 0$ распределение. Доказать, что ряд $\sum c_{n} \xi_{n}$ , где $c_{1}, c_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел, почти наверное сходится тогда п только тогда, когда $\sum \left|c_{n}\right|^{\alpha } < \infty$ .

?

Задача 6.54

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и конечными третьими моментами. Положим $\sigma_{i}^{2} = \operatorname {Var}\left[\xi_{i}\right], \beta_{i} = \mathbb {E}\left[\left|\xi_{i}\right|^{3}\right]$ . Доказать, что если величины $\beta_{i} / \sigma_{i}^{2}$ равномерно ограничены: $\beta_{i} / \sigma_{i}^{2} \leqslant c, i = 1,2, \ldots$ , и ряд $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится, то сходится ряд $\sum \sigma_{n}^{2}$ .

?

Задача 6.55

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с конечными третьими моментами. Положим $\sigma_{i}^{2} = \operatorname {Var}\left[\xi_{i}\right]$ , $\beta_{i} = \mathbb {E}\left[\left|\xi_{i}\right|^{3}\right]$ . Доказать, что если величины $\beta_{i} / \sigma_{i}^{2}$ равномерно ограничены, то для сходимости почти наверное ряда $\sum \xi_{n}$ необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды $\sum \mathbb {E}\left[\xi_{n}\right]$ и $\sum \sigma_{i}^{2}$ .

?

Задача 6.56

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $c_{1}, c_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел. Доказать, что если ряд $\sum c_{n} \xi_{n}$ почти наверное сходится, то $\sum c_{n}^{2} < \infty$ .

?

Задача 6.57

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечное математическое ожиданне, $c_{1}, c_{2}, \ldots$ последовательность вещественных чисел. Доказать, что если $\sum \left|c_{n}\right| < \infty$ , то ряд $\sum c_{n}\left(\xi_{n}-a_{n}\right)$ почти наверное сходится при некотором выборе вещественных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots$

?

Задача 6.58

Привести пример последовательности независимых случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ , имеющих нулевые математические ожидашпя, такой, что ряд $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится, а ряц $\sum \operatorname {Var}\left[\xi_{n}\right]$ расходится.

?

Задача 6.59

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых целочисленных случайных величин. Доказать, что если ряд $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится, то $\prod_{h = 1}^{\infty } p_{k} > 0$ , где $p_{k}$ — максимальный скачок функции распределения случайной величины $\xi_{k}$ .

?

Задача 6.60

Доказать, что радиус сходимости $R$ степенного ряда $\sum_{n = 0}^{\infty } \xi_{n} z^{n}$ , где $\left\{ \xi_{n}\right\}$ — независимые случайные величины, есть почти наверное постоянная.

?

Задача 6.61

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Доказать, что ряд $\sum \xi_{n}^{2}$ почти наверное сходится тогда и только тогда, когда

\sum \mathbb {E}\left[\frac{\xi _{n}^{2}}{1+\xi _{n}^{2}}\right] < \infty .

?

Задача 6.62

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Доказать, что если

\sum \mathbb {E}\left[\frac{\xi _{n}^{2}}{1+\left|\xi _{n}\right|}\right] < \infty

то рял $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится.

?

Задача 6.63

Последовательность случайных величин $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ называется ограниченной по вероятности, если

\limsup _{c \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\left|\eta _{n}\right| > c\right) = 0

Доказать, что если $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые симметричные случай9 А. Е. Прохоров и др. пые величины, а случайные величины $\eta_{n} = \sum_{i = 1} \xi_{i}$ ограничены по вероятности, то ряд $\sum \xi_{n}$ почти наверное сходится. Можно ли отказаться от условия симметричности?

?

Задача 6.64

Пусть $v_{n}$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли с вероятностью успеха $p$ . Доказать, что

v_{n} / n \rightarrow p \text{ п. н. при } \quad n \rightarrow \infty .

?

Задача 6.65

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что если

\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{n} \rightarrow c \text{ п. н. при } \quad n \rightarrow \infty ,

где $c$ — некоторое вещественное число, то $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{1}\right|\right] < \infty$ и $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] = c$ .

?

Задача 6.66

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, $b_{1}, b_{2}, \ldots$ — неубывающая последовательность вещественных чисел, такая, что $b_{n} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty , \eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что если

\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\operatorname {Var}\left[\xi _{n}\right]}{b_{n}^{2}} < \infty ,

то

\frac{\eta _{n}-\mathbb {E}\left[\eta _{n}\right]}{b_{n}} \rightarrow 0 \text{ п. н. } \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty .

?

Задача 6.67

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, таких, что $\left|\xi_{i}\right| \leqslant C, C > 0, i = 1,2, \ldots$ Положим $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что

\frac{\eta _{n}-\mathbb {E}\left[\eta _{n}\right]}{\sqrt{n} \log n} \rightarrow 0 \text{ п. н., } \quad n \rightarrow \infty .

?

Задача 6.68

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $0 < r < 2$ . Доказать, что если

\frac{1}{n^{1 / r}} \sum _{k = 1}^{n}\left(\xi _{k}-a_{k}\right) \rightarrow 0 \text{ п. н.: }

то $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{k}\right|\right], r < \infty$ , где $a_{k} = 0$ при $r < 1$ и $a_{k} = \mathbb {E}\left[\xi_{k}\right]$ при $r \geqslant 1$ .

?

Задача 6.69

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что если при некотором $r \geqslant 1$

\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\mathbb {E}\left[\left|\xi _{n}\right|^{2 r}\right]}{n^{r+1}} < \infty ,

то

\frac{\eta _{n}}{n} \rightarrow 0 \text{ п. н., } \quad n \rightarrow \infty .

?

Задача 6.70

Показать, что, какова бы ни была последовательность неотрицательных чисел $\sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \ldots$ , такая, что

\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\sigma _{n}^{2}}{n^{2}} = \infty ,

существует последовательность пезависшмых случайшых величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ , такая, что

\mathbb {E}\left[\xi _{n}\right] = 0, \quad \operatorname {Var}\left[\xi _{n}\right] = \sigma _{n}^{2}, \quad n = 1,2, \ldots ,

п последовательность $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ , где $\eta_{n} = n^{-1} \sum_{i = 1}^{n} \xi_{i}$ не сходится почти наверное к нулю.

