Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \xi$ и $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \eta$. Доказать, что $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 1$.

Доказать, что если $\xi_{n}-a_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ и $\xi_{n}-b_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$, где $a_{1}, a_{2}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, \ldots$ — две последовательности вещественных чисел, то $a_{n}-b_{n} \rightarrow 0$.

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \xi$ и $\eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \eta$. Доказать, что:

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, причем $\xi_{n}$ принимает значения $e^{-a n}$ и $e^{a n}$ с вероятностями $1-e^{-b n}$ и $e^{-b n}(b \geqslant 0)$ соответственно. При каких значениях а и $b \xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$ ?

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, таких, что $\mathbb {P}\left(\left|\xi_{n}\right| \geqslant c > 0\right) \geqslant \delta > 0, n = 1,2, \ldots$. Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots$ последовательность вещественных чисел, такая, что $a_{n} \xi_{n} \rightarrow 0$. Доказать, что $a_{n} \rightarrow 0$.

Пусть $\xi_{n}-a_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$. Доказать, что $m \xi_{n}-a_{n} \rightarrow 0$ ($m \xi_{n}$ — медиана $\xi_{n}$).

Доказать, что для того, чтобы последовательность случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ сходилась по вероятности $\kappa$ некоторой случайной величине $\xi$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon > 0$ существовало такое $N$, что при $n, m \geqslant N$

Пусть $\quad \xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \xi , \eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \eta$ и $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 1$. Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$

при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $\left(\xi_{n}-\xi \right)^{2} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$. Доказать, что $\xi_{n}^{2} \xrightarrow {\mathbb {P}} \xi^{2}$.

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} a$ и пусть $f(x)$ — борелевская функция, имеющая производную в точке $x = a$. Доказать, что

где $\eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$.

Доказать, что если последовательность случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ почти наверное сходится, то функция $\xi (\omega )$, равная $\lim_{n \rightarrow \infty } \xi_{n}$, если этот предел существует, и нулю в противном случае, является случайной величиной.

Пусть $\xi_{n} \rightarrow \xi$ п. н. и $\eta_{n} \rightarrow \eta$ п. н. Доказать, что:

Доказать, что $\xi_{n} \rightarrow \xi$ п. н. тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$

при $n \rightarrow \infty$.

Доказать, что $\xi_{n} \rightarrow \xi$ п. н. тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$

Доказать, что для того, чтобы последовательность случайных величин с вероятностью 1 сходилась к некоторой случайной величине, необходимо и достаточно, чтобы она была с вероятностью 1 фупдаментальной.

Доказать, что для того, чтобы $\xi_{n} \rightarrow \xi$ п. н., необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon > 0$

при $n \rightarrow \infty$.

Доказать, что для того, чтобы последовательность случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ была с вероятностью 1 фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon > 0$

при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $\varepsilon > 0, \xi , \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин. Доказать, что если

то $\xi_{n} \rightarrow \xi$ п. н.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин. Доказать, что если для некоторой суммируемой последовательности положительных чисел $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$

то последовательность $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ с вероятностью 1 сходится $\kappa$ некоторой почти наверное конечной случайной величине.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин. Предположим, что существует случайная величина $\xi$ и подпоследовательность целых положительных чисел $n_{1}, n_{2}, \ldots$, такие, что $\xi_{n_{k}} \rightarrow \xi$ п. н. и

при $k \rightarrow \infty$. Доказать, что тогда $\xi_{n} \rightarrow \xi$ п. н.

Доказать, что если $\xi_{m n} \rightarrow \xi_{m}$ п. н. при $n \rightarrow \infty$ и $\xi_{m} \rightarrow \xi$ п. н. при $m \rightarrow \infty$, то существуют две подпоследовательности $\left\{ m_{k}\right\}$ и $\left\{ n_{k}\right\}$, такие, что $\xi_{m_{k} n_{k}} \rightarrow \xi$ п. н. при $k \rightarrow \infty$.

Доказать, что из сходимости с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности.

Показать, что из сходимости по вероятности не следует сходимость с вероятностью 1.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин. Доказать, что:

Доказать, что для того, чтобы для некоторого вероятностного пространства понятия сходимости с вероятностью 1 и сходимости по вероятности совпадали, необходимо и достаточно, чтобы это пространство было атомическим.

Пусть $\mathscr {F}$ — пространство классов случайных величин, совпадающих с вероятностью 1. Для любых двух классов $\Xi , H \in \mathscr {F}$ положим

где $\xi$ и $\eta$ — случайные величины из $\Xi$ и Н соответственно. Доказать, что $d$ — метрика на $\mathscr {F}$ и что сходимость по вероятности эквивалентна сходимости в метрике $d$.

