Банк задач по математике

Задача 3.1

Найти функцию распределения случайной величины $\xi$ , определенной на вероятностном пространстве ( $\Omega , \mathscr {A}$ , Р), представляющем собой отрезок $[0,1]$ с $\sigma$ -алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности, если:

?

(а)

$\xi = \omega$ ;

(б)

$\xi = \omega^{2}$ ;

(в)

$\xi = \omega^{\alpha }, \alpha < 0$ ;

(г)

$\xi = \sin \pi \omega$ ;

(д)

$\xi = \begin{cases} 2 \omega , & 0 \leqslant \omega \leqslant 1 / 2, \\ 2(1-\omega ), & 1 / 2 < \omega \leqslant 1 ; \end{cases}$

(е)

$\xi = \begin{cases} \omega , & 0 \leqslant \omega \leqslant 1 / 3, \\ -1, & 1 / 3 < \omega \leqslant 2 / 3, \\ -\omega^{3}, & 2 / 3 < \omega \leqslant 1 ; \end{cases}$

(ж)

$\xi = \begin{cases} 1 / 4, & 0 \leqslant \omega \leqslant 1 / 4, \\ 1, & 1 / 4 < \omega \leqslant 3 / 4, \\ 1 / 4, & 3 / 4 < \omega \leqslant 1. \end{cases}$

Задача 3.2

(а)(б)(в)

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, определенные на вероятностном пространстве ( $\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$ ), где $\Omega$ — квадрат с вершинами $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), \mathscr {A}$ — $\sigma$ -алгебра борелевских подмножеств $\Omega , \mathbb {P}$ — мера Лебега. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины $\xi +\eta$ , если:

?

(а)

$\xi = \omega_{1}+\omega_{2}, \eta = \omega_{1}-\omega_{2} ;$

(б)

$\xi = \omega_{1}, \eta = \omega_{2} ;$

(в)

$\xi = 1$ при $\omega_{1} = \omega_{2}, \xi = 0$ при $\omega_{1} \neq \omega_{2}, \eta = \omega_{1} \omega_{2}$ .

Являются ли случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимыми?

Задача 3.3

(а)(б)

Пусть случайная величина $\xi$ определена на вероятностном пространстве ( $\Omega , \mathscr {A}, P$ ), где $\Omega$ — треугольник с вершинами в точках $(0,0),(2,1),(2,0), \mathscr {A}$ — $\sigma$ -алгебра борелевских подмножеств указанного треугольника, $\mathbb {P}$ — мера Лебега. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины $\xi$ , если:

?

(а)

$\xi = \omega_{1}$ ;

(б)

$\xi = \omega_{2}$ .

Задача 3.4

(а)(б)

Равнобедренный треугольник образован единичным вектором в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении. Найти функцию распределения длины третьей стороны:

?

(а)

в $\mathbb {R}^{2}$ ;

(б)

в $\mathbb {R}^{3}$ .

Задача 3.5

Окружность единичного радиуса с центром в нуле имеет северный полюс на положительной полуоси абсцисс. Из полюса случайным образом направлен луч, причем его угол с осью абсцисс распределен равномерно на отрезке $\left[-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}\right]$ . Найти функцию распределения длины хорды внутри окружности.

?

Задача 3.6

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно. Найти функции распределения следующих случайных величин:

?

(а)

$\max \left\{ \xi , \eta \right\}$ ;

(б)

$\min \left\{ \xi , \eta \right\}$ ;

(в)

$\max \left\{ 2 \xi , \eta \right\} ;$

(г)

$\min \left\{ \xi^{3}, \eta \right\}$ .

Задача 3.7

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, имеющие одинаковое показательное $с$ параметром $\alpha$ распределение. Найти функции распределения и плотности распределения следующих случайных величин:

?

(а)

$\xi^{3}$ ;

(б)

$\xi -\eta$ ;

(в)

$\max \left\{ \xi , \eta^{3}\right\}$ ;

(г)

$\min \left\{ \xi , \eta^{3}\right\}$ ,

(д)

$3+2 \xi$ ;

(е)

$\left|\xi -\eta \right|$ .

Задача 3.8

Решить предыдущую задачу в предположении, что $\xi$ и $\eta$ равномерно распределены на отрезке $[-1,1]$ .

?

Задача 3.9

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром $\lambda , f(x)$ — положительная строго монотонная дифференцируемая функция. Найти плотность распределения случайной величины $f(\xi )$ .

?

Задача 3.10

(а)(б)(в)

Пусть $\xi , \eta$ и $\zeta$ — независимые случайные величины, причем $\zeta$ принимает значения 1 и 0 с вероятностями $p$ и $q$ соответственно, $p+q = 1$ , а $\xi$ и $\eta$ имеют функции распределения $F(x)$ и $G(x)$ . Найти функции распределения следующих случайных величин:

?

(а)

$\zeta \xi +(1-\zeta ) \eta$ ;

(б)

$\zeta \xi +(1-\zeta )(\max \left\{ \xi , \eta \right\} )$ ;

(в)

$\zeta \xi +(1-\zeta )(\min \left\{ \xi , \eta \right\} )$ .

Задача 3.11

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, $\mathbb {P}\left(\xi_{i} = 1\right) = \mathbb {P}\left(\xi_{i} = -1\right) = 1 / 2, i = 1,2, \ldots , n$ . Найти распределение случайной величины

\eta _{n} = \prod _{i = 1}^{n} \xi _{i} .

?

Задача 3.12

(а)(б)(в)

Можно ли подобрать постоянную $c$ так, чтобы функция $c x^{-3}$ определяла плотность распределения вероятностей на:

?

(а)

луче $[1,+\infty )$ ;

(б)

луче $[0,+\infty )$ ;

(в)

отрезке $[-2,-1]$ .

Задача 3.13

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, $\varphi (x, y)$ — борелевская функция двух переменных. Доказать, что случайные величины $\varphi (\xi , \eta )$ и $\varphi (\eta , \xi )$ одинаково распределены. Можно ли отказаться от условия независимости?

?