?

Задача 6.71

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, такая, что

\mathbb {E}\left[\xi _{n}\right] = 0, \quad \left|\frac{\xi _{n}}{n}\right| \leqslant C, \quad n = 1,2, \ldots ,

где $C$ — некоторая постоянная, и пусть

\frac{1}{n} \sum _{i = 1}^{n} \xi _{i} \rightarrow 0 \text{ п. н., } \quad n \rightarrow \infty .

Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$

\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\operatorname {Var}\left[\xi _{n}\right]}{n^{2+\varepsilon }} < \infty .

?

Задача 6.72

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайшых величин, имеющих нормальное распределение. Доказать, что если последовательность $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ удовлетворяет условию $\liminf_{n \rightarrow \infty } \frac{\ln n}{n} \operatorname {Var}\left[\xi_{n}\right] > 0$ , то УЗБЧ для нее не выполняется.

?

Задача 6.73

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{j}\right|^{r}\right] < \infty , 1 \leqslant r < 2$ . Доказать, что

n^{-\frac{1}{r}} \sum _{j = 1}^{n}\left(\xi _{j}-\mathbb {E}\left[\xi _{j}\right]\right) \rightarrow 0 \text{ п. н. } \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty .

?

Задача 6.74

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность пезависпмых одинаково распределенных случайных величин, $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{j}\right|^{r}\right] < \infty , 0 < r < 1$ .

Доказать, что

n^{-\frac{1}{r}} \sum _{j = 1}^{n} \xi _{j} \rightarrow 0 \text{ п. н. } \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty .

?

Задача 6.75

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Доказать, что если $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{1}\right|^{p}\right] = \infty$ для некоторого $0 < p < 2$ , то

\limsup _{n \rightarrow \infty } n^{-\frac{1}{p}}\left|\sum _{i = 1}^{n}\left(\xi _{i}-a\right)\right| = +\infty \text{ п. н. }

для любого вещественного $a$ .

?

Задача 6.76

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием $a, \eta_{n} = \left(\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}\right) / n$ . Доказать, что к последовательности $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ применим УЗБЧ.

?

Задача 6.77

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных невырожденных случайных величин с конечными дисперсиями, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что для любых конечных вещественных чисел $a$ и $b$

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(a \leqslant \eta _{n} \leqslant b\right) = 0

?

Задача 6.78

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными положительными дисперсиями. Доказать, что для любого вещественного числа $x$ предел

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\xi _{1}+\ldots +\xi _{n} < x\right)

равен либо 0 , либо 1 , либо $1 / 2$ . Указать условия, при которых имеет место каждая из указанных ситуаций.

?

Задача 6.79

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями. Доказать, что для любого положительного $x$ предел

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\left|\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{n^{\alpha }}\right| \leqslant x\right)

равен 0 при $\alpha < 1 / 2$ и 1 при $\alpha > 1 / 2$ .

?

Задача 6.80

Пусть $P_{n} = \max_{0 \leqslant h \leqslant n} \mathbb {P}\left(v_{n} = k\right)$ , где $v_{n}$ — число успехов в схеме Бернулли с вероятностью успеха $p$ . Найти $\lim_{n \rightarrow \infty } P_{n} \sqrt{n}$ .

?

Задача 6.81

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Найти $\operatorname {Var}\left[\xi_{i}\right]$ , если

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\frac{\eta _{n}}{\sqrt{n}} > 1\right) = 1 / 3

?

Задача 6.82

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайшых величин, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Найти

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(0 < \frac{\eta _{n}}{\sqrt{n}} < 1\right)

если $\xi_{n}$ равномерно распределена на отрезке $\left[a_{n}-1, a_{n}+1\right]$ ( $a_{1}, a_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел, $\sum a_{i} = A < \infty$ ).

?

Задача 6.83

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайшых величин, имеющих равномерное на отрезке $[0,1]$ распределение, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Найти последовательность вещественных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots$ , удовлетворяющую условно

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\eta _{n} \leqslant a_{n} \sqrt{n}\right) = p, \quad 0 \leqslant p \leqslant 1

?

Задача 6.84

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией и

0 < \lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\left|\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\sqrt{n}}\right| < a\right) = b < 1.

Найти

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\left|\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\sqrt{n}}\right| < 2 a\right) .

?

Задача 6.85

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с единичными дисперсиями, $\mathbb {E}\left[\left[\xi_{1}\right]\right] = 0$ ( $[x]$ — целая часть $x$ ) и пусть

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\sqrt{n}} > 0\right) = 1 / 2.

Найти $\mathbb {E}\left[\left\{ \xi_{1}\right\} \right]$ ( $\left\{ x\right\}$ — дробная часть $x$ ).

?

Задача 6.86

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения $0, \pm 1, \pm 2, \ldots , \mathbb {P}\left(\xi_{1} = 0\right) > 0, \mathbb {P}\left(\xi_{1} = 1\right) > 0$ . Найти предел (в смысле слабой сходимости) последовательности распределений случайных величин $\left\{ \eta_{n} / 2+1 / 2\right\}$ ( $\eta_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \xi_{i}$ , $\left\{ x\right\}$ — дробная часть $x$ ). Будет ли иметь место сходимость по вариации?

?

Задача 6.87

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Найти предел (в смысле слабой сходимости) последовательности распределений случайных величин $\left[\eta_{n} / \sqrt{n}\right]$ ( $\eta_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \xi_{i}$ , $[x]$ — целая часть $x$ ). Будет ли иметь место сходимость по вариации?

?

Задача 6.88

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Доказать, что величины

\eta = \sqrt{n} \frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\xi _{1}^{2}+\ldots +\xi _{n}^{2}} \quad \text{ и } \quad \zeta = \frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\sqrt{\xi _{1}^{2}+\ldots +\xi _{n}^{2}}}

асимптотически нормальны.

?

Задача 6.89

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, причем $\xi_{1}, \xi_{3}, \xi_{5}, \ldots$ одинаково распределены и $\xi_{2}, \xi_{4}$ , $\xi_{6}, \ldots$ одинаково распределены,

\mathbb {E}\left[\xi _{1}^{2}\right] < \infty , \quad \mathbb {E}\left[\xi _{2}^{2}\right] < \infty , \quad \operatorname {Var}\left[\xi _{1}\right] > 0, \quad \operatorname {Var}\left[\xi _{2}\right] > 0.