Доказать, что для сходимости последовательности случайных величин в среднем порядка $p \geqslant 1$, необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была фундаментальной в среднем порядка $p$.

Доказать, что из сходимости в среднем какого-либо положительного порядка следует сходимость по вероятности.

Привести пример, показывающий, что из сходимости по вероятности не следует сходимость в среднем порядка $p > 0$.

Привести пример, показывающий, что из сходимости в среднем любого положительного порядка не следует сходимость с вероятностью 1.

Привести пример последовательности случайных величин, сходящейся с вероятностью 1 и такой, что никакая ее подпоследовательность не сходится в среднем порядка $p > 0$.

Доказать, что если $\xi_{n} \rightarrow \xi$ п. н. и для некоторого $p > 0$, $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{n}-\eta \right|^{p}\right] \rightarrow 0$, то $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 1$.

Пусть $\mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \ldots$ — последовательность вероятностных распределений, причем $\mathbf{P}_{n}$ сосредоточено в точке $x_{n}(n = 1,2, \ldots )$. Доказать, что слабая сходимость $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$ означает, что существует предел $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} = x$ и распределение $\mathbb {P}$ сосредоточено в точке $x$. Доказать обратное.

Пусть $\mathbb {P}, \mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \ldots$ — последовательность целочисленных распределений. Доказать, что $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}_{n}\left(k\right) \rightarrow \mathbb {P}\left(k\right)$ для каждого целого $k$.

Пусть $\mathbb {P}$ — мера Лебега на единичном интервале, а $\mathbf{P}_{n}$ приписывает массы $\frac{1}{n}$ некоторым точкам, выбранным по одной в интервалах $\left(\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right), i = 1, \ldots , n$. Доказать, что $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$.

Пусть $F(x), F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ — последовательность функций распределения. Доказать, что если $F_{n}(x) \rightarrow F(x)$ для всех $x$ из некоторого всюду плотного множества на прямой, то $F_{n} \xrightarrow {W} F$.

Привести пример последовательности вероятностных распределений $\mathbb {P}, \mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \ldots$ и ограниченной функции $f(x)$, таких, что $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$, но не выполняется соотношение

Привести пример последовательности вероятностных распределений $\mathbb {P}, \mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \ldots$ и непрерывной функции $f(x)$, таких, что $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$, но не выполняется соотношение

Доказать, что $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$ тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность $\left\{ \mathbf{P}_{n^{\prime }}\right\}$ последовательности $\left\{ \mathbf{P}_{n}\right\}$ содержит подпоследовательность $\left\{ \mathbf{P}_{n^{\prime \prime }}\right\}$, такую, что $\mathbf{P}_{n^{\prime \prime }} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$.

Доказать, что если $F_{n} \xrightarrow {W} F$ и если $F(x)$ непрерывна в каждой точке замкнутого множества $A$, то

Доказать, что $F_{n} \xrightarrow {W} F$ тогда и только тогда, когда

II

Пусть $\mathbb {P}, \mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \ldots$ — последовательность вероятностных распределений. Доказать, что следующие три условия эквивалентны:

1. $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$,

2. для любого замкнутого множества $B$

   $$\limsup _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}_{n}\left(B\right) \leqslant \mathbb {P}\left(B\right),$$

3. для любого открытого множества $G$

   $$\liminf _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}_{n}\left(G\right) \geqslant \mathbb {P}\left(G\right) .$$

Доказать, что для того, чтобы $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\mathbb {P}$-непрерывного множества $A$ выполнялось соотношение

($\mathbb {P}$-непрерывным называется борелевское множество, граница которого удовлетворяет условию $\mathbb {P}\left(\partial A\right) = 0$, т. е. имеет вероятность 0).

Пусть $\mathbb {P}, \mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2} \ldots$ — последовательность вероятностных распределений и пусть для любой ограниченной равномерно непрерывной функции $f(x)$

Доказать, что $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$.

Пусть $\mathbb {P}, \mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \ldots$ — последовательность вероятностных распределений и пусть для любой ограниченной функции $f(x)$, обладающей непрерывными производными любого порядка,

Доказать, что $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$.

Пусть $\xi , \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин. Доказать, что $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi$ тогда и только тогда, когда

для каждой непрерывной функции распределения $F(x)$.

Пусть случайная величина $\eta$ не зависит от случайных величин $\xi , \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и имеет функцию распределения $F(x)$. Доказать, что

тогда и только тогда, когда

Пусть последовательность функций распределения $F_{1}(x)$, $F_{2}(x)$,... слабо сходится к некоторой функции распределения, имеющей по крайней мере две точки роста. Доказать, что последовательность $\left\{ F_{n}\left(a_{n} x+b_{n}\right)\right\}$ слабо сходится к распределению, сосредоточенному в нуле тогда и только тогда, когда $a_{n} \rightarrow \infty$ и $b_{n} = o\left(a_{n}\right)$, $n \rightarrow \infty$.