Задача 3.14

Пусть $\xi$ — случайная величина с симметричным распределением, $A$ — симметричное относительно нуля борелевское множество на прямой. Положим

\eta = \begin{cases} \xi , & \text{ если } \xi \in A, \\ -\xi , & \text{ если } \xi \notin A . \end{cases}

Доказать, что случайные величины $\xi$ и $\eta$ одинаково распределены.

?

Задача 3.15

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно. Доказать, что если $\mathbb {P}\left(\xi > \eta \right) = 1$ , то $F(x) < G(x)$ при всех $x$ . Верно ли обратное при условии, что $\xi$ и $\eta$ определены на одном вероятностном пространстве?

?

Задача 3.16

(Продолжение) Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — две функции распределения, причем $F(x) < G(x)$ для всех $x$ . Доказать, что существует вероятностное пространство и две случайные величины $\xi$ и $\eta$ , определенные на этом вероятностном пространстве и такие, что $F(x) = \mathbb {P}\left(\xi \leqslant x\right), G(x) = \mathbb {P}\left(\eta \leqslant x\right)$ и $\xi > \eta$ .

?

Задача 3.17

Доказать, что множество точек разрыва любой функции распределения не более чем счетно.

?

Задача 3.18

Может ли множество точек разрыва функции распределения быть всюду плотным на прямой?

?

Задача 3.19

Доказать, что любая функция распределения $F(x)$ может быть представлена в виде

F(x) = a_{1} F_{1}(x)+a_{2} F_{2}(x), \quad a_{1} \geqslant 0, \quad a_{2} \geqslant 0, \quad a_{1}+a_{2} = 1,

где $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ — функции распределения, причем $F_{1}(x)$ непрерывна, и $F_{2}(x)$ — дискретная функция распределения. Доказать, что такое представление единственно.

?

Задача 3.20

Пусть борелевская функция двух переменных $F(x, y)$ при каждом фиксированном $y$ является функцией распределения. Доказать, что если $G(x)$ — функция распределения, то функция

H(x) = \int _{-\infty }^{\infty } F(x, y) d G(y)

также является функцией распределения.

?

Задача 3.21

Функция распределения $F(x)$ случайной величины $\xi$ непрерывна в нуле. Найти распределение случайной величины

\eta = \begin{cases} \frac{\xi }{\left|\xi \right|}, & \text{ если } \quad \xi \neq 0, \\ 1, & \text{ если } \quad \xi = 0. \end{cases}

?

Задача 3.22

Случайная величина $\xi$ имеет функцию распределения $F(x)$ . Найти функцию распределения случайной величины $\frac{1}{2}(\xi +\left|\xi \right|)$ .

?

Задача 3.23

Доказать, что если функция распределения непрерывна в каждой точке прямой, то она равномерно непрерывна на всей прямой.

?

Задача 3.24

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения 0 и 1 с вероятностью $1 / 2$ каждое. Найти распределение случайной величины

\eta = \sum _{k = 1}^{\infty } \frac{\xi _{k}}{2^{k}} .

?

Задача 3.25

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая равномерное на отрезке $[0,1]$ распределение. Доказать, что для любой функции распределения $F(x)$ существует борелевская функция $f(x)$ такая, что $F(x)$ будет функцией распределения случайной величины $f(\xi )$ .

?

Задача 3.26

Пусть $\xi$ — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0,1)$ , и $\xi = \frac{\delta_{1}}{2}+\frac{\delta_{2}}{2^{2}}+\frac{\delta_{3}}{2^{3}}+\ldots , \delta_{n} = 0$ или 1 — двоичное разложение $\xi$ . Доказать, что при любом натуральном $n$

\mathbb {P}\left(\delta _{n} = 0\right) = \mathbb {P}\left(\delta _{n} = 1\right) = \frac{1}{2}

и случайные величины $\delta_{1}, \delta_{2}, \ldots$ взаимно независимы.

?

Задача 3.27

Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Расположим знаки двоичного разложения $\xi$ — случайные величины $\delta_{1}, \delta_{2}, \ldots$ - в виде следующей квадратной таблицы:

\begin{aligned} & \delta _{1} \delta _{3} \delta _{6} \ldots \\ & \delta _{2} \delta _{5} \ldots \\ & \delta _{4} \ldots \\ & \delta _{7} \ldots \end{aligned}

Из знаков $k$ -й строки этой таблицы построим двоичное разложение, определяющее случайную величину $\xi_{k}$ , например:

\begin{aligned} & \xi _{1} = \frac{\delta _{1}}{2}+\frac{\delta _{3}}{2^{2}}+\ldots \\ & \xi _{2} = \frac{\delta _{2}}{2}+\frac{\delta _{5}}{2^{2}}+\ldots \\ & \xi _{3} = \frac{\delta _{4}}{2}+\frac{\delta _{8}}{2^{2}}+\ldots \end{aligned}

Доказать, что случайные величины $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ независимы и каждая из них имеет равномерное на отрезке $[0,1]$ распределение.

?

Задача 3.28

Пусть ( $\Omega , \mathscr {A}, P$ ) — вероятностное пространство, представляющее собой отрезок $[0,1]$ с $\sigma$ -алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, $F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ — произвольная последовательность функций распределения. Доказать, что на указанном вероятностном пространстве существует последовательность независимых случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ таких, что при каждом $n$ функция распределения случайной величины $\xi_{n}$ совпадает с $F_{n}(x)$ .

?

Задача 3.29

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — функции распределения. Найти необходимые и достаточные условия того, что функция $H(x) = F(G(x))$ является функцией распределения.

?

Задача 3.30

Привести пример случайной величины $\xi$ с плотностью $p(x)$ и непрерывной функции $g(x)$ , таких, что $g(\xi )$ является невырожденной случайной величиной с дискретным распределением.

?

Задача 3.31

Пусть $\mathbb {P}$ — произвольное вероятностное распределение на прямой. Доказать, что для любого борелевского множества $A$ и любого положительного $\varepsilon$ найдутся открытое множество $G$ и вамкнутое множество $F$ такие, что $F \subseteq A \subseteq G$ и $\mathbb {P}\left(G \backslash F\right) < \varepsilon$ .

?