Положим

\eta _{n} = \xi _{1}+\ldots +\xi _{n}, \quad \eta _{n}^{*} = \frac{\eta _{n}-\mathbb {E}\left[\eta _{n}\right]}{\sqrt{\operatorname {Var}\left[\eta _{n}\right]}} .

Найти предельное (в смысле слабой сходимости) распределение для $\eta_{n}^{*}$ .

?

Задача 6.90

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое пуассоновское с параметром $\lambda$ распределение. Найти предел

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\frac{\sum _{i = 1}^{n}\left(\xi _{2 i-1}-\xi _{2 i}\right)}{\sqrt{n}} < x\right) .

?

Задача 6.91

Доказать, что условие Линдеберга выполнено для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией.

?

Задача 6.92

Доказать, что если для последовательности случайных величин выполнено условие Ляпунова, то выполнено и условие Линдеберга.

?

Задача 6.93

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых пормально распределенных случайных величин, $\mathbb {E}\left[\xi_{k}\right] = 0, k = 1,2, \ldots$ , $\operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right] = 1, \operatorname {Var}\left[\xi_{k}\right] = 2^{k-2}, k \geqslant 2$ . Показать, что в этом случае условие Линдеберга не выполнено, но ЦПТ имеет место.

?

Задача 6.94

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, $v_{1}, v_{2}, \ldots$ — последовательность целочисленных положительных случайных величин, таких, что при каждом $i v_{i}$ не зависит от $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ Пусть $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что если $v_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \infty$ при $n \rightarrow \infty$ , то распределение $\eta_{v_{n}} / \sqrt{v_{n}}$ слабо сходится при $n \rightarrow \infty$ к стандартному нормальному закону.

?

Задача 6.95

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, $v_{1}, v_{2}, \ldots$ — последовательность целочисленных положительных случайных величин, таких, что $\mathbb {E}\left[v_{k}\right] = \alpha_{k}, \operatorname {Var}\left[v_{k}\right] = \beta_{k}$ и при каждом $k v_{k}$ не зависит от $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ Пусть $\alpha_{n} \rightarrow \infty$ и $\beta_{n} = o\left(\alpha_{n}^{2}\right)$ при $n \rightarrow \infty$ . Найти предельное (в смысле слабой сходимости) распределение для $\eta_{v_{n}} / \sqrt{\operatorname {Var}\left[\eta_{v_{n}}\right]}$ ( $\eta_{k} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{k}$ ).

?

Задача 6.96

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием, единичной дисперсией и абсолютно интегрируемой характеристической функцией. Пусть $p^{(n)}(x)$ — плотность распределения случайной величины

\eta _{n} = \frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\sqrt{n}}

Доказать, что равномерно но $x$

\lim _{n \rightarrow \infty } p^{(n)}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} e^{-x^{2} / 2}

?

Задача 6.97

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одннаковое равномерное на отрезке $[-a, a]$ распределение, $F_{n}(x)$ — функция распределения пормированной суммы

\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\sqrt{n \operatorname {Var}\left[\xi _{1}\right]}} .

Доказать, что

\sup _{x}\left|F_{n}(x)-\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int _{-\infty }^{x} e^{-\frac{u^{2}}{2}} d u\right| \leqslant \frac{1}{4 \pi n}\left(1+\frac{4}{n-1}\right) .

?

Задача 6.98

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием, дисперсией $\sigma^{2}$ и конечным третьим абсолютным моментом $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{1}\right|^{3}\right] = \beta_{3}$ . Пусть $f_{n}(t)$ — характеристическая функция случайной величины

\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\sigma \sqrt{n}} .

Доказать, что

\left|f_{n}(t)-e^{-t^{2} / 2}\right| \leqslant 16 \frac{\beta _{3}}{\sigma ^{3} \sqrt{n}} e^{-t^{2} / 3}\left|t\right|^{3}

при $\left|t\right| \leqslant \frac{\sigma^{3} \sqrt{n}}{4 \beta_{3}}$ .

?

Задача 6.99

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с одинаковой функцией распределения $F(x)$ , причем $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] = 0, \mathbb {E}\left[\xi_{1}^{2}\right] = \sigma^{2}, \mathbb {E}\left[\left|\xi_{1}\right|^{3}\right] = \beta_{3}, F(x)$ симметрична, а соответствующая характеристическая функция $f(t)$ неотрицательна. Пусть

\sup _{\propto } F^{\prime }(x) \leqslant A < \infty .

Доказать, что

\left|\mathbb {P}\left(\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\sigma \sqrt{n}} < x\right)-\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int _{-\infty }^{x} e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t\right| \leqslant \frac{C(A) \beta _{3}}{\sigma ^{3} \sqrt{n}}

где $C(A)$ — положительная постоянная, зависящая только от $A$ .

?

Задача 6.100

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, $b_{1}, b_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел, $m \xi_{1}$ — медиапа случайной величины $\xi_{i}, i = 1,2, \ldots$ Доказать, что если $\xi_{n}-b_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ при $n \rightarrow \infty$ , то $\xi_{n}-m \xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ .

?

Задача 6.101

Пусть последовательность независимых случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ почти наверное сходится. Доказать, что существует постояпиая $a$ , такая, что $\mathbb {P}\left(\lim_{n \rightarrow \infty } \xi_{n} = a\right) = 1$ .

?

Задача 6.102

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с функциями распределения $F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ соответственно. Доказать, что $\xi_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ тогда и только тогда, когда

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{-\infty }^{\infty } \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d F_{n}(x) = 0

?

Задача 6.103

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с конечными дисперсиями. Положим $a_{n} = \mathbb {E}\left[\xi_{n}\right], \sigma_{n}^{2} = \operatorname {Var}\left[\xi_{n}\right]$ . Доказать, что если $a_{n} \rightarrow \infty$ и $\sigma_{n}^{2} = o\left(a_{n}^{2}\right)$ при $n \rightarrow \infty$ , то

\frac{\xi _{n}}{a_{n}} \xrightarrow {\mathbb {P}} 1 \quad \text{ при } \quad n \rightarrow \infty .

?