Пусть $F(x), F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ — последовательность функций распределения, такая, что при некоторых $a_{n}, b_{n} > 0$

Доказать, что если последовательности вещественных чисел $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}, \ldots$ и $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots$ таковы, что

то имеет место сходимость

Пусть $\mathbb {P}, \mathbf{P}_{1}, \mathbf{P}_{2}, \ldots$ — последовательность абсолютно непрерывных вероятностных распределений, $p(x), p_{1}(x), p_{2}(x), \ldots$ — соответствующие плотности. Доказать, что если $p_{n}(x) \rightarrow p(x), n \rightarrow \infty$, равномерно на любом конечном отрезке, то $\mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$. Верно ли обратное?

Пусть $\mathbf{R}_{n} \xrightarrow {W} \mathbf{R}, \mathbf{P}_{n} \xrightarrow {W} \mathbb {P}$ и $\mathbf{R}_{n} = \mathbf{P}_{n} * \mathbf{Q}_{n}$. Доказать, что существует распределение $\mathbf{Q}$, такое, что $\mathbf{R} = \mathbb {P} * \mathbf{Q}$.

Являются ли относительно компактными следующие семейства вероятностных распределений:

Указать, какие из семейств вероятностных распределений, приведепных в предыдущей задаче, являются плотными

(теорема Ю. В. Прохорова)Доказать, что семейство распределений на прямой является относительно компактным тогда и тольне тогда, когда оно является плотным.

Доказать, что множество всех распределений, математическое ожидание которых равно $a$, а дисперсия $\sigma^{2}$, является относительно компактным.

Доказать, что семейство нормальных распределений является плотным тогда и только тогда, когда равномерно ограничены математические ожидания и дисперсии элементов этого семейства.

Доказать, что счетное семейство вероятностных мер плотно тогда и только тогда, когда соответствующие функции распределения удовлетворяют соотношениям

равномерно по $n$.

Доказать, что слабая сходимость распределений эквивалентна сходимости в метрике Леви (определение см. во введении к гл. 3)

Пусть совместное распределение $\xi_{n}$ и $\eta_{n}$ слабо сходится к совмеетному распределению $\xi$ и $\eta$. Доказать, что распределение $\xi_{n}+\eta_{n}$ слабо сходится к распределению $\xi +\eta$.

Доказать, что из сходимости по вероятности следует сходимость по распределению.

Привести пример, показывающий, что из сходимости по распределению не следует сходимость по вероятности.

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {D} a$, где $a$ — постоянная. Доказать, что $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} a$.

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi$. Верно лп, что $\xi_{n}-\xi \xrightarrow {D} 0$ ?

Доказать, что если $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi$ и $\eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$, то:

Доказать, что если $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi ,\left|\xi_{n}-\eta_{n}\right| \leqslant \zeta_{n}\left|\xi_{n}\right|$ и $\zeta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$, то $\eta_{n} \xrightarrow {D} \xi$.

Доказать, что если $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi ,\left|\xi_{n}-\eta_{n}\right| \leqslant \zeta_{n}\left|\eta_{n}\right|$ и $\zeta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$, то $\eta_{n} \xrightarrow {D} \xi$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — такая последовательность случайных величин, что

Что можно сказать о последовательности функций распределения

Пусть функция $f(x)$ имеет производную в точке $x = 0$. Доказать, что если $\xi_{n} \eta_{n} \xrightarrow {D} \eta$ и $\eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$, то

Пусть функции $f(x), f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots$ имеют непрерывные производные, причем $f_{n}^{\prime }(x) \rightarrow f^{\prime }(x)$ равномерно по $x$. Доказать, что если $\xi_{n} \eta_{n} \xrightarrow {D} \eta$ и $\eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} 0$, то

Пусть $\xi , \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, определенных на вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$), причем при каждом $\omega \in \Omega \xi_{n}(\omega ) \rightarrow \xi (\omega )$ при $n \rightarrow \infty$. Примером покажите, что $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right]$ не обязано сходиться к $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ даже в том случае, когда все эти математические ожидания существуют.

Привести пример, показывающий, что из сходимости по вероятности не вытекает сходимость математических ожиданий.

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi$. Привести пример, когда $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right]$ существуют, а $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ — нет, и наоборот.