Задача 3.32

Пусть $\mathbb {P}$ — произвольное вероятностное распределение на прямой. Доказать, что для любого борелевского множества $A$ и любого положительного $\varepsilon$ найдется компакт $K$ такой, что $K \subseteq A$ и $\mathbb {P}\left(A \backslash K\right) < \varepsilon$ .

?

Задача 3.33

Какова мощность множества всех функций распределения?

?

Задача 3.34

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин с функциями распределения $F_{1}(x), F_{2}(x), \ldots$ соответственно, а $v$ положительная целочисленная случайная величина, не зависящая от всех $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ Положим $p_{k} = \mathbb {P}\left(v = k\right), k = 1,2, \ldots$ Найти функцию распределения случайной величины $\xi$ .

?

Задача 3.35

Доказать, что для любой непрерывной функции распределения $F(x)$

\int _{-\infty }^{\infty } F(x) d F(x) = \frac{1}{2}

?

Задача 3.36

Доказать, что для любой непрерывной функции распределения $F(x)$ и любых натуральных $n$ и $k$

\int _{-\infty }^{\infty } F^{k}(x) d F^{n}(x) = \frac{n}{(n+k)} .

?

Задача 3.37

Пусть $\xi$ — случайная величина с непрерывной функцией распределения $F(x)$ . Найти функцию распределения случайной величины $F(\xi )$ .

?

Задача 3.38

Доказать, что если случайная величина $\xi$ имеет абсолютно непрерывное распределение, то случайная величина $\left|\xi \right|$ также имеет абсолютно непрерывное распределение. Верно ли обратное утверждение?

?

Задача 3.39

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одинаковое распределение:

\mathbb {P}\left(\xi = k\right) = \mathbb {P}\left(\eta = k\right) = 1 / N, \quad k = 1, \ldots , N .

Положим

v = \min \left\{ \xi , \eta \right\} , \quad \mu = \max \left\{ \xi , \eta \right\} , \quad \lambda = \mu -v .

Найти распределения случайных величин $\nu , \mu$ и $\lambda$ .

?

Задача 3.40

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с непрерывными функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно. Найти функцию распределения произведения $\xi \eta$ .

?

Задача 3.41

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, $F(x)$ — функция распределения $\xi_{1}$ . Введем функцию двух переменных $\varphi (x, y)$ следующим образом:

\varphi (x, y) = \begin{cases} 1, & \text{ при } x \geqslant y, \\ 0, & \text{ при } x < y . \end{cases}

При каждом фиксированном $x$ найти распределение случайной величины

\eta _{n} = \frac{1}{n} \sum _{k = 1}^{n} \varphi \left(x, \xi _{k}\right)

?

Задача 3.42

Функция распределения $F(x)$ неотрицательной случайной величины называется полуаддитивной, если

F(x+y) \leqslant F(x)+F(y)

для любых $x, y \geqslant 0$ . Привести пример полуаддитивной функции распределения.

?

Задача 3.43

Пусть $p(x)$ — плотность распределения, не возрастающая при $x \geqslant 0$ и равная нулю при $x < 0$ . Доказать, что соответствующая функция распределения полуаддитивна (определение см. в предыдущей задаче).

?

Задача 3.44

(а)(б)(в)(г)

Доказать, что для любой функции распределения $F(x)$ справедливы соотношения:

?

(а)

$\lim_{x \rightarrow +\infty } x \int_{x}^{\infty } \frac{d F(y)}{y} = 0$ ,

(б)

$\lim_{x \rightarrow -\infty } x \int_{-\infty }^{x} \frac{d F(y)}{y} = 0$ ,

(в)

$\lim_{x \rightarrow -0} x \int_{-\infty }^{x} \frac{d F(y)}{y} = 0$ ,

(г)

$\lim_{x \rightarrow +0} x \int_{x}^{\infty } \frac{d F(y)}{y} = 0$ .

Задача 3.45

Пусть функция распределения $F(x)$ непрерывна в нуле. Доказать, что функция

p(x) = \begin{cases} \int _{x}^{+\infty } \frac{d F(y)}{y}, & \text{ при } x > 0 \\ -\int _{-\infty }^{x} \frac{d F(y)}{y}, & \text{ при } x < 0 \end{cases}

является плотностью распределения.

?

Задача 3.46

Доказать, что если в предыдущей задаче отказаться от условия непрерывности в нуле, т. е. предположить, что $0 < F(0)$ - $-F(0-0) = \alpha < 1$ , то функция $p(x) /(1-\alpha )$ является плотностью распределения вероятностей.

?

Задача 3.47

Пусть $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ — две функции распределения. Доказать, что $F_{1}(x) \leqslant F_{2}(x)$ при всех $x$ тогда и только тогда, когда

\int _{-\infty }^{\infty } f(x) d F_{1}(x) \geqslant \int _{-\infty }^{\infty } f(x) d F_{2}(x)

для любой монотонно неубывающей функции $f(x)$ , для которой указанные интегралы существуют.

?

Задача 3.48

Пусть вещественная функция $f(x)$ такова, что для любых двух функций распределения $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ , удовлетворяющих неравенству $F_{1}(x) \leqslant F_{2}(x)$ , выполнено неравенство

\int _{-\infty }^{\infty } f(x) d F_{1}(x) \geqslant \int _{-\infty }^{\infty } f(x) d F_{2}(x)

Доказать, что $f(x)$ монотонно не убывает.

?

Задача 3.49

Распределение $P$ называется доминирующим для семейства распределений $\mathfrak {B}$ , если для любого борелевского множества $A$ такого, что $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ , выполнены равенства $Q(A) = 0$ для всех $Q$ из $\mathfrak {B}$ . Семейство распределений называется доминируемым, если существует распределение, доминирующее его.

Доказать, что любое счетное семейство распределений доминируемо.

?

Задача 3.50

Привести пример не доминируемого семейства распределений.

?

Задача 3.51

Доказать, что если $\mathfrak {H}_{1}, \mathfrak {B}_{2}, \ldots$ — последовательность доминируемых семейств распределений, то доминируемо и их объединение

\bigcup _{n = 1}^{\infty } \mathfrak {Z}_{n} .

?