Задача 6.104

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин с конечными математическими ожиданиями, $\eta_{n} = \xi_{1} \ldots \xi_{n}$ . Доказать, что если $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{1}\right|\right] = \mathbb {E}\left[\left|\xi_{2}\right|\right] = \ldots < 1$ , то $\eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ при $n \rightarrow \infty$ . Верно ли обратное утверждение, если $\left\{ \xi_{i}\right\}$ одинаково распределены?

?

Задача 6.105

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, $\eta_{n} = \xi_{1} \ldots \xi_{n}$ . Доказать, что если для некоторого $\alpha > 0 \mathbb {E}\left[\left|\xi_{1}\right|^{\alpha }\right] = \mathbb {E}\left[\left|\xi_{2}\right|^{\alpha }\right] = \ldots < 1$ , то $n^{\beta } \eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ при $n \rightarrow \infty$ для любого вещественного $\beta$ .

?

Задача 6.106

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $\eta_{n} = \xi_{1} \ldots \xi_{n}$ . Доказать, что если $\eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} a$ при $n \rightarrow \infty$ ( $a$ — конечное вещественное число), то либо $a = 0$ , либо $a = 1$ , причем в последнем случае $\mathbb {P}\left(\xi_{i} = 1\right) = 1$ , $i = 1,2, \ldots$

?

Задача 6.107

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных неотрицательных случайных величин с математическим ожиданием $a$ ,

\eta _{n} = \frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{n}

Доказать, что последовательность случайных величин $\zeta_{n} = \sqrt[n]{\eta_{1} \ldots \eta_{n}}$ почти наверное сходится к $a$ .

?

Задача 6.108

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с конечными математическими ожиданиями, а $\xi$ — случайная величина с конечной дисперсией, такая, что при любом натуральном $n \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ и $\xi -\left(\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}\right)$ независимы. Доказать, что в этом случае все $\xi_{n}$ имеют конечные дисперсии и ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\xi_{n}-\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right]\right)$ почти наверное сходится.

?

Задача 6.109

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность одинаково распределенных случайных величин с конечным абсолютным моментом порядка $p > 0$ . Положим

\eta _{n} = \begin{cases} 0, & \left|\xi _{n}\right| < n^{1 / p} \\ 1, & \left|\xi _{n}\right| \geqslant n^{1 / p} \end{cases}

Доказать, что

\sum _{n = 1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\eta _{n}\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}\right|^{p}\right]

?

Задача 6.110

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность одинаково распределенных случайных величин с конечным абсолютным моментом порядка $p > 0$ . Положим

\eta _{n} = \begin{cases} \xi _{n}, & \left|\xi _{n}\right| < n^{1 / p} \\ 0, & \left|\xi _{n}\right| \geqslant n^{1 / p} \end{cases}

Доказать, что

\sum _{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\xi _{n} \neq \eta _{n}\right) \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}\right|^{p}\right] < \infty

?

Задача 6.111

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, $\alpha > \beta > 0$ . Следует ли из сходимости ряда $\sum \mathbb {E}\left[\left|\xi_{n}\right|^{\alpha }\right]$ сходимость ряда $\sum E\left|\xi_{n}\right|^{\beta }$ ?

?

Задача 6.112

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — равномерно интегрирусмая последовательность случайных величин. Доказать, что

\mathbb {E}\left[\frac{1}{n} \sup _{1 \leqslant m \leqslant n}\left|\xi _{m}\right|\right] \rightarrow 0

при $n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 6.113

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ — две последовательности случайных величин, причем $\xi_{n}$ асимптотически нормальна с параметрами $\left(a, h / \sqrt{n}\right)$ , а $\eta_{n}$ асимптотически нормальна с параметрами $(b, k / \sqrt{n}), b \neq 0$ . Доказать, что случайная величина

\zeta _{n} = \sqrt{n} \frac{\xi _{n}-a}{\eta _{n}}

асимптотически нормальна с параметрами ( $0, h / b$ ).

?

Задача 6.114

Пусть $f(x)$ — непрерывная ограниченная на $[0, \infty )$ функция. Доказать, что при $h > 0$

\lim _{n \rightarrow \infty } \sum _{k = 0}^{\infty } f\left(x+\frac{k}{n}\right) \frac{(n h)^{k}}{k!} e^{-h n} = f(x+h) .

?

Задача 6.115

Доказать, что случайная величина, измеримая относительно остаточной $\sigma$ -алгебры, имеет вырожденное распределение.

?

Задача 6.116

Привести пример остаточной б-алгебры, содержащей больше двух событий.

?

Задача 6.117

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Доказать, что случайные величины $\limsup \xi_{n}$ и $\liminf \xi_{n}$ являются вырожденными.

?

Задача 6.118

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случаїных величин, имеющих стацдартное нормальное распределение, и пусть событие $A_{n}$ заключается в том, что

\xi _{1}+\ldots +\xi _{n} > a(2 n \ln n)^{1 / 2},

где $a$ — фиксированная постоянная. Доказать, что при $a > 1$ с вероятностью 1 осуществится только конечное число событий $A_{n}$ .

?

Задача 6.119

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартнос нормальное распределение. Доказать, что

\mathbb {P}\left(\lim \sup \frac{\xi _{n}}{\sqrt{2 \ln n}} = 1\right) = 1.

?

Задача 6.120

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих пуассоновское распределение. Доказать, что

\mathbb {P}\left(\lim \sup \frac{\xi _{n} \ln \ln n}{\ln n} = 1\right) = 1.

?

Задача 6.121

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с характеристической функцией

f(t) = \exp \left\{ -\left|t\right|^{\alpha }\right\} , \quad 0 < \alpha < 2.

Доказать, что

\mathbb {P}\left(\lim \sup \left|\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{n^{1 / \alpha }}\right|^{\frac{1}{\ln \ln n}} = e^{1 / \alpha }\right) = 1 .

?

Задача 6.122

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин,

\mathbb {E}\left[\xi _{k}\right] = m_{k} > 0 ; \quad \sum _{h = 1}^{\infty } m_{k} = \infty , \quad \sum _{k = 1}^{\infty } \frac{\operatorname {Var}\left[\xi _{k}\right]}{\left(\sum _{i = 1}^{k} m_{i}\right)^{2}} < \infty .

Доказать, что с вероятностью 1

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\sum _{k = 1}^{n} \xi _{k}}{\sum _{k = 1}^{n} m_{k}} = 1

?

