Банк задач по математике

Задача 4.1

Пусть $\xi$ — неотрицательная целочисленная случайная величина с производящей функцией $\varphi (z)$ . Найти производящие функции случайных величин $\xi +n$ и $n \xi$ ( $n$ — целое неотрицательное число) . 6 А. В. Іпохоров и др.

?

Задача 4.2

Найти распределения, которым соответствуют следующие производящие функции:

?

(а)

$\frac{1}{4}(1+z)^{2}$ ;

(б)

$p(1-q z)^{-1}, p, q > 0, p+q = 1$ ;

(в)

$e^{\lambda (z-1)}, \lambda > 0$ ;

(г)

$(p+q z)^{n}$ ;

(д)

$\frac{2 e}{e^{2}-1} \operatorname {ch} z$ ;

(е)

$\left(1+\frac{1-z}{z} \ln (1-z)\right)$ .

Задача 4.3

Найти распределение, отвечающее производящей функции $\varphi (z)$ , если $\varphi \left(\frac{1}{2^{n}}\right) = \frac{1}{2^{n}}, n = 1,2, \ldots$

?

Задача 4.4

Доказать, что функция $\varphi (z) = \left|z\right|$ не может быть производящей функцией вероятностного распределения.

?

Задача 4.5

Пусть $\xi$ — случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения, $\varphi (z)$ — ее производящая функция. Доказать, что

\mathbb {P}\left(\xi = 0\right) = \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{n} \sum _{k = 1}^{n} \varphi \left(a_{k}\right)

где $\left|a_{k}\right| \leqslant 1, \quad a_{k} \rightarrow 0$ при $k \rightarrow \infty$ .

?

Задача 4.6

Пусть $\xi$ — случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения, $\varphi (z)$ — ее производящая функция. Доказать, что $\mathbb {P}\left(\xi = 0\right) = 0$ тогда и только тогда, когда сходится ряд

\sum _{n = 1}^{\infty } \varphi \left(\frac{1}{2^{n}}\right) .

?

Задача 4.7

При каких значениях параметров дробно-линейная функция $\varphi (z) = \frac{a+b z}{c+d z}$ является производящей функцией вероятностного распределения?

?

Задача 4.8

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, причем $\xi$ принимает значения 0 и 1 с вероятностями $1 / 2$ каждое, а $\eta$ — значения 0,1 , 2,3 с вероятностями $1 / 8,1 / 4,1 / 2$ и $1 / 8$ соответственно. Доказать, что не существует случайной величины $\zeta$ , не зависящей от $\xi$ и такой, что $\xi +\zeta = \eta$ .

?

Задача 4.9

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, причем $\xi$ принимает значения $0,1,2$ с вероятностями $1 / 2,1 / 4,1 / 4$ , а $\eta$ — значения 0,1 , $2,3,4$ с вероятностями $6 / 10,1 / 10,1 / 10,1 / 10,1 / 10$ соответственно. Доказать, что не существует случайной величины $\zeta$ , не зависящей от $\xi$ и такой, что $\xi +\zeta = \eta$ .

?

Задача 4.10

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем $\xi +\eta$ принимает значения $0,1,2$ с вероятностями $1 / 3$ каждое. Доказать, что одна из величин $\xi$ и $\eta$ имеет вырожденное распределение.

?

Задача 4.11

Пусть $F(x), F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ — последовательность функций распределения неотрицательных целочисленных случайных величин, $\varphi (z), \varphi_{1}(z), \varphi_{2}(z), \ldots$ — соответствующие им производящие функции. Доказать, что если $\varphi_{n}(z) \rightarrow \varphi (z)$ при $n \rightarrow \infty$ , то $F_{n}(x) \rightarrow \rightarrow F(x)$ равномерно по $x$ .

?

Задача 4.12

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $F(x)$ — функция распределения $\xi_{1}$ , и пусть $v$ — положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и имеющая производящую функцию $\varphi (z)$ . Доказать, что функция распределения случайной величины $\max \left\{ \xi_{1}, \ldots , \xi_{v}\right\}$ равна $\varphi (F(x))$ .

?

Задача 4.13

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция случайной величины $\xi$ , а и $b$ — вещественные числа. Найти характеристическую функцию случайной величины $a \xi +b$ .

?

Задача 4.14

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция случайной величины $\xi$ . Найти характеристическую функцию случайной величины $-\xi$ .

?

Задача 4.15

Доказать, что характеристическая функция четна тогда и только тогда, когда соответствующая функция распределения $F(x)$ удовлетворяет соотношению

F(x) = 1-F(-x-0) .

?

Задача 4.16

Доказать, что характеристическая функция вещественна тогда и только тогда, когда она четна.

?

Задача 4.17

Доказать, что четная характеристическая функция $\varphi (t)$ представима в виде

\varphi (t) = \int _{-\infty }^{\infty } \cos t x d F(x)

где $F(x)$ — соответствующая функция распределения.

?

Задача 4.18

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые, одинаково распределенные случайные величины с характеристической функцией $f(t)$ . Найти характеристическую функцию случайной величины $\xi -\eta$ .

?

Задача 4.19

(а)(б)

Доказать, что следующие функции не могут быть характеристическими:

?

(а)

$e^{-i\left|t\right|}$ ;

(б)

$a_{1} \cos t+\ldots +a_{n} \cos n t+b_{1} \sin t+\ldots +b_{n} \sin n t, b_{1} \cdot \ldots \cdot b_{n} \neq 0$ , где все $a_{i}$ и $b_{i}$ — вещественные числа.

Задача 4.20

Доказать, что характеристическая функция любого распределения равномерно непрерывна на всей вещественной прямой.

?

Задача 4.21

Является ли функция $\cos t^{2}$ характеристической?

?

Задача 4.22

(а)(б)(в)

На вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {A}, P)$ , представляющем собой отрезок $[0,1]$ с $\sigma$ -алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, определена случайная величина $\xi (\omega )$ . Найти ее характеристическую функцию, если:

?

(а)

$\xi (\omega ) = \begin{cases} 2 \omega , & \quad 0 \leqslant \omega \leqslant 1 / 2 \\ 2 \omega -1, & \quad 1 / 2 < \omega \leqslant 1 ; \end{cases}$

(б)

$\xi (\omega ) = \ln \omega , \quad \xi (0) = 0$ ;

(в)

$\xi (\omega ) = \begin{cases} 1, & 0 \leqslant \omega \leqslant 1 / 3 \\ 0, & 1 / 3 < \omega < 2 / 3 \\ 1, & 2 / 3 \leqslant \omega \leqslant 1. \end{cases}$

Задача 4.23

Найти характеристическую функцию, отвечающую плотности распределения $\frac{1}{\pi \operatorname {ch} x},-\infty < x < \infty$ .

?

Задача 4.24

Найти характеристические функции следующих распределений:

?