Задача 3.52

Выпуклой оболочкой семейства распределений $\mathfrak {B}$ называется множество всех распределений вида

\sum _{i = 1}^{\infty } \alpha _{i} P_{i}

где $\alpha_{i} \geqslant 0, \sum_{i = 1}^{\infty } \alpha_{i} = 1, P_{i} \in \mathfrak {B}, i = 1,2, \ldots$ . Доказать, что выпуклая оболочка доминируемого семейства распределений доминируема.

?

Задача 3.53

Доказать, что семейство распределений $\mathfrak {B}$ доминируемо тогда и только тогда, когда существует не более чем счетное подсемейство $\mathfrak {H}^{\prime }$ семейства $\mathfrak {H}$ такое, что если борелевское множество $A$ удовлетворяет условию $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ для любого $P \in \mathfrak {H}^{\prime }$ , то $Q(A) = 0$ для любого $Q \in \mathfrak {B}$ .

?

Задача 3.54

Функцией концентрации случайной величины $\xi$ называется функция

Q_{\xi }(x) = \sup _{a} \mathbb {P}\left(a \leqslant \xi \leqslant a+x\right)

Очевидно, функция концентрации однозначно определяется функцией распределения. Верно ли обратное?

?

Задача 3.55

Доказать, что для любой случайной величины $\xi$ и любого положительного $x$ найдется $a$ такое, что

Q_{\xi }(x) = \mathbb {P}\left(a \leqslant \xi \leqslant a+x\right) .

?

Задача 3.56

Доказать, что для любой случайной величины $\xi$ и любых неотрицательных $\alpha$ и $x$ имеет место неравенство

Q_{\xi }(\alpha x) \leqslant ([\alpha ]+1) Q_{\xi }(x),

где $[\alpha ]$ — целая часть числа $\alpha$ .

?

Задача 3.57

(а)(б)

Пусть $F(x)$ — функция распределения, $Q(x)$ — соответствующая функция концентрации. 1. Может ли $F(x)$ иметь больше точек разрыва, чем $Q(x)$ ? 2. Может ли $Q(x)$ иметь больше точек разрыва, чем $F(x)$ ?

?

(а)

(б)

Задача 3.58

Может ли функция распределения иметь бесконечное число точек разрыва, а соответствующая функция концентрации конечное?

?

Задача 3.59

Пусть $F(x)$ — функция распределения, $Q(x)$ — соответствующая функция концентрации, $n$ — число точек разрыва $F(x), m$ число точек разрыва $Q(x)$ . Доказать, что

m \leqslant C_{n}^{2}+1.

?

Задача 3.60

Пусть $\xi$ — произвольная случайная величина. Доказать, что для любых положительных $a$ и $l$ множество

A_{l, a} = \left\{ x: \mathbb {P}\left(x \leqslant \xi \leqslant x+l\right) \geqslant a\right\}

является компактным (может быть, пустым).

?

Задача 3.61

(а)(б)(в)(г)

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины $\xi = \xi (\omega )$ , определенной на вероятностном пространстве ( $\Omega , \mathscr {A}, P$ ), представляющем собой отрезок [ 0,1 ] с $\sigma$ -алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, если:

?

(а)

$\xi = \omega^{2}$ ,

(б)

$\xi = \omega -1 / 2$ ,

(в)

$\xi = \sin \pi \omega$ ,

(г)

$\xi = \sin 2 \pi \omega$ .

Задача 3.62

Диаметр круга $d$ измерен приближенно, и известно лишь, что $0 < a \leqslant d \leqslant b$ . Считая $d$ случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке $[a, b]$ , найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

?

Задача 3.63

Брошены две игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков, если известно, что выпали разные грани.

?

Задача 3.64

Доказать, что равенство нулю дисперсии $\operatorname {Var}\left[\xi \right] = 0$ равносильно тому, что случайная величина $\xi$ с вероятностью единица равна постоянной: $\mathbb {P}\left(\xi = c\right) = 1$ для некоторого числа $c$ .

?

Задача 3.65

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что $\xi$ с вероятностью единица принимает значения одного знака тогда и только тогда, когда случайные величины $\xi -\eta$ и $\left|\xi \right|-\left|\eta \right|$ одинаково распределены.

?

Задача 3.66

Пусть $\xi$ — случайная величина такая, что $\mathbb {P}\left(0 < \xi < 1\right) = 1$ . Доказать, что $\operatorname {Var}\left[\xi \right] < \mathbb {E}\left[\xi \right]$ .

?

Задача 3.67

(а)(б)

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и $\mathbb {E}\left[\xi \right] = 1$ , $\mathbb {E}\left[\eta \right] = 2, \operatorname {Var}\left[\xi \right] = 1, \operatorname {Var}\left[\eta \right] = 4$ .

Найти математические ожидания случайных величин:

?

(а)

$\xi^{2}+2 \eta^{2}-\xi \eta -4 \xi +\eta +4$ ;

(б)

$(\xi +\eta +1)^{2}$ .

Задача 3.68

Доказать, что для любых случайных величин $\xi$ и $\eta$ , имеющих конечные дисперсии, справедливы неравенства

(\sqrt{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}-\sqrt{\operatorname {Var}\left[\eta \right]})^{2} \leqslant \operatorname {Var}\left[\xi +\eta \right] \leqslant (\sqrt{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}+\sqrt{\operatorname {Var}\left[\eta \right]})^{2} .

?

Задача 3.69

Доказать, что если $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{\alpha }\right] < \infty , \alpha > 0$ , то $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{\beta }\right] < \infty$ при $0 < \beta \leqslant \alpha$ .

?

Задача 3.70

Привести пример распределения, не имеющего моментов ни положительного, ни отрицательного порядков.

?

Задача 3.71

Пусть $\xi$ и $\eta$ — одинаково распределенные случайные величины. Верно ли, что

\mathbb {E}\left[\frac{\xi }{\xi +\eta }\right] = \mathbb {E}\left[\frac{\eta }{\xi +\eta }\right] ?

?

Задача 3.72

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные положительные случайные величины. Доказать, что

\mathbb {E}\left[\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{k}}{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}\right] = \frac{k}{n}

для любого $1 \leqslant k \leqslant n$ . Можно ли отказаться от условия независимости?

?