Задача 6.123

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $B_{1}, B_{2}, \ldots$ — последовательность вещественных чисел. Пусть последовательность распределений случайных величин

\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{B_{n}}

слабо сходится при $n \rightarrow \infty$ к некоторому невырожденному распределению $F$ . Доказать, что в этом случае

\lim _{n \rightarrow \infty } B_{n} = \infty \quad \text{ и } \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{B_{n+1}}{B_{n}} = 1

?

Задача 6.124

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием, $B_{1}, B_{2}, \ldots$ — последовательность положительных чисел. Доказать, что если последовательность распределений случайных величин

\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{B_{n}}

слабо сходится при $n \rightarrow \infty$ к некоторому невырожденному распределению, то $\mathbb {E}\left[\xi_{i}\right] = 0$ .

?

Задача 6.125

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих характеристическую функцию

f(t) = \begin{cases} 1-\left|t\right|^{\alpha }, & \left|t\right| \leqslant 1 \\ 0, & \left|t\right| > 1, \quad 0 < \alpha \leqslant 1 \end{cases}

Подобрать последовательность вещественных чисел $B_{1}, B_{2}, \ldots$ так, чтобы последовательность распределений случайных величин

\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{B_{n}}

слабо сходилась при $n \rightarrow \infty$ к некоторому предельному невырожденному распределению. Найти предельный закон.

?

Задача 6.126

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью распределения

\frac{1-\cos x}{\pi x^{2}}

$\eta_{n} = \frac{\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}}{n}, F_{n}(x)$ — функция распределения $\eta_{n}$ . Доказать, что существует функция распределения $F(x)$ , такая, что $F_{n}$ слабо сходится к $F$ при $n \rightarrow \infty$ . Найти функцию распределения $F(x)$ .

?

Задача 6.127

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $B_{1}, B_{2}, \ldots$ — последовательность положительных чисел, причем последовательность распределений случайных величин

\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{B_{n}}

слабо сходится при $n \rightarrow \infty$ к распределению с характеристической функцией

e^{-c\left|t\right|^{\alpha }}, \quad c > 0, \quad 0 < \alpha \leqslant 2.

Доказать, что $B_{n} = n^{1 / \alpha } h(n)$ , причем $\lim_{x \rightarrow \infty } h(t x) / h(x) = 1$ при $t > 0$ .

?

Задача 6.128

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $A_{1}, A_{2}, \ldots$ и $B_{1}, B_{2}, \ldots$ ( $B_{n} > 0$ ) — две последовательности вещественных чисел, причем последовательность распределений случайных величин

\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}-A_{n}}{B_{n}}

слабо сходится при $n \rightarrow \infty$ к некоторому распределению. Доказать, что предельное распределение устойчиво.

?

Задача 6.129

Пусть случайная величина $\xi_{N, M, n}$ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами $N, M, n$ : $\mathbb {P}\left(\xi_{N, M, n} = m\right) = \begin{cases} C_{M}^{m} C_{N-M}^{n-m} / C_{N}^{n}, & \max (0, M+n-N) \leqslant m \leqslant \min (n, M) \\ 0 \quad , & \text{ в ином случае } \end{cases}$

(M \leqslant N, n \leqslant N)

Доказать, что при $N \rightarrow \infty , M \rightarrow \infty , \frac{M}{N} \rightarrow p, 0 < p < 1$ , и фиксированном $n$ гипергеометрическое распределение сходится к биномиальному распределению с параметром $p$ :

C_{n}^{m} p^{m}(1-p)^{n-m} .

?

Задача 6.130

Пусть последовательность случайных величин $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ образует схему Пуассона, т. е. $\xi_{1}, \ldots$ , $\xi_{n}$ взаимно независимы и распределены так, что

\mathbb {P}\left(\xi _{k} = 1\right) = p_{k}, \quad \mathbb {P}\left(\xi _{k} = 0\right) = 1-p_{k}, \quad k = 1, \ldots , n .

Обозначим $\mu_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что если $p_{1}+\ldots +p_{n} \rightarrow \lambda > 0$ при $n \rightarrow \infty$ , то

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\mu _{n} = m\right) = e^{-\lambda } \frac{\lambda ^{m}}{m!} .

?

Задача 6.131

(Продолжение) Пусть в схеме Пуассона $\mu_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ , $\lambda = p_{1}+\ldots +p_{n}, \delta = p_{1}^{2}+\ldots +p_{n}^{2}, \quad 0 < p_{j} \leqslant 1 / 2$ . Доказать, что при $n \geqslant 2$

\left|\mathbb {P}\left(\mu _{n} = m\right)-\frac{\lambda ^{m}}{m!} e^{-\lambda }\right| \leqslant 2 \delta .

?

Задача 6.132

Пусть случайные величины $\xi_{n}, n = 1,2, \ldots$ , имеют распределение, сосредоточенное на интервале $[0,1)$ . Доказать, что если при любом целом $k \neq 0$

\mathbb {E}\left[e^{2 \pi i k \xi _{n}}\right] \rightarrow 0

при $n \rightarrow \infty$ , то для любых $\alpha$ п $\beta , 0 \leqslant \alpha < \beta < 1$ ,

\mathbb {P}\left(\alpha \leqslant \xi _{n} < \beta \right) \rightarrow \beta -\alpha .

?

Задача 6.133

Пусть случайные величины $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}$ взаимно независимы и одинаково распределены, причем $\mathbb {P}\left(0 \leqslant \xi_{n} < 1\right) = 1$ . Пусть $\eta_{n} = \left\{ \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}\right\}$ — дробная часть суммы $\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Если при $k \neq 0$

\mathbb {E}\left[e^{2 \pi i k \eta _{n}}\right] \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty ,

то при любых $\alpha$ и $\beta , 0 \leqslant \alpha < \beta < 1$ ,

\mathbb {P}\left(\alpha \leqslant \eta _{n} < \beta \right) \rightarrow \beta -\alpha .

(Это утверждение служит аналогом центральной предельной теоремы, когда случайные величины складываются по $\bmod 1$ .)

?

Задача 6.134

Найти приближенное значение для вероятности того, что число «успехов» $S_{n}$ в схеме $n = 100$ испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» $p = 0,5$ лежит в пределах 35 и 65; 47 и 53. При каких значениях $n$ вероятность того, что $0,35 \leqslant \frac{S_{n}}{n} \leqslant 0,65$ , будет больше 0,998 ?