(а)

равномерного распределения на отрезке $[a, b]$ ;

(б)

биномиального распределения;

(в)

распределения Пуассона;

(г)

распределения Коши;

(д)

показательного распределения;

(е)

нормального распределения;

(ж)

геометрического распределения;

(з)

отрицательного биномиального распределения.

Задача 4.25

Характеристическая функция суммы двух случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Можно ли утверждать, что слагаемые независимы?

?

Задача 4.26

Пусть $\xi = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ — случайный вектор в $\mathbb {R}^{n}$ , $f\left(t_{1}, \ldots , t_{n}\right)$ — его характеристическая функция, $f_{1}(t), \ldots , f_{n}(t)$ характеристические функции случайных величин $\xi_{1}, \ldots$ , $\xi_{n}$ . Доказать, что для того, чтобы $\xi_{i}, \ldots$ , $\xi_{n}$ были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любого набора вещественных $t_{1}, \ldots , t_{n}$ выполнялось равенство

f\left(t_{1}, \ldots , t_{n}\right) = \prod _{i = 1}^{n} f_{i}\left(t_{i}\right)

?

Задача 4.27

Пусть $\xi = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ — случайный вектор в $\mathbb {R}^{n}$ , $f\left(t_{1}, \ldots , t_{n}\right)$ — его характеристическая функция, $f_{1}(t), \ldots , f_{n}(t)$ характеристические функции случайных величин $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ . Показать, что из равенства

f(t, \ldots , t) = \prod _{i = 1}^{n} f_{i}(t)

для любого вещественного $t$ не следует независимость случайных величин $\xi_{1}, \ldots$ , $\xi_{n}$ .

?

Задача 4.28

Пусть $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ — характеристические функции, $a_{1}, a_{2}, \ldots$ — неотрицательные числа, такие, что $a_{1}+a_{2}+\ldots = 1$ . Доказать, что функция

g(t) = \sum _{i = 1}^{\infty } a_{i} f_{i}(t)

является характеристической функцией.

?

Задача 4.29

Пусть функция $f(t, a), t, a \in R^{1}$ , удовлетворяет следующим условиям:

при каждом фиксированном а $f(t, a)$ является характеристической функцией,
при каждом фиксированном $t f(t, a)$ измерима. Доказать, что для любой функции распределения $F(x)$

g(t) = \int _{-\infty }^{\infty } f(t, a) d F(a)

характеристическая функция.

?

Задача 4.30

Пусть $f(t)$ — произвольная характеристическая функция. Доказать, что функция $2 /(2-f(t))-1$ также является характеристической.

?

Задача 4.31

Пусть $F(x)$ — функция распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что $\operatorname {Re} f(t)$ является характеристической функцией, и найти соответствующую функцию распределения.

?

Задача 4.32

Пусть $F(x)$ — функция распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что $\left|f(t)\right|^{2}$ является характеристической функцией, и найти соответствующую функцию распределения.

?

Задача 4.33

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, каждая из которых имеет несимметричное распределение. Может ли случайная величина $\xi +\eta$ иметь симметричное распределение?

?

Задача 4.34

Пусть $\xi$ — случайная величина с характеристической функцией $f(t)$ и пусть для некоторого а $\mathbb {P}\left(\xi = a\right) > 1 / 2$ . Доказать, что $f(t)$ не обращается в нуль нигде на вещественной прямой.

?

Задача 4.35

Пусть $\xi$ — случайная величина с вещественной характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если $\mathbb {P}\left(\xi = a\right) > 1 / 4$ при некотором $a \neq 0$ , то $f(t)$ обращается в нуль бесконечное число раз.

?

Задача 4.36

Привести пример характеристической функции, обращающейся в нуль, но лишь конечное число раз.

?

Задача 4.37

Найти распределения, которым соответствуют следующие характеристические функции:

?

(а)

$\cos t$ ;

(б)

$\cos^{2} t$ ;

(в)

$e^{-t^{2}}$ ;

(г)

$e^{-\left|t\right|}$ ;

(д)

$\frac{1}{1+t^{2}}$ ;

(е)

$\frac{1}{1-i t}$ ;

(ж)

$\frac{\sin t}{t}$ ;

(з)

$e^{-\left|t\right|} \cos t$ .

Задача 4.38

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $v$ — случайная величина, не зависящая от $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и принимающая целые положительные значения, $p_{k} = \mathbb {P}\left(v = k\right)$ . Пусть $f(t)$ — характеристическая функция $\xi_{1}$ . Найти характеристическую функцию случайной величины $\xi_{1}+\ldots +\xi_{\nu }$ .

?

Задача 4.39

Доказать, что функция

f(t) = \begin{cases} 1-\left|t\right|, & \left|t\right| \leqslant 1 \\ 0, & \left|t\right| > 1 \end{cases}

является характеристической функцией.

?

Задача 4.40

Доказать, что любая четная непрерывная функция выпуклая при $t \geqslant 0$ и такая, что $0 \leqslant f(t) \leqslant 1$ и $f(0) = 1$ , является характеристической функцией.

?

Задача 4.41

Существуют ли две различные характеристические функции, совпадающие на некотором отрезке, содержащем начало координат?

?

Задача 4.42

Доказать, что при любом $0 < \alpha \leqslant 1$ функция

f(t) = \frac{1}{1+\left|t\right|^{\alpha }}

является характеристической функцией.

?

Задача 4.43

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция непрерывного распределения. Доказать, что $\left|f(t)\right| < 1$ при $t \neq 0$ .

?

Задача 4.44

Пусть $\xi$ — случайная величина с симметричным непрерывным распределением. Доказать, что характеристическая функция случайной величины $\max \left\{ 0, \xi \right\}$ нигде не обращается в нуль. Можно ли отказаться от условия непрерывности?

?

Задача 4.45

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределенные целочисленные случайные величины, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что если $0 < \mathbb {P}\left(\xi_{1} \text{ делится на два }\right) < 1$ , то

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\eta _{n} \text{ делится на два }\right) = 1 / 2.

?

Задача 4.46

Пусть $f(t)$ — произвольная характеристическая функция. Доказать, что для любого вещественного $t$ справедливы неравенства:

?

(а)

$1-\operatorname {Re} f(2 t) \leqslant 4(1-\operatorname {Re} f(t))$ ;

(б)

$1-\left|f(2 t)\right|^{2} \leqslant 4\left(1-\left|f(t)\right|^{2}\right)$ ;

(в)

$1-\operatorname {Re} f(2 t) \leqslant 2\left(1-(\operatorname {Re} f(t))^{2}\right)$ ;

(г)

$\quad 1-\left|f(2 t)\right| \leqslant 2\left(1-\left|f(t)\right|^{2}\right)$ ;

(д)

$1-\left|f(2 t)\right| \leqslant 4(1-\left|f(t)\right|)$ .