Задача 3.73

(а)(б)

Случайная величина $\xi$ пршимает значения $0,1, \ldots , n, \ldots$ с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии:

?

(а)

найти зависимость между $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ и $\operatorname {Var}\left[\xi \right]$ ;

(б)

известно, что $\mathbb {E}\left[\xi \right] = a$ ; найти $\mathbb {P}\left(\xi = n\right), n = 0,1_{1} \ldots$ .

Задача 3.74

Пусть случайная величина $\xi$ принимает конечное число неотрицательных значений $x_{1}, \ldots , x_{r}$ . Доказать, что

\begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\mathbb {E}\left[\xi ^{n+1}\right]}{\mathbb {E}\left[\xi ^{n}\right]} & = \max \left(x_{1}, \ldots , x_{r}\right) \\ \lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\mathbb {E}\left[\xi ^{n}\right]} & = \max \left(x_{1}, \ldots , x_{r}\right) \end{aligned}

?

Задача 3.75

Пусть $\xi$ — неотрицательная целочисленная случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что

\mathbb {E}\left[\xi \right] = \sum _{i = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\xi \geqslant i\right) .

?

Задача 3.76

Написаны $n$ писем, предназначенных разным адресатам. Имеется $n$ конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вложены в конверты. Пусть $\xi_{n}$ — число писем, которые посланы тем адресатам, которым они предназначены. Найти $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right]$ .

?

Задача 3.77

Пусть $\xi$ — ограниченная с вероятностью единица случайная величина: $\mathbb {P}\left(\left|\xi \right| \leqslant c\right) = 1$ . Доказать, что

\operatorname {Var}\left[\xi \right] \leqslant c \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] .

?

Задача 3.78

Доказать, что $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ существует тогда и только тогда, когда существует $\mathbb {E}\left[\left[\xi \right]\right]$ ( $[\cdot ]$ — целая часть), причем $\mathbb {E}\left[\xi \right] = \mathbb {E}\left[\left[\xi \right]\right]$ тогда и только тогда, когда $\xi$ — целочисленная случайная величина.

?

Задача 3.79

Пусть $\mathbb {E}\left[\xi \right] = 0$ и $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] = 1$ . Найти $\mathbb {E}\left[\max \left\{ 0, \xi \right\} \right]$ и $\mathbb {E}\left[\min \left\{ 0, \xi \right\} \right]$ .

?

Задача 3.80

Каким условиям должны удовлетворять числа $a$ и $b$ для того, чтобы существовала случайная величина $\xi$ такая, что $\mathbb {E}\left[\xi \right] = a$ , $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] = b$ ?

?

Задача 3.81

Доказать неравенство Иенсена.

?

Задача 3.82

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с конечными дисперсиями. Доказать, что

\operatorname {Var}\left[\xi \eta \right] \geqslant \operatorname {Var}\left[\xi \right] \cdot \operatorname {Var}\left[\eta \right] .

?

Задача 3.83

Каким условиям доляны удовлетворять независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ , чтобы выполнялось равенство

\operatorname {Var}\left[\xi \eta \right] = \operatorname {Var}\left[\xi \right] \cdot \operatorname {Var}\left[\eta \right] ?

?

Задача 3.84

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, $\mathbb {E}\left[\xi_{i}\right] = m_{i}(i = 1,2, \ldots ) ; A_{1}, A_{2}, \ldots$ попарно несовместные события, $\bigcup_{j = 1}^{\infty } A_{j} = \Omega , \mathbb {P}\left(A_{j}\right) = p_{j}$ ; случайные величины $\xi_{i}$ и $I_{A_{j}}$ независимы; случайная величина $\xi$ равна $\sum_{i = 1}^{\infty } \xi_{i} I_{A_{i}}$ ; случайная величина $\mu$ принимает значения $m_{i}$ с вероятностями $p_{i}$ , соответственно. Доказать, что

\operatorname {Var}\left[\xi \right] = \sum _{i = 1}^{\infty } p_{i} \operatorname {Var}\left[\xi _{i}\right]+\operatorname {Var}\left[\mu \right] .

?

Задача 3.85

Случайная величина $\xi$ имеет конечный абсолютный момент порядка $p > 0$ :

\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{p}\right] < \infty .

Доказать, что

t^{p} \mathbb {P}\left(\left|\xi \right| > t\right) \rightarrow 0

при $t \rightarrow \infty$ .

?

Задача 3.86

Доказать, что функция распределения $F(x)$ имеет конечный абсодютный момент порядка $\alpha > 0$ тогда и. только тогда, когда функция $\left|x\right|^{\alpha -1}(1-F(x)+F(-x))$ интегрируема на всей вещественной оси.

?

Задача 3.87

Доказать, что для того чтобы у случайной величины $\xi$ существовал конечный абсолютный момент порядка $\alpha > 0$ : $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{\alpha }\right] < \infty$ , необходимо и достаточно, чтобы сходится ряд

\sum _{n = 1}^{\infty } n^{\alpha -1} \mathbb {P}\left(\left|\xi \right| \geqslant n\right) .

?

Задача 3.88

Пусть $\xi$ п $\eta$ — независимые случайные величины, принимающие целые неотрицательные значения и $E\left|\xi \right| < \infty$ . Доказать, что

\mathbb {E}\left[\min \left\{ \xi , \eta \right\} \right] = \sum _{i = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\xi \geqslant i\right) \mathbb {P}\left(\eta \geqslant i\right) .

?

Задача 3.89

Пусть $\xi$ — неотрицательная случайная величина с функцией распределения $F(x)$ и конечным математическим ожиданием.

Доказать, что

\mathbb {E}\left[\xi \right] = \int _{0}^{\infty }(1-F(x)) d x .

?

Задача 3.90

Пусть $\xi$ — положительная случайная величина с функцией распределения $F(x)$ и

\mathbb {E}\left[\frac{1}{\xi ^{\alpha }}\right] < \infty , \quad \alpha > 0.

Доказать, что

\frac{F(x)}{x^{\alpha }} \rightarrow 0

при $x \rightarrow 0$ .

?

Задача 3.91

Пусть $\xi$ — неотрицательная случайная величина с функцией распределения $F(x)$ и конечным моментом порядка $\alpha > 0$ . Доказать, что

\mathbb {E}\left[\xi ^{\alpha }\right] = \alpha \int _{0}^{\infty } x^{\alpha -1}(1-F(x)) d x .