?

Задача 6.135

(Продолжение) Каково должно быть число испытаний $n$ , чтобы с вероятностью $1-\alpha$ частота «успеха» $\frac{S_{n}}{n}$ отличалась от вероятности «успеха» $p$ не более, чем на $\varepsilon > 0$ ? Решить задачу при $\alpha = 0,01, \varepsilon = 0,01$ .

?

Задача 6.136

(Продолжение) Предположим, что в схеме Бернулли с вероятностью «успеха» $p = \mathbb {P}\left(\xi_{k} = 1\right), k = 1, \ldots , n$ , значение $p$ неизвестно и нужно определить его по значениям, которые принимают случайные величины $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ . Наиболее естественно в качестве оценки $p$ взять частоту «успеха» $\hat{p}_{n} = \frac{S_{n}}{n}, S_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ , поскольку $\mathbb {E}\left[\hat{p}_{n}\right] = p$ и $\mathbb {P}\left\{ \left|\hat{p}_{n}-p\right| < \varepsilon \right\} > 1-\frac{p(1-p)}{n \varepsilon^{2}}$ при любом $n$ . В качестве оценки можно указать интервал $\left[\bar{p}_{n}\left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right), \overline{\bar{p}}_{n}\left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)\right], 0 < \bar{p}_{n} < \overline{\overline{p_{n}}} < 1$ , такой, что

\mathbb {P}\left(\bar{p}_{n} \leqslant p \leqslant \overline{\bar{p}}_{n}\right) \geqslant 1-\alpha

для любого наперед заданного $0 < \alpha < 1$ . Такой интервал называется доверительным интервалом для $p$ уровня $1-\alpha$ . Найти с помощью теоремы Муавра - Лапласа приближенный доверительный интервал для $p$ .

?

Задача 6.137

(а)(б)

(экспериментальная оценка $\pi$ ). Опыт Бюффона с бросапием иглы на плоскость, расчерченную параллельными прямыми (см. задачу 1.75) использовался для вычисления числа л. В 19 и 20 веках было произведено множество экспериментов (см. о них подробнее в книге: Кендалл М. и Моран II. Геометрические вероятности: Пер. с англ. - М: Наука, 1972). В опыте Р. Вольфа из Цюриха длина иглы $l = 36$ мм, расстояние между прямыми $a = 45$ мм, игла была брошена $n = 5000$ раз и $m = 2532$ раза пересекла прямые. Если считать, что последовательность бросаний иглы соответствует схеме Бернулли с вероятностью «успеха» (игла пересекает прямую) $p = \frac{2 l}{a \pi }$ , то можно оценить погрешность экспериментальной оценки л. 1. В опыте Вольфа отклонение $\left|\frac{m}{n}-p\right|$ не превышает 0,0029. Найти число бросаний иглы, при котором с вероятностью, большей 6,5 , имеет место подобное отклонение. 2. По результатам опыта Вольфа найти доверительный интервал для числа $\pi$ .

?

(а)

(б)

Задача 6.138

В япваре 1935) г. в Швеции (по данпым Г. Крамера) из общего числа 7280 поворожденных родилось 3743 мальчика. Гипотезу о копкретном значении вероятности $p$ рождения мальчика можно проверить следующим образом. Допустим, что можно использовать схему Бернулли. По приведенным данным при определенном $0 < \alpha < 1$ нужно постропть доверительный интервал $\left[\vec{p}_{n}, \bar{p}_{n}\right]$ для $p$ уровня $1-\alpha$ , а затем сравнить гинотетическое значение $p_{0}$ с границами доверительного интервала: если $p_{0} \in \left[p_{n}, \bar{p}_{n}\right]$ , то считать гипотезу о том, что $p = p_{0}$ совместимой с данными, а в случае $p_{0} < \bar{p}_{n}$ шли $p_{0} > p_{n}$ — отказываться от гипотезы, имея в виду, что вероятность онибочного заключення не превосходит $\alpha$ . Проверить гипотезы $p_{0} = 0,5 ; p_{0} = 0,515 ; p_{0} = 0,55$ .

?

Задача 6.139

В урне находятся шары белого и черного цвета. О составе урны известно лишь то, что доля белых шаров равна либо 0,5 , либо 0,4. Из урны извлечено с возвращением 100 шаров и обпаружено, что белые шары составляют бо́льшую часть выборки. На почве этого наблюдения сделан вывод, что доля белых шаров в урне равна 0,5. Чему равна вероятность того, что пришято ошибочное заключение?

?

Задача 6.140

Пусть произведено $n$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$ . Допустим, что число успехов $S_{n}$ оказалось равным $m$ , $0 < m < n$ , и нужно проверить, согласуется ли это с какой-либо гинотезой относительно нензвестного значения $p$ . Можно воспользоваться следующим критерием. Зададим число $\alpha , 0 < \alpha < 1$ , и в предположении, что верна гипотеза $p = p_{0}$ вычислим вероятность $\mathbb {P}\left(S_{n} \geqslant m\right)$ . Если эта вероятность мешьне $\alpha$ , то отказываемся от гипотезы. В противоположном случае считаем, что гипотеза согласуется со статистическими данными.

При 1000 независимых бросаниях монеты герб выпал в 540 случаях. Проверить гипотезу о том, что монета симметрична при $\alpha = 0,05$ .

?

Задача 6.141

(Продолжение) Пусть а задано. В предположении, что некоторая гипотеза $p = p_{0}$ верна, найдем наименьшее целое $m_{\alpha }$ , такое, что $\mathbb {P}\left(S_{n} \geqslant m_{\alpha }\right) \leqslant \alpha$ . Критерий проверки гипотезы $p = p_{0}$ может быть таким: если $S_{n} \geqslant m_{\alpha }$ , то отказываемся от гипотезы $p = p_{0}$ ; если же $S_{n} < m_{\alpha }$ , то считаем, что гипотеза согласуется с данными. Вероятность ошибочного отказа от гипотезы не превосходит $\alpha$ .

Проверить гипотезу о вероятности рождения мальчиков из задачи 6.138.

?