Задача 4.47

(а)(б)

Доказать, что для любой характеристической функции $f(t)$ и любого целого неотрицательного $n$ справедливы неравенства

?

(а)

$1-\operatorname {Re} f(t) \geqslant \frac{1}{4^{n}}\left(1-\operatorname {Re} f\left(2^{n} t\right)\right)$ ;

(б)

$1-\left|f(t)\right|^{2} \geqslant \frac{1}{4^{n}}\left(1-\left|f\left(2^{n} t\right)\right|^{2}\right)$ .

Задача 4.48

(а)(б)

Доказать, что для любой характеристической функции $f(t)$ и любого целого неотрицательного $n$ справедливы неравенства

?

(а)

$1-\operatorname {Re} f(n t) \leqslant n\left(1-(\operatorname {Re} f(t))^{n}\right) \leqslant n^{2}(1-\operatorname {Re} f(t))$ ;

(б)

$1-\left|f(n t)\right|^{2} \leqslant n\left(1-\left|f(t)\right|^{2 n}\right) \leqslant n^{2}\left(1-\left|f(t)\right|^{2}\right)$ .

Задача 4.49

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция, $c$ и $b$ — положительные постоянные. Доказать, что если $\left|f(t)\right| \leqslant c$ при $\left|t\right| \geqslant b$ , то

\left|f(t)\right| \leqslant 1-\frac{1-c^{2}}{8 b^{2}} t^{2}

при $\left|t\right| \leqslant b$ .

?

Задача 4.50

Характеристическая функция $f(t)$ называется саморазложимой, если для любого $0 < c < 1$ существует характеристическая функция $f_{c}(t)$ , такая, что $f(t) = f(c t) f_{c}(t)$ . Доказать, что саморазложимая характеристическая функция нигде не обращается в нуль.

?

Задача 4.51

Пусть $F(x)$ — функция распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что для любого $t > 0$

1-\operatorname {Re} f(t) \geqslant \frac{2 t^{2}}{\pi ^{2}} \int _{-\pi / t}^{\pi / t} x^{2} d F(x)

?

Задача 4.52

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$ и характеристическими функциями $f(t)$ и $g(t)$ соответственно. Найти характеристическую функцию $\varphi (t)$ случайной величины $\xi \cdot \eta$ .

?

Задача 4.53

Пусть $F(x)$ — функция распределения с характеристической функцией $\varphi (t)$ . Найти $n$ -мерную функцию распределения $G\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ , соответствующую характеристической функции $\psi \left(t_{1}, \ldots , t_{n}\right) = \varphi \left(t_{1}+\ldots +t_{n}\right)$ .

?

Задача 4.54

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая распределение Коши. Могут ли существовать две независимые случайные величины $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ , такие, что $\xi = \xi_{1}+\xi_{2}$ и одна из них имеет равномерное на некотором отрезке распределение?

?

Задача 4.55

Пусть $\xi , \eta$ и $\zeta$ — случайные величины, причем $\zeta$ не зависит от $\xi$ и $\eta$ . Распределения случайных величин $\xi +\xi$ и $\eta +\xi$ совпадают. Можно ли утверждать, что распределения случайных величин $\xi$ и $\eta$ совпадают?

?

Задача 4.56

Пусть $\xi , \eta$ и $\zeta$ — случайные величины, причем $\zeta$ не зависит от $\xi$ и $\eta$ . Доказать, что если распределения случайных величин $\xi +c \zeta$ и $\eta +c \zeta$ совпадают при любом $c > 0$ , то совпадают распределения $\xi$ и п.

?

Задача 4.57

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределенные симметричные случайные величины, причем величины $\xi$ - $\eta$ и $\left|\xi \right|-\left|\eta \right|$ одинаково распределены. Найти распределение $\xi$ .

?

Задача 4.58

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — произвольные функции распределения, $f(t)$ и $g(t)$ — соответствующие характеристические функции. Доказать, что

\int _{-\infty }^{\infty } f(t) d G(t) = \int _{-\infty }^{\infty } g(u) d F(u) .

?

Задача 4.59

Пусть $\varphi (t)$ — характеристическая функция. Доказать, что функция

f(t) = \frac{1}{t} \int _{0}^{t} \varphi (u) d u

тапле является характеристической функцией.

?

Задача 4.60

Пусть $\varphi (t)$ — характеристическая функция. Доказать, что при любом $p > 0$ функция

f(t) = \frac{p}{t^{p}} \int _{0}^{t} \varphi (u) u^{p-1} d u

является характеристической функцией.

?

Задача 4.61

Пусть $g(t)$ — характеристическая функция и $p$ — произвольное положительное число. Доказать, что функция

f(t) = e^{p(g(t)-1)}

является характеристической функцией.

?

Задача 4.62

Пусть последовательность функций распределения $F_{1}(x)$ , $F_{2}(x)$ ,... равномерно на всей прямой сходится к функции распределения $F(x)$ . Можно ли утверждать, что соответствующая последовательность характеристических функций $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ равномерно на всей прямой сходится к характеристической функции распределения $F$ ?

?

Задача 4.63

Пусть $F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ — последовательность функций распределения, $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ — соответствующая последовательность характеристических функций. Доказать, что если $\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}(t) = 1$ для всех $-\varepsilon \leqslant t \leqslant \varepsilon$ , где $\varepsilon > 0$ , то $F_{n}(x)$ слабо сходится при $n \rightarrow \infty$ к вырожденному в нуле распределению.

?

Задача 4.64

Пусть $F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ и $G_{1}(x), G_{2}(x), \ldots$ — две последовательности функций распределения и пусть существует функция распределения $F(x)$ , такая, что обе последовательности $F_{n}$ и $F_{n} * G_{n}$ слабо сходятся к $F$ при $n \rightarrow \infty$ . Доказать, что последовательность $G_{n}$ слабо сходится к вырожденному в нуле распределению.

?

Задача 4.65

Доказать, что последовательность функций распределения $F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ слабо сходится к некоторой функции распределения $F(x)$ тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность характеристических функций $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ сходится к некоторой функции $f(t)$ и эта сходимость равномерна в некоторой окрестности нуля.

?

Задача 4.66

Пусть $F(x), F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ — последовательность функций распределения, $f(t), f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ — соответствующая последовательность характеристических функций. Доказать, что если для любых $a \leqslant b$

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{a}^{b} f_{n}(t) d t = \int _{a}^{b} f(t) d t,

то $F_{n}$ слабо сходится к $F$ .

?

Задача 4.67

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция и для бесконечно возрастающей последовательности $h_{1}, h_{2}, \ldots$ функции $f(t) g\left(h_{n} t\right)$ также являются характеристическими. Доказать, что в этом случае $g(t)$ — характеристическая функция.

?

Задача 4.68

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — функции распределения, $f(t)$ и $g(t)$ — соответствующие характеристические функции. Доказать, что

\sup _{t}\left|f(t)-g(t)\right| \leqslant 2 \operatorname {Var}(F, G) .