?

Задача 3.92

Пусть $\xi$ — положительная случайная величина с функцией распределения $F(x)$ и конечным моментом порядка $\alpha < 0$ . Доказать, что

\mathbb {E}\left[\xi ^{\alpha }\right] = \left|\alpha \right| \int _{0}^{\infty } x^{\alpha -1} F(x) d x .

?

Задача 3.93

Доказать, что если $F(x)$ — функция распределения с конечным математическим ожиданием и такая, что $F(0) = 0$ , то функция

G(x) = \prod _{n = 1}^{\infty } F(x+n)

является функцией распределения.

?

Задача 3.94

Пусть $\xi$ — случайная величина с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией. Доказать, что

\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] \leqslant \frac{1}{2}(\operatorname {Var}\left[\xi \right]+1) .

?

Задача 3.95

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией. Положим

a_{n} = \mathbb {E}\left[\left|\frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{\sqrt{n}}\right|\right], \quad n = 1,2, \ldots

Доказать, что последовательность $a_{1}, a_{2}, \ldots$ равномерно ограничена.

?

Задача 3.96

Случайные величины $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}$ независимы и одинаково распределены. Каждая из случайных величин $\xi$ принимает два значения: 1 и 0 с вероятностями $p$ и $q = 1-p$ соответственно. Пусть $\eta_{h}$ — случайная величина, равная 0 , если $\xi_{h} = \xi_{h+1}$ , и 1 , если $\xi_{h} \neq \xi_{h+1}$ . Положим $\zeta_{n} = \eta_{1}+\ldots +\eta_{n-1}$ . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины $\zeta_{n}$ .

?

Задача 3.97

Случайная величина $\xi$ равномерно распределена на отрезке $[a, b]$ . Найти $a$ и $b$ , если $\mathbb {E}\left[\xi^{2}\right] = 1$ и $\mathbb {E}\left[\xi \right] = -\mathbb {E}\left[\xi^{3}\right]$ .

?

Задача 3.98

Пусть $\xi$ — случайная величина с симметричным относительно нуля распределением. Доказать, что для любого вещественного $a$

\mathbb {E}\left[\left|\xi +a\right|\right] \geqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] .

?

Задача 3.99

Показать, что существуют две случайные величины $\xi$ и $\eta$ , такие, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] < \infty , \mathbb {E}\left[\left|\eta \right|\right] < \infty$ и

\mathbb {E}\left[\left|\xi +a\right|\right] > \mathbb {E}\left[\left|\eta +a\right|\right]

для любого вещественного $a$ .

?

Задача 3.100

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины такие, что для любого $a$

\mathbb {E}\left[\left|\xi +a\right|^{\alpha }\right] = \mathbb {E}\left[\left|\eta +a\right|^{\alpha }\right]

( $\alpha$ — некоторое вещественное число), и пусть $\zeta$ — случайная величина, не зависящая от $\xi$ и $\eta$ . Доказать, что

\mathbb {E}\left[\left|\xi +\zeta \right|^{\alpha }\right] = \mathbb {E}\left[\left|\eta +\zeta \right|^{\alpha }\right]

?

Задача 3.101

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины такие, что для любого $a$

\mathbb {E}\left[\left|\xi +a\right|^{\alpha }\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\eta +a\right|^{\alpha }\right]

( $\alpha$ — некоторое вещественное число), и пусть $\zeta$ — случайная величина, не зависящая от $\xi$ и $\eta$ . Доказать, что

\mathbb {E}\left[\left|\xi +\zeta \right|^{\alpha }\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\eta +\zeta \right|^{\alpha }\right]

?

Задача 3.102

(а)(б)

Пусть $\xi$ и $\eta$ — неотрицательные случайные величины с фупнцнями распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно, причем $F(x) \geqslant G(x)$ для всех $x$ . Доказать, что:

?

(а)

$\mathbb {E}\left[\xi^{\alpha }\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\eta^{\alpha }\right], 0 \leqslant \alpha < \infty$ ;

(б)

$\mathbb {E}\left[\xi^{\alpha }\right] \geqslant \mathbb {E}\left[\eta^{\alpha }\right], \alpha < 0$ , если указанные моменты существуют.

Задача 3.103

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что для любого $x$

\max \left\{ x, \mathbb {E}\left[\xi \right]\right\} \leqslant \mathbb {E}\left[\max \left\{ x, \xi \right\} \right] .

?

Задача 3.104

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — случайные величины с функциями распределения $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ соответственно. Доказать, что

\int _{x}^{\infty }\left(1-F_{1}(t)\right) d t \leqslant \int _{x}^{\infty }\left(1-F_{2}(t)\right) d t

тогда и только тогда, когда

\mathbb {E}\left[\max \left\{ x, \xi _{1}\right\} \right] \leqslant \mathbb {E}\left[\max \left\{ x, \xi _{2}\right\} \right] .

?

Задача 3.105

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и такие, что для любого $x$

\mathbb {E}\left[\max \left\{ x, \xi \right\} \right] \leqslant \mathbb {E}\left[\max \left\{ x, \eta \right\} \right] .

Доказать, что для любой выпуклой функции $f(x)$

\mathbb {E}\left[f(\xi )\right] \leqslant \mathbb {E}\left[f(\eta )\right] .

?

Задача 3.106

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — случайные величины с функциями распределения $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ соответственно. Доказать, что если для любого $x$

\int _{x}^{\infty }\left(1-F_{1}(t)\right) d t \leqslant \int _{x}^{\infty }\left(1-F_{2}(t)\right) d t,

то

\mathbb {E}\left[\xi _{1}^{r}\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\xi _{2}^{r}\right]

для любого $r \geqslant 1$ (при условии, что эти моменты существуют).

?

Задача 3.107

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечным абсолютным моментом порядка $\alpha > 0$ . Доказать, что

\mathbb {E}\left[\left|\xi +a\right|^{\alpha }\right] \rightarrow \infty

при $a \rightarrow \infty$ .

?