Задача 6.142

Предположим, что в схеме испытаний Бернулли есть две гипотезы о вероятности «успеха» $p_{1}$ и $p_{2}, 0 < p_{1} < p_{2} < 1$ . Для различения этих гипотез произведено $n$ испытаний и в результате получено $\left\{ S_{n} = m\right\}$ . Пусть заданы числа $\alpha$ и $\beta , 0 < \alpha , \beta < 1$ , и пусть $n$ таково, что существует целое положительное число $m^{*}$ , такое, что

\mathbf{Q}_{1} = \mathbb {P}_{p_{1}}\left(S_{n} > m^{*}\right) \leqslant \alpha , \quad \mathbf{Q}_{2} = \mathbb {P}_{p_{2}}\left(S_{n} \leqslant m^{*}\right) \leqslant \beta

где первая вероятность вычислена в предположении, что $p = p_{1}$ , а вторая — в предположении $p = p_{2}$ . Тогда критерий проверки гинотез строится так: если $m > m^{*}$ , то гипотеза $p = p_{1}$ отбрасывается, а гипотеза $p = p_{2}$ считается приемлемой; если же $m \leqslant m^{*}$ , то наоборот, гипотеза $p = p_{1}$ пришимается, а $p = p_{2}$ — отбрасывается. Указанные выше вероятности $\mathbf{Q}_{1}$ и $\mathbf{Q}_{2}$ интерпретируются как вероятности ошибочных заключений.

Применить предложенную процедуру проверки к задаче де Мере (см. задачу 1.26), а именно ответить на вопрос: сколько нужно привести испытаний, чтобы различить две вероятности успеха $p_{1} = 1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ и $p_{2} = 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$ при заданных $\alpha = \beta = 0,05$ .

?

Задача 6.143

Доказать, что гипергеометрическое распределение при $N \rightarrow \infty , M \rightarrow \infty , n \rightarrow \infty , \frac{n M}{N} \rightarrow \lambda >0$ сходится к распределению Пуассона с параметром $\lambda$ .

?

Задача 6.144

Доказать, что гипергеометрическое распределение при $N \rightarrow \infty , M \rightarrow \infty , n \rightarrow \infty , \frac{n M}{N} \rightarrow \infty$ сходится к нормальному распределению.

?

Задача 6.145

Случайная величина $\chi_{n}^{2}$ имеет хи-квадрат распределение с $n$ стешенями свободы (так называется распределение с плотностью

p(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}-1} \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} x^{n-1} e^{-x^{2} / 2}, x \geqslant 0,

см. задачу 3.167). Доказать, что распределение нормированной случайной величины $\frac{\chi_{n}^{2}-\mathbb {E}\left[\chi_{n}^{2}\right]}{\sqrt{\operatorname {Var}\left[\chi_{n}^{2}\right]}}$ асимптотически пормально с параметрами (0,1).

?

Задача 6.146

Случайная величина $\xi_{2}$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda > 0$ . Доказать, что при $\lambda \rightarrow \infty$ случайная величина $\frac{\xi_{\lambda }-\lambda }{\sqrt{\lambda }}$ асимптотически нормальна с параметрами (0,1).

?

Задача 6.147

Пусть случайные величины $\xi_{i}, \ldots , \xi_{n}$ взаимно независимы и имеют одинаковое распределение Пуассона с параметром $\lambda$ . Обозначим $\bar{\xi }_{n} = \frac{1}{n}\left(\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}\right)$ . 1. Доказать, что $\bar{\xi }_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \lambda$ при $n \rightarrow \infty$ . 2. Построить доверительный интервал для $\lambda$ , т. е. указать такие $\lambda_{1}\left(\bar{\xi }_{n}\right)$ и $\lambda_{2}\left(\bar{\xi }_{n}\right)$ , чтобы при заданном $0 < \alpha < 1$

\mathbb {P}\left(\lambda _{1}\left(\bar{\xi }_{n}\right) \leqslant \lambda \leqslant \lambda _{2}\left(\bar{\xi }_{n}\right)\right) \geqslant 1-\alpha .

?

Задача 6.148

Случайные величины $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ взаимно независимы и имеют одинаковое равномерное распределение на отрезке $[\theta -1 / 2$ , $\theta +1 / 2]$ . Предполагается, что значение $\theta$ неизвестно. Пусть при $n = 100$ величины $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ приняли некоторое конкретное значение, так что среднее арифметическое $\bar{\xi } = \frac{1}{n}\left(\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}\right)$ равно $a$ . Пользуясь центральной предельной теоремой, найти доверительный интервал, который содержит неизвестное значение $\theta$ с вероятностью, приближенно равной 0,95.

?

Задача 6.149

Необходимо сложить милиион чисел, округленных с точностью до пятого десятичного знака. В предположении, что ошибки округления всех чисел взаимно пезавнсимы и имеют равномерное распределение в соответствующем питервале, найти пределы, в которых с вероятностью 0,95 паходится суммарная ошибка округления.

?

Задача 6.150

Пусть $\alpha$ — произвольное иррациопальное число. Рассмотрим числа п $\alpha$ , кратные $\alpha$ при $n = 1, \ldots , N$ , и их дробные части $\left\{ n \alpha \right\} = n \alpha -[n \alpha ]$ . Доказать, что дробные доли $\left\{ n \alpha \right\}$ распределены в интервале $[0,1)$ почти равномерно в следующем смысле: для любых $\alpha$ и $\beta , 0 \leqslant \alpha < \beta < 1$ ,

\frac{N(\alpha , \beta )}{N} \rightarrow \beta -\alpha , \quad N \rightarrow \infty ,

где $N(\alpha , \beta )$ — число значений $\left\{ n \alpha \right\}$ , при $n = 1, \ldots , N$ содержащихся в интервале $(\alpha , \beta )$ .

?

Задача 6.151

Пусть действительная случайная величина $\xi$ распределена с плотностью $p(x)$ , у которой существует абсолютно интегрируемая на всей прямой производная $p^{\prime }(x)$ . Рассмотрим десятичное разложение $\xi$ :

\xi = [\xi ]+\frac{a_{1}(\xi )}{10}+\frac{a_{2}(\xi )}{10^{2}}+\ldots +\frac{a_{n}(\xi )}{10^{n}}+\delta ^{(n)}(\xi ),

где $a_{1}, \ldots , a_{n}$ — первые $n$ десятичных знаков, а $\delta^{(n)}(\xi )$ — ошибка округления. Доказать, что случайная величина $\Delta^{(n)} = 10^{n} \delta^{(n)}(\xi )$ имеет при $n \rightarrow \infty$ асимптотически равномерное распределение в интервале $[0,1)$ , т. е. при $n \rightarrow \infty$ и $0 \leqslant \alpha < \beta < 1$

\mathbb {P}\left(\alpha \leqslant \Delta ^{(n)} \leqslant \beta \right) \rightarrow \beta -\alpha .