?

Задача 4.69

Пусть $f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ — последовательность характеристических функций. Доказать, что следующие два условия эквивалентны:

произведения
$\prod _{i = 1}^{n} f_{i}(t)$
сходятся при $n \rightarrow \infty$ равномерно на каждом компактном подмножестве прямой,
произведения
$\prod _{i = 1}^{n} f_{i}(t)$
сходятся при $n \rightarrow \infty$ к ненулевому пределу на некотором множестве положительной лебеговой меры.

?

Задача 4.70

Доказать, что характеристическая функция $f(t)$ соответствует решетчатому распределению тогда и только тогда, когда существует вещественное число $t_{0} \neq 0$ , такое, что $\left|f\left(t_{0}\right)\right| = 1$ .

?

Задача 4.71

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция. Доказать, что если найдутся $t_{1}$ и $t_{2}$ , такие, что $t_{1} / t_{2}$ иррационально и $\left|f\left(t_{1}\right)\right| = \left|f\left(t_{2}\right)\right| = 1$ , то $\left|f(t)\right| \equiv 1$ .

?

Задача 4.72

Пусть характеристическая функция $f(t)$ равна единице в некоторой точке $t_{0} > 0$ . Доказать, что $t_{0}$ является периодом функции $f(t)$ .

?

Задача 4.73

Привести пример решетчатого распределения, характеристическая функция которого непериодична.

?

Задача 4.74

Пусть решетчатое распределение сосредоточено на некотором подмножестве множества точек $a k, k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ Доказать, что характеристическая функция такого распределения периодична.

?

Задача 4.75

Доказать, что характеристическая функция любого решетчатого распределения представима в виде $e^{i t a} f(t)$ , где $f(t)$ — периодическая функция, а $a$ — вещественное число.

?

Задача 4.76

Может ли вещественная часть характеристической функции быть периодической функцией, а мнимая — нет?

?

Задача 4.77

Пусть $u(t)$ — вещественная часть некоторой характеристической функции, а $v(t)$ — мнимая часть некоторой другой характеристической функции. Будет ли, вообще говоря, функция $u(t) + i v(t)$ характеристической?

?

Задача 4.78

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция чисто дискретного распределения. Доказать, что

\limsup _{\left|t\right| \rightarrow \infty }\left|f(t)\right| = 1

?

Задача 4.79

Доказать, что плотность распределения, отвечающая абсолютно интегрируемой характеристической функции, непрерывна.

?

Задача 4.80

Доказать, что дифференцируемая в нуле характеристическая функция непрерывно дифференцируема на всей прямой.

?

Задача 4.81

Доказать, что функция

f(t) = \begin{cases} 1-t^{2}, & \left|t\right| < 1 \\ 0, & \left|t\right| \geqslant 1 \end{cases}

не может быть характеристической функцией.

?

Задача 4.82

Пусть $\xi$ — случайная величина с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если для некоторого целого положительного $n \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{n}\right] < \infty$ , то $f(t) n$ раз дифференцируема и

\left|f^{(n)}(t)\right| \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{n}\right]

?

Задача 4.83

Доказать, что характеристическая функция случайной величины $\xi$ с распределением

\mathbb {P}\left(\xi = 2 k\right) = \mathbb {P}\left(\xi = -2 k\right) = \frac{c}{k^{2} \ln k}, \quad k = 2,3, \ldots

дифференцируема в нуле, но $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ не существует.

?

Задача 4.84

Пусть $\xi$ — случайная величина с характеристической функцией $f(t)$ и с конечным математическим ожиданием. Доказать, что

\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] = \frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty } \frac{1-\operatorname {Re} f(t)}{t^{2}} d t

?

Задача 4.85

При каких вещественных $\propto$ функция

f(t) = \begin{cases} 1-\left|t\right|^{\alpha }, & \left|t\right| \leqslant 1 \\ 0, & \left|t\right| > 1 \end{cases}

является характеристической, а при каких — нет?

?

Задача 4.86

Является ли функция $e^{-t^{4}}$ характеристической функцией?

?

Задача 4.87

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция случайной величины, имеющей конечную дисперсию. Доказать, что при достаточно малом $\varepsilon > 0$ функция $\left|f(t)\right|$ не возрастает при $0 < t < \varepsilon$ и не убывает при $-\varepsilon < t < 0$ .

?

Задача 4.88

(а)(б)

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция симметричного распределения, $a_{k}$ — соответствующий момент порядка $k$ . Доказать, что:

?

(а)

$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f^{(2 q-1)}(t)}{t} = (-1)^{q} a_{2 q}$ ;

(б)

$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f^{(2 q)}(t)-f^{(2 q)}(0)}{t^{2}} = \frac{(-1)^{q+1}}{2} a_{2 q+2}$ .

Задача 4.89

Пусть $f_{1}(t)$ и $f_{2}(t)$ — характеристические функции симметричиых распределений и для некоторых положительных $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ в некоторой окрестности нуля выполняется равенство

f_{1}^{\alpha _{1}}(t) f_{2}^{\alpha _{2}}(t) = e^{-t^{2}}

Доказать, что распределения, отвечающие характеристическим функциям $f_{1}(t)$ и $f_{2}(t)$ имеют конечные дисперсии.

?

Задача 4.90

Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Доказать, что распределения, отвечающие характеристическим функциям $f_{1}(t)$ и $f_{2}(t)$ , имеют моменты всех порядков.

?

Задача 4.91

Выразить первые четыре семиинварианта случайной величины через математическое ожидание и центральные моменты.

?

Задача 4.92

Доказать, что при линейном преобразовании $\xi^{\prime } = a \xi +b$ случайной величины $\xi$ ее семиинварианты изменяются по закону $x_{1}^{\prime } = a x_{1}+b, x_{n}^{\prime } = a^{n} x_{n} \quad (n > 1)$ .

?

Задача 4.93

Доказать, что для любой случайной величины $\xi$ и любого $u > 0$

\mathbb {P}\left(\left|\xi \right| > 2 / u\right) \leqslant \frac{1}{u} \int _{-u}^{u}(1-\varphi (t)) d t

где $\varphi (t)$ — характеристическая функция $\xi$ .

?

Задача 4.94

Пусть $\xi$ — случайная величина с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если $1-f(t) = o\left(\left|t\right|^{\alpha }\right)$ при $t \rightarrow 0$ , то $\mathbb {P}\left(\left|\xi \right| > x\right) = o\left(x^{-\alpha }\right)$ при $\quad x \rightarrow \infty$ .

?

Задача 4.95

Пусть $\xi$ — случайная величина с вещественной характеристической функцией $f(t)$ и дисперсией $\sigma^{2}$ . Доказать, что

f(t) \geqslant 1-\frac{t^{2} \sigma ^{2}}{2}

?