Задача 3.108

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечным абсолютным моментом порядка $2 n-1$ ( $n$ — целое положительное число). Доказать, что существует такое вещественное $a$ , что

\mathbb {E}\left[(\xi -a)^{2 n-1}\right] = 0,

причем такое $a$ единственно.

?

Задача 3.109

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечным абсолютным моментом порядка $\alpha > 0: \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{\alpha }\right] < \infty$ . Доказать, что для любого вещественного $а$

\mathbb {E}\left[\left|\xi -a\right|^{\alpha }\right] < \infty .

?

Задача 3.110

Доказать, что

\operatorname {Var}\left[\xi \right] = \min _{a} \mathbb {E}\left[(\xi -a)^{2}\right] .

?

Задача 3.111

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечным абсолютным моментом порядка $2 n: \mathbb {E}\left[\xi^{2 n}\right] < \infty$ . Доказать, что число $a$ удовлетворяет условию

\mathbb {E}\left[(\xi -a)^{2 n-1}\right] = 0

тогда и только тогда, когда

\mathbb {E}\left[(\xi -a)^{2 n}\right] < \mathbb {E}\left[(\xi -b)^{2 n}\right]

для любого вещественного $b$ .

?

Задача 3.112

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с плотностями распределения $f(x)$ и $g(x)$ соответственно, причем существует такое $a$ , что $f(x) \leqslant g(x)$ при $x > a$ и $f(x) \geqslant g(x)$ при $x < a$ . Доказать, что $\mathbb {E}\left[\xi \right] \leqslant \mathbb {E}\left[\eta \right]$ , если указанные математические ожидания существуют, а если дополнительно $f(x) = g(x) = 0$ при $x < 0$ , то $\mathbb {E}\left[\xi^{\alpha }\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\eta^{\alpha }\right]$ для любого $\alpha > 0$ .

?

Задача 3.113

Пусть $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ — функции распределения, $a_{1}$ и $a_{2}$ соответствующие математические ожидания (предполагается, что они существуют). Доказать, что если $F_{1}(x) \geqslant F_{2}(x)$ для любого $x$ , то $a_{1} \leqslant a_{2}$ .

?

Задача 3.114

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — случайные величины с симметричными относительно нуля плотностями распределения $p_{1}(x)$ и $p_{2}(x)$ и конечными дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ соответственно, причем $p_{1}(x) = = p_{2}(x) = 0$ при $\left|x\right| > a(a > 0)$ . Пусть $p_{1}(x)$ выпукла вниз, а $p_{2}(x)$ выпукла вверх на отрезке $[-a, a]$ . Что больше: $\sigma_{1}^{2}$ или $\sigma_{2}^{2}$ ?

?

Задача 3.115

Можно ли в предыдущей задаче сказать, что больше: $\sigma_{1}^{2}$ или $\sigma_{2}^{2}$ , если отказаться от предположения симметричности распределений случайных величин $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ ?

?

Задача 3.116

Доказать неравенство Коши - Буняковского - Шварца.

?

Задача 3.117

(неравенство Гёльдера) Доказать, что если $r > 1$ и $\frac{1}{r}+\frac{1}{s} = 1$ , то

\mathbb {E}\left[\left|\xi \eta \right|\right] \leqslant \left(\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{r}\right]\right)^{1 / r}\left(\mathbb {E}\left[\left|\eta \right|^{s}\right]\right)^{1 / s} .

?

Задача 3.118

Доказать, что $\left(\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{r}\right]\right)^{1 / r}$ — неубывающая функция от $r$ .

?

Задача 3.119

Доказать, что для любых случайных величин $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ с конечными моментами порядка $\alpha \geqslant 1$ справедливо неравенство

\mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}\right|^{\alpha }\right] \leqslant n^{\alpha -1}\left(\mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}\right|^{\alpha }\right]+\ldots +\mathbb {E}\left[\left|\xi _{n}\right|^{\alpha }\right]\right) .

?

Задача 3.120

Доказать, что для любых случайных величин $\xi_{i}, \ldots , \xi_{n}$ , имеющих конечные моменты порядка $\alpha \leqslant 1$ , справедливо неравенство

\mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}\right|^{\alpha }\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}\right|^{\alpha }\right]+\ldots +\mathbb {E}\left[\left|\xi _{n}\right|^{\alpha }\right] .

?

Задача 3.121

(неравенство Минковского) Доказать, что при $r \geqslant 1$

\left(\mathbb {E}\left[\left|\xi +\eta \right|^{r}\right]\right)^{1 / r} \leqslant \left(\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{r}\right]\right)^{1 / r}+\left(\mathbb {E}\left[\left|\eta \right|^{r}\right]\right)^{1 / r} .

?

Задача 3.122

Доказать, что $\log \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{r}\right]$ — выпуклая функция от $r(r \geqslant 0)$ .

?

Задача 3.123

Доказать, что $\log \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{r}\right]$ как функция от $r(r \geqslant 0)$ линейна тогда и только тогда, когда $\xi$ имеет вырожденное распределение.

?

Задача 3.124

Пусть $\xi$ — случайная величина. Положим $\beta_{k} = \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{k}\right]$ . Доказать, что если $0 \leqslant l \leqslant m \leqslant n$ , то $\beta_{m}^{n-l} \leqslant \beta_{l}^{n-m} \beta_{n}^{m-l}$ .

?

Задача 3.125

Пусть $\xi$ — случайная величина. Доказать, что при $0 < r \leqslant \leqslant 1$ для любого вещественного $a$

\frac{1}{2} \mathbb {E}\left[\left|\xi -m \xi \right|^{r}\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi ^{(s)}\right|^{r}\right] \leqslant 2 \mathbb {E}\left[\left|\xi -a\right|^{r}\right] .

?

Задача 3.126

Пусть $\xi$ — случайная величина. Доказать, что при $1 < r < < 2$ для любого вещественного $a$

\frac{1}{2} \mathbb {E}\left[\left|\xi -m \xi \right|^{r}\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi ^{(s)}\right|^{r}\right] \leqslant 2^{r} \mathbb {E}\left[\left|\xi -a\right|^{r}\right]

?