Пусть последовательность случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ сходится в среднем квадратическом к случайной величине $\xi$, причем $\mathbb {E}\left[\left|\xi_{n}\right|\right] < \infty , n = 1,2, \ldots$ Доказать, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] < \infty$ и

Пусть последовательность функций распределения $F_{1}(x)$, $F_{2}(x), \ldots$ слабо сходится к функции распределения $F(x)$. Обозначим $\sigma_{n}^{2}$ и $\sigma^{2}$ дисперсии распределений $F_{n}$ и $F$ соответственно ($n = 1,2, \ldots$). Доказать, что

Пусть $F(x), F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ — последовательность функций распределения с математическими ожиданиями $a, a_{1}, a_{2}, \ldots$ и дисперсиями $\sigma^{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \ldots$ соответственно. Доказать, что если $F_{n} \xrightarrow {W} F$ и $\sigma_{n}^{2} \rightarrow \sigma^{2}$, то $a_{n} \rightarrow a$.

Пусть последовательность функций распределения $F_{1}(x)$, $F_{2}(x), \ldots$ с дисперсиями $\sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \ldots$ слабо сходится к функции распределения $F(x)$ с дисперсией $\sigma^{2}$, причем последовательность $\sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \ldots$ сходится к некоторому конечному пределу $b$. Обязано ли выполняться равенство $b = \sigma^{2}$ ?

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi$. Доказать, что

Последовательность случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ равномерно интегрируема. Доказать, что

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин. Доказать, что если при некотором $\varepsilon > 0$

то последовательность $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ равномерно интегрируема.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин и пусть существует случайная величина $\eta$, такая, что

и для любого $a > 0$ и всех $n$

Доказать, что последовательность $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ равномерно интегрируема.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — равномерно интегрируемая последовательность случайных величин и пусть $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right] \rightarrow \rightarrow$ Eg.

Пусть $\xi , \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность неотрицательных случайных величин с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что если $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi$ и $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right]$, то последовательность $\xi_{1}$, $\xi_{2}$,... равномерно интегрируема.

Доказать, что последовательность случайных величин $\xi_{1}$, $\xi_{2}, \ldots$ равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда

и для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta$, такое, что при всех $n$ из неравенства $\mathbb {P}\left(E\right) \leqslant \delta$ следует

Пусть $\xi , \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин и

при $n \rightarrow \infty$. Обязана ли иметь место сходимость

8 А. в. Прохоров и др.

Изменится ли ответ в предыдущей задаче, если дополнительно известно, что $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \xi$?

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, $f(x)$ — положительная измеримая функция, удовлетворяющая условию

Доказать, что если

то последовательность $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ равномерно интегрируема.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин. Доказать, что если последовательность $\left|\xi_{1}\right|^{r},\left|\xi_{2}\right|^{r}, \ldots (r > 0)$ равномерно интегрируема, то для любого $0 < r^{\prime } < r$ равномерно интегрируема последовательность $\left|\xi_{1}\right|^{r^{\prime }},\left|\xi_{2}\right|^{r^{\prime }}, \ldots$

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {D} \xi$ и для некоторого $r > 0$

Доказать, что

для любого положительного $r^{\prime } < r$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, причем $\xi_{n}$ принимает значения $n^{\alpha }$ и 0 с вероятностями $1 / n$ и $1-1 / n$ соответственно ($n = 1,2, \ldots$). Исследовать сходимость последовательностей $\left\{ \xi_{n}\right\}$ (по вероятности) и $\left\{ E\left|\xi_{n}\right|^{r}\right\}$ в зависимости от выбора а и г.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность неотрицательных случайных величин, таких, что $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \xi$ и $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right] < \infty$. Доказать, что $E\left|\xi_{n}-\xi \right| \rightarrow 0$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ — две последовательности случайных величин, такие, что $\mathbb {P}\left(\xi_{n} \geqslant \eta_{n} \geqslant 0\right) = 1, \quad \xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \xi_{,} \eta_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \eta$ и $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right]$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\left|\eta_{n}-\eta \right|\right] \rightarrow 0$.

Пусть $\xi_{n} \rightarrow \xi$ в среднем порядка $r > 0$ :

при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, такая, что для некоторого $p > 0$

Доказать, что $\xi_{n} \rightarrow 0$ п. н.

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \xi$ и

Доказать, что последовательность $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — равномерно интегрируема и

Пусть $\xi_{n} \xrightarrow {\mathbb {P}} \xi$ и

Доказать, что

Доказать, что если последовательность $\left|\xi_{1}\right|^{0},\left|\xi_{2}\right|^{0}, \ldots$ равномерно интегрируема при некотором $\delta > 0$, то последовательность распределений случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ плотна.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ — две последовательности положительных случайных величин. Могут ли существовать положительные числа $\alpha$ и $\beta$, такие, что

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность неотрицательных случайных величин с функциями распределения $F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ и с конечными математическими ожиданиями. Будем говорить, что эта последовательность сходится к нулю по Хинчину, если для любого $x > 0$