Задача 4.96

Пусть $\xi$ — случайная величина с характеристической функцией $f(t)$ и дисперсией $\sigma^{2}$ . Доказать, что если $t_{0}$ — наименьший положительный корень $f(t)$ , то $t_{0} \geqslant 1 / \sigma$ .

?

Задача 4.97

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция распределения, имеющего конечную дисперсию. Доказать, что существуют положительные постоянные $c$ и $\varepsilon$ , такие, что

\left|f(t)\right| \geqslant e^{-c t^{2}}

при $\left|t\right| \leqslant \varepsilon$ .

?

Задача 4.98

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция случайной величины, имеющей конечное математическое ожидание. Доказать, что найдутся положительные постоянные $c$ и $\varepsilon$ , такие, что

\left|f(t)\right| \geqslant e^{-c\left|t\right|}

при $\quad \left|t\right| \leqslant \varepsilon$ .

?

Задача 4.99

Доказать, что для характеристической функции $f(t)$ любой невырожденной случайной величины $\xi$ существуют положительные постоянные $\delta$ и $\varepsilon$ , такие, что

\left|f(t)\right| \leqslant 1-\varepsilon t^{2}

при $\left|t\right| \leqslant \delta$ .

?

Задача 4.100

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция. Доказать, что если $f(t) = 1+w(t)+o\left(t^{2}\right)$ при $t \rightarrow 0$ , где $w(t) = -w(-t)$ , то $f(t) = 1$ .

?

Задача 4.101

Пусть $\xi$ — ограниченная случайная величина, $\left|\xi \right| \leqslant c$ , имеющая симметричное распределение с характеристической функцией $f(t)$ и дисперсией $\sigma^{2}$ . Доказать, что

0 \leqslant f(t) \leqslant e^{-\frac{4}{\pi ^{2}} \sigma ^{2} t^{2}}

при $\left|t\right| \leqslant \frac{\pi }{2 c}$ .

?

Задача 4.102

Пусть $\xi$ — ограниченная случайная величина, $\left|\xi \right| \leqslant c$ , с характеристической функцией $f(t)$ и дисперсией $\sigma^{2}$ . Доказать, что

\left|f(t)\right| \leqslant e^{-\frac{4}{\pi ^{2}} \sigma ^{2} t^{2}}

при $\left|t\right| \leqslant \frac{\pi }{4 c}$ .

?

Задача 4.103

Пусть $\xi$ — случайная величина с характеристической функцией $f(t)$ и дисперсией $\sigma^{2}$ . Доказать, что для любого $c < 2 \sigma^{2}$ найдется $\varepsilon > 0$ , такое, что

\left|f(t)\right| \leqslant e^{-c t^{2}}

при $\quad \left|t\right| \leqslant \varepsilon$ .

?

Задача 4.104

Пусть $\xi$ — случайная величина с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если $E\left|\xi \right|^{2} = \infty$ , то для любого $c > 0$ найдется $\varepsilon > 0$ , такое, что

\left|f(t)\right| \leqslant e^{-c t^{2}}

при $\left|t\right| \leqslant \varepsilon$ .

?

Задача 4.105

Пусть $p(x)$ — симметричная одновершинная плотность распределения, $f(t)$ — соответствующая характеристическая функция. Доказать, что если

p(0) \leqslant A < \infty ,

\left|f(t)\right| \leqslant 2 A /\left|t\right|

при любом вещественном $t$ .

?

Задача 4.106

Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Доказать, что

\left|f(t)\right| \leqslant \frac{\sin (t / 2 A)}{t / 2 A}

при $\left|t\right| \leqslant \pi A$ .

?

Задача 4.107

Пусть $F(x)$ — функция распределения, $f(t)$ -соответствующая характеристическая функция. Доказать, что для любого $r > 0$

t^{2} \int _{-r}^{r} x^{2} d F(x) \leqslant 3\left|1-f(t)\right|

при $\left|t\right| \leqslant 1 / r$ .

?

Задача 4.108

(а)(б)(в)

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — случайные величины с характеристическими функциями $f_{1}(t)$ и $f_{2}(t)$ и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ соответственно, причем существует $\varepsilon > 0$ , такое, что $\left|f_{1}(t)\right| > \left|f_{2}(t)\right|$ при $0 < \left|t\right| \leqslant$ в. Может ли быть:

?

(а)

$\sigma_{1} > \sigma_{2}$ ,

(б)

$\sigma_{1} < \sigma_{2}$ ,

(в)

$\sigma_{1} = \sigma_{2}$ ?

Задача 4.109

Доказать, что распределение с дифференцируемой характеристической функцией $f(t)$ имеет конечную дисперсию тогда и только тогда, когда существует $\varepsilon > 0$ , такое, что функция

\frac{f^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)}{t}

ограничена при $0 < \left|t\right| \leqslant \varepsilon$ .

?

Задача 4.110

Пусть $F(x)$ — функция распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если для некоторого положительного $\lambda < 2$ и некоторой последовательности $t_{1}, t_{2}, \ldots$ , такой, что $t_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ , выполнены неравенства

\left|f\left(t_{n}\right)\right| \leqslant e^{-c\left|t_{n}\right|^{\lambda }}

( $c$ — положительная постоянная), то

\int _{-\infty }^{\infty }\left|x\right|^{\delta } d F(x) = \infty

для всех $\delta > \lambda$ .

?

Задача 4.111

Пусть $F(x)$ — функция распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что $F(x)$ имеет конечную дисперсию тогда и только тогда, когда существуют $c > 0$ и последовательность $t_{1}, t_{2}, \ldots$ , такие, что $t_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ и

\left|f\left(t_{n}\right)\right| \geqslant e^{-c t_{n}^{2}}, \quad n = 1,2, \ldots

?

Задача 4.112

Пусть $F(x)$ — функция распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если существует последовательность $t_{1}, t_{2}, \ldots$ такая, что $t_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ и

\frac{\ln \left|f\left(t_{n}\right)\right|}{t_{n}^{2}} \rightarrow 0

при $n \rightarrow \infty$ , то $F(x)$ — вырожденная функция распределения.

?

Задача 4.113

Пусть $\xi$ — неотрицательная случайная величина с плотностью распределения $p(x)$ и характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если $p(x)$ монотонно убывает при $x > 0$ , то $f(t)$ нигде не обращается в нуль.

?

Задача 4.114

Пусть $\xi$ — неотрицательная случайная величина с плотностью распределения $p(x)$ и характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если $p(x)$ монотонно не возрастает при $x \geqslant 0$ , то при $t \geqslant 0$

0 \leqslant \operatorname {Im} f(t) \leqslant \frac{2 p(0)}{t}

?

Задача 4.115

Пусть $F(x)$ — функция распределения, $f(t)$ — соответствующая характеристическая функция. Доказать, что если $f(t)$ абсолютно интегрируема, то $F(x)$ абсолютно непрерывна и соответствующая плотность распределения выражается формулой

p(x) = \frac{1}{2 \pi } \int _{-\infty }^{\infty } e^{-i t x} f(t) d t

?