?

Задача 6.152

Пусть случайные величины $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ при каждом $n$ взаимно независимы и одинаково распределены с функцией распределения $F(x)$ . Определим для каждого действительного $x$ случайную величину $\quad \widehat{F}_{n}(x) = \frac{1}{n} \mu_{n}(x)$ , где $\mu_{n}(x)$ — число $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ , удовлетворяющих неравенству $\xi_{k} < x$ . Доказать, что при каждом $x$

\widehat{F}_{n}(x) \xrightarrow {\mathbb {P}} F(x) .

Будет ли эта сходимость выполняться с вероятностью 1?

$\widehat{F}_{n}(x)$ называется эмпирической функцией распределения для $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ .

?

Задача 6.153

(Продолжение) Обозначим через $\alpha_{k}$ и $\mu_{k}$ соответствующие моменты распределения $\xi_{i}$ :

\begin{aligned} & \alpha _{k} = \mathbb {E}\left[\xi ^{k}\right] = \int _{-\infty }^{+\infty } x^{k} d F(x) \\ & \mu _{k} = \mathbb {E}\left[\left(\xi -\mathbb {E}\left[\xi \right]\right)^{k}\right] = \int _{-\infty }^{+\infty }\left(x-\alpha _{1}\right)^{k} d F(x) \end{aligned}

Рассмотрим случайные величины

a_{1}^{(n)} = \frac{1}{n} \sum _{i = 1}^{n} \xi _{i}, \quad m_{2}^{(n)} = \frac{1}{n} \sum _{i = 1}^{n}\left(\xi _{i}-a_{1}^{(n)}\right)^{2}

Показать, что при $n \rightarrow \infty$ и $\varepsilon > 0$

\mathbb {P}\left(\left|a_{1}^{(n)}-\alpha _{1}\right| > \varepsilon \right) \rightarrow 0, \quad \mathbb {P}\left(\left|m_{2}^{(n)}-\mu _{2}\right| > \varepsilon \right) \rightarrow 0.

Случайные величины $a_{1}^{(n)}$ и $m_{2}^{(n)}$ называются, соответственно, выборочным средним и выборочной дисперсией, а утверядаемое свойство их — состоятельностью.

?

Задача 6.154

(Продолжение) Доказать следующие утверждения. Если $\alpha_{2} < \infty$ , то при $n \rightarrow \infty$ величина $a_{1}$ асимптотически нормальна с параметрами $\left(\alpha_{1}, \frac{\alpha_{2}-\alpha_{1}^{2}}{n}\right)$ .

Если $\mu_{4} < \infty$ , то при $n \rightarrow \infty$ величина $m_{2}$ асимптотически нормальна с параметрами $\left(\mu_{2}, \frac{\mu_{4}-\mu_{2}^{2}}{n}\right)$ .

Если $\alpha_{2 k} < \infty$ , то при $n \rightarrow \infty$ величина $a_{k}$ асимптотически нормальна с параметрами $\left(\alpha_{k}, \frac{\alpha_{2 k}-\alpha_{k}^{2}}{n}\right)$ .

?

Задача 6.155

(метод Монте-Карло статистических испытаний)Вычисление интеграла $I = \int_{0}^{1} f(x) d x$ можно описать следующим образом. Пусть случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0,1]$ . Тогда

\mathbb {E}\left[f(\xi )\right] = \int _{0}^{1} f(x) d x = I

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ взаимно независимы и равномерно распределены на $[0,1]$ . Рассмотрим $\bar{f}_{n} = \frac{1}{n}\left[f\left(\xi_{1}\right)+\ldots +f\left(\xi_{n}\right)\right]$ и предположим, что $\sigma^{2} = \operatorname {Var}\left[\bar{f}_{n}\right] \leqslant C$ . Показать, что $\mathbb {E}\left[\bar{f}_{n}\right] = I$ и $\bar{f}_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} I, n \rightarrow \infty$ . Оценить $\mathbb {P}\left(\left|\bar{f}_{n}-I\right| < \varepsilon \right)$ для произвольного $\varepsilon > 0$ с помощью центральной предельной теоремы.

?

Задача 6.156

(теорема Вейерштрасса)Пусть $f(x)$ — непрерывная функция на отрезке $[0,1]$ . Пусть последовательность случайных величин $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ соответствует схеме Бернулли с вероятностью успеха $\mathbb {P}\left(\xi_{i} = 1\right) = x, 0 < x < 1$ , и $S_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Введем многочлены

B_{n}(x) = \mathbb {E}\left[f\left(\frac{S_{n}}{n}\right)\right] = \sum _{m = 0}^{n} f\left(\frac{m}{n}\right) C_{n}^{m} x^{m}(1-x)^{n-m} .

Доказать, что при $n \rightarrow \infty$

\sup _{0 \leqslant x \leqslant 1}\left|f(x)-B_{n}(x)\right| \rightarrow 0.

(Многочлены $B_{n}(x)$ называются многочленами Бернштейна.)

?

Задача 6.157

Рассмотрим двончное разложение числа $\xi \in [0,1)$

\xi = \frac{\xi _{1}}{2}+\frac{\xi _{2}}{2^{2}}+\ldots +\frac{\xi _{n}}{2^{n}}+\ldots

(с бесконечным числом нулей). Тогда по отношению к лебеговой мере знаки двоичного разложения $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с $\mathbb {P}\left(\xi_{i} = 1\right) = \mathbb {P}\left(\xi_{i} = 0\right) = 1 / 2$ .

Доказать, что для почти всех чисел $\xi \in [0,1)$ доля единиц и нулей в двоичном разложении $\xi$ с вероятностью 1 стремится к $1 / 2$ :

\frac{1}{n} \sum _{h = 1}^{n} I_{\left(\xi _{h} = 1\right)} \rightarrow \frac{1}{2} .

?

Предельные теоремы теории вероятностей