Задача 4.116

Доказать, что плотность распределения $p(x)$ , отвечающая вещественной интегрируемой характеристической функции $f(t)$ выражается формулой

p(x) = \frac{1}{2 \pi } \int _{-\infty }^{\infty } \cos t x f(t) d t

?

Задача 4.117

Пусть $p(x)$ — плотность распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если $f(t)$ симметрична, положительна и интегрируема, то $p(x)$ имеет единственный максимум. В какой точке он достигается?

?

Задача 4.118

Пусть выполнены условия предыдущей задачи и, кроме того, существует вторая производная $p^{\prime \prime }(x)$ . Доказать, что для любого $x \neq 0$

p(0) > p(x) > p(0)-\frac{x^{2}}{2} p^{\prime \prime }(0) .

?

Задача 4.119

Доказать, что распределение с характеристической функцией

e^{-\left|t\right|^{\alpha }} \quad (0 < \alpha \leqslant 2)

имеет ограниченную плотность.

?

Задача 4.120

Пусть характеристическая функция $f(t)$ такова, что $f(t) = 0$ при $\left|t\right| \geqslant c$ ( $c > 0$ ). Доказать, что соответствующее распределение имеет ограниченную плотность $p(x)$ , причем

\sup _{x} p(x) \leqslant c / \pi .

?

Задача 4.121

(равенство Парсеваля)Пусть $p(x)$ — плотность распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что если функция $p^{2}(x)$ интегрируема, то

\int _{-\infty }^{\infty } p^{2}(x) d x = \frac{1}{2 \pi } \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(t)\right|^{2} d t

?

Задача 4.122

Пусть $\xi$ — целочисленная случайная величина с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что

\mathbb {P}\left(\xi = k\right) = \frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi } e^{-i t k} f(t) d t, \quad k = 0, \pm 1, \ldots

?

Задача 4.123

Пусть $F(x)$ — функция распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что для любого $x$

\lim _{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2 T} \int _{-T}^{T} f(t) e^{-i t x} d t = F(x+0)-F(x-0)

?

Задача 4.124

Пусть $F(x)$ — функция распределения с характеристической функцией $f(t)$ . Доказать, что $F(x)$ непрерывна тогда и только тогда, когда

\lim _{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2 T} \int _{-T}^{T}\left|f(t)\right|^{2} d t = 0

?

Задача 4.125

Пусть $\xi$ — дискретная случайная величина, принимающая значения $x_{1}, x_{2}, \ldots$ с вероятностями $p_{1}, p_{2}, \ldots , f(t)$ — соответствующая характеристическая функция. Доказать, что

\lim _{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2 T} \int _{-T}^{T}\left|f(t)\right|^{2} d t = \sum _{i = 1}^{\infty } p_{i}^{2}

?

Задача 4.126

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция, такая, что

\liminf _{t \rightarrow \infty } \operatorname {Re} f(t) \geqslant a > 0

Доказать, что функция

g(t) = \frac{f(t)-a}{1-a}

является характеристической функцией.

?

Задача 4.127

Доказать, что для любого вещественного $a$ , такого, что $0 \leqslant a \leqslant 1$ , существует характеристическая функция $f(t)$ , удовлетворяющая соотношению

\lim _{t \rightarrow \infty } f(t) = a .

?

Задача 4.128

Пусть $a$ — отрицательное число, $\left|a\right| \leqslant 1$ . Существует ли характеристическая функция $f(t)$ , такая, что

\lim _{t \rightarrow \infty } f(t) = a ?

?

Задача 4.129

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих целые значения, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что если $\xi_{1}$ не постоянна с вероятностью 1, то

\sup _{k} \mathbb {P}\left(\eta _{n} = k\right) \rightarrow 0

при $n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 4.130

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — функции распределения, $f(t)$ и $g(t)$ — соответствующие характеристические функции. Доказать, что

\sup _{x}\left|F(x)-G(x)\right| \leqslant \frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty }\left|\frac{f(t)-g(t)}{t}\right| d t .

?

Задача 4.131

Пусть $f(t)$ и $g(t)$ — абсолютно интегрируемые характеристические функции, $p(x)$ и $q(x)$ — соответствующие плотности распределения. Доказать, что

\sup _{x}\left|p(x)-q(x)\right| \leqslant \frac{1}{2 \pi } \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(t)-g(t)\right| d t .

?

Задача 4.132

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — функции распределения с симметричными плотностями распределения $p(x)$ и $q(x)$ и неотрицательными характеристическими функциями $f(t)$ и $g(t)$ , причем

\sup _{x} p(x) \leqslant A, \quad \sup _{x} q(x) \leqslant B .

Доказать, что для любого положительного $T$

\sup _{x}\left|F(x)-G(x)\right| \leqslant \frac{1}{\pi } \int _{-T}^{T}\left|\frac{f(t)-g(t)}{t}\right| d t+\frac{2(A+B)}{T} .

?

Задача 4.133

Пусть $\xi$ и $\eta$ — целочисленные случайные величины с характеристическими функциями $f(t)$ и $g(t)$ соответственно. Доказать, что

\sup _{n}\left|\mathbb {P}\left(\xi = n\right)-\mathbb {P}\left(\eta = n\right)\right| \leqslant \frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi }\left|f(t)-g(t)\right| d t .

?

Задача 4.134

Пусть $\xi$ — неотрицательная случайная величина, $\varphi (u)$ соответствующее преобразование Лапласа. Найти преобразование Лапласа случайной величины $a \xi +b(a, b \geqslant 0)$ .

?

Задача 4.135

Найти преобразование Лапласа равномерного на отрезке $[0,1]$ распределения.

?

Задача 4.136

Пусть $\varphi_{1}(u), \varphi_{2}(u), \ldots$ — преобразования Лапласа некоторых вероятностных распределений, $a_{1}, a_{2}, \ldots$ — неотрицательные числа, такие, что

\sum _{i = 1}^{\infty } a_{i} = 1.

Доказать, что функция

\varphi (u) = \sum _{k = 1}^{\infty } a_{k} \varphi _{k}(u)

является преобразованием Лапласа некоторого вероятностного распределения.

?

Задача 4.137

Пусть $\varphi (u)$ — преобразование Лапласа некоторого вероятностного распределения. Доказать, что функция

\frac{2}{2-\varphi (u)}-1

также является преобразованием Лапласа.

?

Задача 4.138

Найти преобразование Лапласа распределения, характеристическая функция которого равна

\left(\frac{\sin (t / 2)}{t / 2}\right)^{n} e^{\frac{i t n}{2}} .

?

Задача 4.139

Доказать, что преобразование Лапласа любого невырожденного распределения есть монотонно убывающая функция.

?

Задача 4.140

Доказать, что преобразование Лапласа любого распределения есть выпуклая функция.

?

Задача 4.141

Функция $\varphi (u)$ , определенная на положительной полуоси, называется вполне монотонной, если она имеет цроизводные всех порядков, причем все четные производные неотрицательны, а нечетные — неположительны:

(-1)^{n} \varphi ^{(n)}(u) \geqslant 0, \quad u > 0

Доказать, что преобразование Лапласа любого распределения есть вполне монотонная функция.

?

Задача 4.142

Показать, что каждая из указанных ниже функций не может быть преобразованием Лапласа вероятностного распределения:

?

(а)

$f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leqslant t \leqslant 1, \\ 0, & t > 1 ; \end{cases}$

(б)

$f(t) = \begin{cases} 1-t, & 0 \leqslant t \leqslant 1 ; \\ 0, & t > 1 ; \end{cases}$

(в)

$f(t) = t e^{-t}$ ;

(г)

$f(t) = e^{-t}+\frac{\sin t}{100}$ ;

(д)

$f(t) = e^{-t^{2}}$ .

Задача 4.143

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных неотрицательных случайных величин, $\nu$ положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ Обозначим $\varphi (u)$ преобразование Лапласа $\xi_{1}$ , а $p(s)$ производящую функцию $\nu$ . Найти преобразование Лапласа случайной величины $\xi_{1}+\ldots +\xi_{\nu }$ .

?

Задача 4.144

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие распределение Коши с плотностью

p(x) = \frac{1}{\pi \left(1+x^{2}\right)}

Найти плотность распределения случайной величины

\eta _{n} = \frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{n}

?

Задача 4.145

Пусть $\varphi (t)$ — характеристическая функция. Доказать, что функция

f(t) = \frac{\sin t}{t^{2}} \int _{0}^{t} \varphi (u) d u

является характеристической функцией абсолютно непрерывного распределения.

?

Задача 4.146

Существует ли вероятностное распределение, сосредоточенное на конечном отрезке и такое, что его характеристическая функция отлична от нуля всюду на вещественной прямой.

?

Задача 4.147

(а)(б)

Пусть функции $f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)$ удовлетворяют соотношению

f_{3}(x) = \int _{-\infty }^{\infty } f_{1}(x-u) f_{2}(u) d u

Найти $f_{1}(x)$ , если:

?

(а)

$f_{2}(x) = \frac{1}{\pi \left(1+x^{2}\right)}, \quad f_{3}(x) = \frac{2}{\pi \left(4+x^{2}\right)} ;$

(б)

$f_{2}(x) = e^{-x^{2}}, \quad f_{3}(x) = e^{-x^{2} / 2}$ .

Задача 4.148

Доказать, что интегральное уравнение относительно непзвестной функции $x(t)$

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{x(t) d t}{(y-t)^{2}+1} = e^{-y^{2}}

ме имеет решений в классе неотрицательных функций.

?

Задача 4.149

Доказать, что интегральное уравнение

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{2(1-\cos (y-t))}{(y-t)^{2}} x(t) d t = \frac{1}{2 \pi } \int _{-\infty }^{\infty } e^{-i u y} \max \left\{ 0,(1-\left|u\right|),\left(1-\frac{\left|u\right|}{2}\right)\right\} d u

относительно неизвестной функции $x(t)$ имеет бесконечно много решений в классе неотрицательных функций.

?

Задача 4.150

Существуют ли невырожденные случайные величины $\xi_{1}, \xi_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}$ такие, что $\xi_{1}$ не зависит от $\xi_{2}, \eta_{1}$ не зависит от $\eta_{2}$ , $\mathbb {E}\left[\xi_{i}^{4}\right] < \mathbb {E}\left[\eta_{i}^{4}\right] < \infty , \quad i = 1,2$ , но $\mathbb {E}\left[(\xi_{1}+\xi_{2})^{4}\right] > \mathbb {E}\left[(\eta_{1}+\eta_{2})^{4}\right]$ ?

?

Задача 4.151

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция, у которой существует производная порядка $2 n(n \geqslant 0)$ . Доказать, что функция

f^{(2 n)}(t) / f^{(2 n)}(0)

является характеристической функцией вероятностного распределения.

?

Задача 4.152

Пусть $f(t)$ -характеристическая функция, у которой всюду на вещественной прямой существует производная порядқа $2 n-1$ . Доказать, что распределение, отвечающее характеристической функции $f(t)$ имеет конечный момент порядка $2 n$ тогда и только тогда, когда существует $\varepsilon > 0$ , такое, что функция

\frac{f^{(2 n-1)}(t)-f^{(2 n-1)}(0)}{t}

ограничена при $0 < \left|t\right| < \varepsilon$ .

?

Задача 4.153

Доказать, что функция $f(t)$ , равная $1-\frac{\left|t\right|}{a}$ при $\left|t\right| \leqslant 2 a (a > 0)$ и периодическая с периодом $4 a$ , является характеристической функцией.

?

Задача 4.154

Доказать, что функция $f(t)$ , равная $1-\frac{\left|t\right|}{a}$ при $\left|t\right| \leqslant a (a > 0)$ и периодическая с периодом $2 a$ , является характеристической функцией.

?

Задача 4.155

Привести пример двух различных характеристических функций $\varphi (t)$ и $\psi (t)$ , таких, что $\varphi^{2}(t) = \psi^{2}(t)$ .

?

Задача 4.156

На тележку, стоящую на абсолютно твердой, гладкой и ровной поверхности действуют постоянно во времени две силы: слева $F_{1}$ и справа $F_{2}$ , величины которых являются случайными величинами, распределенными равномерно на отрезках $\left[0, a_{1}\right]$ и $\left[0, a_{2}\right]$ соответственно. Можно ли считать, что силы действуют независимо, если путь, пройденный тележкой за время $t$ , есть случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке $\left[-\frac{a_{2} t^{2}}{2 m}, \frac{a_{1} t^{2}}{2 m}\right]$ , где $m$ -масса тележки? Путь вправо считается положительным, влево — отрицательным.

?

Задача 4.157

Пусть выполнены условия предыдущей задачи, но кроме сил $F_{1}$ и $F_{2}$ на тележку действует еще одна сила $F_{0}$ , величина которой есть случайная величина с неизвестным распределением. Можно ли считать, что силы $F_{0}, F_{1}$ и $F_{2}$ действуют независимо?

?

Задача 4.158

Пусть $\xi$ — случайная величина с симметричным распределением. Положим

\eta = \begin{cases} \xi , & \text{ при }\left|\xi \right| \leqslant c, \\ 0 \text{ при }\left|\xi \right| > c, & \quad c > 0. \end{cases}

Обозначим $f(t)$ и $g(t)$ — характеристические функции соответственно $\xi$ и $\eta$ . Доказать, что найдется $\varepsilon > 0$ , такое, что

f(t) \leqslant g(t)

при $\left|t\right| \leqslant \varepsilon$ .

?

Задача 4.159

Пусть $\xi$ — случайная величина с характеристической функцией $f(t), \mathbb {E}\left[\xi \right] = 0, \operatorname {Var}\left[\xi \right] = \sigma^{2}, \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{3}\right] = \beta$ . Доказать, что существует абсолюгная (не зависящая ни от чего) постоянная $K$ , такая, что

\left|f(t)\right| \leqslant \exp \left\{ -\frac{t^{2} \sigma ^{2}}{2}\left(1-K \frac{\beta }{\sigma ^{2}}\left|t\right|\right)\right\}

для всех вещественных $t$ .

?

Задача 4.160

Пусть $v, \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, причем $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ одинаково распределены, а $v$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$ . Доказать, что если $F(x)$ — функция распределения $\xi_{1}$ , то характеристическая функция случайной величины $\xi_{1}+\ldots +\xi_{\nu }$ равна

\exp \left\{ \lambda \int _{-\infty }^{\infty }\left(e^{i t u}-1\right) d F(u)\right\}

?

Задача 4.161

Пусть $F(x), F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ — последовательность функций распределения, $f(t), f_{1}(t), f_{2}(t), \ldots$ — соответствующая последовательность характеристических функций. Доказать, что если $F_{n}$ сходится к $F$ по вариации при $n \rightarrow \infty$ , то $f_{n}$ сходится к $f$ равномерно на всей прямой.

?

Задача 4.162

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с характеристическими функциями $f(t)$ и $g(t)$ соответственно. Доказать, что

\sup _{t}\left|f(t)-g(t)\right| \leqslant 2 \mathbb {P}\left(\xi \neq \eta \right) .

?

Задача 4.163

Пусть $\xi$ — случайная величина с нулевым математическим ожиданием, дисперсией $\sigma^{2}$ и характеристической функцией $f(t)$ . Положим

\eta = \begin{cases} \xi , & \text{ при } \left|\xi \right| \leqslant c, \\ 0, & \text{ при } \left|\xi \right| > c, \end{cases} \quad c > 0.

Обозначим $g(t)$ характеристическую функцию $\eta$ . Доказать, что

\sup _{t}\left|f(t)-g(t)\right| \leqslant \frac{2 \sigma ^{2}}{c^{2}} .

?

Задача 4.164

Пусть $\xi$ — случайная величина с характеристической функцией $f(t)$ . Степенью рассеивания $\delta_{\text{; }}$ случайной величины $\xi$ называется величина

\delta _{\xi } = -\ln \frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\left|f(u)\right|^{2}}{1+u^{2}} d u

Доказать, что $\delta_{\xi } = 0$ тогда и только тогда, когда $\xi$ есть с вероятностью 1 постоянная.

?

Задача 4.165

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин. Доказать, что $\delta_{\xi_{n}} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ (определение $\delta_{\xi_{n}}$ см. в предыдущей задаче) тогда и только тогда, когда найдется последовательность вещественных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots$ , такая, что $\quad \xi_{n}-a_{n} \xrightarrow {P} 0$ при $n \rightarrow \infty$ .

?

Задача 4.166

Доказать, что при сложении независимых случайных величин степень рассеивания не убывает (определение степени рассеивания см. в задаче 4.164), т. е. если $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, то

\delta _{\xi +\eta } \geqslant \max \left\{ \delta _{\xi }, \delta _{\eta }\right\} .

Показать, что знак равенства при этом может достигаться тогда и только тогда, когда одно из слагаемых есть с вероятностью 1 постоянная.

?

Задача 4.167

Пусть $\psi (t)$ — комплексная функция вещественной переменной, причем

A_{\psi } = \int _{-\infty }^{\infty }\left|\psi (t)\right|^{2} d t < \infty

Доказать, что функция

\varphi (u) = \frac{1}{A_{\psi }} \int _{-\infty }^{\infty } \psi (t+u) \bar{\psi }(t) d t

является характеристической функцией абсолютно непрерывного распределения.

?

Задача 4.168

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция, причем при некотором $\varepsilon > 0 \quad f(t) = e^{-t^{2} / 2}$ для всех $\left|t\right| \leqslant \varepsilon$ . Доказать, что $f(t) = e^{-t^{2} / 2}$ .

?

Задача 4.169

Доказать, что для любых целых положительных $k$ и $n$ , $k \leqslant n$ , справедливо неравенство

\mathrm{C}_{n}^{k} \leqslant 2^{n} \sqrt{\frac{2}{\pi n}}

?

Задача 4.170

Пусть $P$ — равномерное распределение на единичной окружности в $\mathbb {R}^{2}$ ( $P$ , очевидно, сингулярно). Доказать, что свертка $P * P$ абсолютно непрерывна и имеет ограниченную плотность.

?

Задача 4.171

Пусть $n$ -мерный случайный вектор $\xi$ и $m$ -мерный случайный вектор $\eta$ связаны линейной зависимостью $\eta = A \xi +a$ , где $A$ — прямоугольная матрица размером $m \times n$ , $a$ — неслучайный $n$ -мерный вектор. Выразить характеристическую функцию случайного вектора $\eta$ через характеристическую функцию случайного вектора $\xi$ .

?

Задача 4.172

(теорема А. Я. Хинчина) Доказать, что для того, чтобы функция $f(t)$ была характеристической функцией одновершинного распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде

f(t) = \frac{e^{i t a}}{t} \int _{0}^{t} \varphi (u) d u

где $\varphi (u)$ — характеристическая функция, а $a$ — вещественное число.

?

Задача 4.173

Доказать, что функция

\frac{1}{1+\left|t\right|^{\alpha }} \quad (0 < \alpha \leqslant 1)

является характеристической функцией одновершинного распределения.

?

Задача 4.174

Пусть $f(t)$ — характеристическая функция одновершинного распределения. Доказать, что функция

\varphi (t) = f(t)+t f^{\prime }(t)

является характеристической функцией.

?

Задача 4.175

Существует ли нигде не дифференцируемая характеристическая функция?

?

Задача 4.176

Привести пример двух различных характеристических функций $f(t)$ и $g(t) \quad (f(t) \neq g(-t))$ , таких, что

\left|f(t)\right|^{2} = \left|g(t)\right|^{2}

?

Задача 4.177

Привести пример двух различных характеристических функций $f(t)$ и $g(t) \quad (f(t) \neq g(-t))$ , отвечающих ограниченным случайным величинам и таких, что

\left|f(t)\right|^{2} = \left|g(t)\right|^{2}

?

Задача 4.178

Пусть случайный вектор $\xi = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ имеет сферически симметричное распределение (см. определение в задаче 3.300), Доказать, что если случайные величины $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ независимы, то вектор $\xi$ имеет $n$ -мерное нормальное распределение.

?

Аналитические методы теории вероятностей