Задача 3.127

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем $\eta$ имеет симметричное распределение. Доказать, что для любого $1 \leqslant \alpha \leqslant 2$

\mathbb {E}\left[\left|\xi +\eta \right|^{\alpha }\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{\alpha }\right]+\mathbb {E}\left[\left|\eta \right|^{\alpha }\right] .

?

Задача 3.128

Доказать, что если случайные величины $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ независимы и имеют симметричные распределения, то для любого $1 \leqslant \alpha \leqslant 2$

\mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}\right|^{\alpha }\right] \leqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}\right|^{\alpha }\right]+\ldots +\mathbb {E}\left[\left|\xi _{n}\right|^{\alpha }\right] .

?

Задача 3.129

Доказать, что если случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и $\mathbb {E}\left[\eta \right] = 0, \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{\alpha }\right] < \infty , \mathbb {E}\left[\left|\eta \right|^{\alpha }\right] < \infty , \alpha \geqslant 1$ , то

\mathbb {E}\left[\left|\xi +\eta \right|^{\alpha }\right] \geqslant \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{\alpha }\right] .

?

Задача 3.130

Доказать, что если $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины, $\mathbb {E}\left[\xi_{i}\right] = 0, \mathbb {E}\left[\left|\xi_{i}\right|^{\alpha }\right] < \infty , 1 \leqslant \alpha \leqslant 2$ , то

\mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}\right|^{\alpha }\right] \leqslant 2^{\alpha }\left(\mathbb {E}\left[\left|\xi _{1}\right|^{\alpha }\right]+\ldots +\mathbb {E}\left[\left|\xi _{n}\right|^{\alpha }\right]\right) .

?

Задача 3.131

Случайная величина $\xi$ имеет решетчатое распределение с шагом $h$ . Положим

v_{h} = \mathbb {E}\left[\left|\xi -\mathbb {E}\left[\xi \right]\right|^{h}\right]

( $k$ — целое положительное число). Доказать, что

v_{k-1} \leqslant \frac{2}{h} v_{k}

?

Задача 3.132

Пусть $\xi$ — положительная невырожденная случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что

\frac{1}{\mathbb {E}\left[\xi \right]} \leqslant \mathbb {E}\left[\frac{1}{\xi }\right]

?

Задача 3.133

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, принимающие положительные значения. Доказать, что для любого $r \geqslant 0$

\mathbb {E}\left[\frac{\xi }{\eta }^{r}\right] \geqslant \frac{\mathbb {E}\left[\xi ^{r}\right]}{\mathbb {E}\left[\eta ^{r}\right]}

?

Задача 3.134

Найти коэффициент корреляции между числом выпадений «единиц» и числом выпадений «шестерок» при $n$ независимых бросаниях правильной игральной кости.

?

Задача 3.135

Пусть неотрицательные целочисленные случайные величины $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{s}$ таковы, что $\xi_{1}+\xi_{2}+\ldots +\xi_{s} = n$ и для любых $m_{1}, \ldots , m_{s}, m_{1} \geqslant 0, m_{1}+\ldots +m_{s} = n$ ,

\mathbb {P}\left(\xi _{1} = m_{1}, \ldots , \xi _{s} = m_{s}\right) = \frac{n!}{m_{1}!\ldots m_{s}!} p_{1}^{m_{1}} \ldots p_{s}^{m_{s}}

где $p_{i} \geqslant 0, p_{1}+\ldots +p_{s} = 1$ . Найти коэффициент корреляции между $\xi_{i}$ и $\xi_{j}, i, j = 1,2, \ldots , s$ .

?

Задача 3.136

Доказать, что коэффициент корреляции любых двух случайных величин, имеющих конечные ненулевые дисперсии, заключеп между -1 и +1 ; равен нулю, если величины независимы; равен -1 или +1 тогда и только тогда, когда случайные величины линейно связаны.

?

Задача 3.137

Построить пример, показывающий, что из равенства нулю кодффициента корреляции двух случайных величин не следует их независимость.

?

Задача 3.138

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ случайные величины с конечными ненулевыми дисперсиями. Доказать, что $D\left(\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}\right) = \operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right]+\ldots +\operatorname {Var}\left[\xi_{n}\right]$ тогда и только тогда, когда $\xi_{i}$ и $\xi_{j}, \ldots$ , попарно не коррелированы.

?

Задача 3.139

Случайные величины $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n+m}(n \geqslant m)$ независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти коэффициент корреляции между случайными величинами $\eta_{1} = \xi_{1}+\ldots \ldots +\xi_{n}$ и $\eta_{2} = \xi_{m+1}+\ldots +\xi_{m+n}$ .

?

Задача 3.140

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $\sigma^{2}$ . Найти коэффициент корреляции случайных величин $\xi_{1} = \alpha \xi +\beta \eta$ и $\xi_{2} = \alpha \xi -\beta \eta$ .

?

Задача 3.141

Пусть совместное распределение случайных величин $\xi$ и $\eta$ пормально, причем $\mathbb {E}\left[\xi \right] = \mathbb {E}\left[\eta \right] = 0$ , а коэффициент корреляции $\xi$ и $\eta$ равен $\rho$ . Найти коэффициент корреляции случайных величин $\xi^{2}$ и $\eta^{2}$ .

?

Задача 3.142

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — случайные величины, причем коэффициент корреляции любых двух из них равен $\rho$ . Доказать, что $\rho \geqslant -1 /(n-1)$ .

?

Задача 3.143

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы,

\begin{gathered} \mathbb {P}\left(\xi = 1\right) = \mathbb {P}\left(\xi = -1\right) = 1 / 2, \quad \mathbb {P}\left(\eta = 1\right) = \mathbb {P}\left(\eta = -1\right) = 1 / 4, \\ \mathbb {P}\left(\eta = 0\right) = 1 / 2. \end{gathered}

Будут ли случайные величины $\xi \eta$ и $\eta$ независимыми?

?

Задача 3.144

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы, $\mathbb {P}\left(\xi = 1\right) = \mathbb {P}\left(\xi = -1\right) = 1 / 2$ , $\mathbb {P}\left(\eta = 1\right) = \mathbb {P}\left(\eta = -1\right) = 1 / 4$ , $\mathbb {P}\left(\eta = 0\right) = 1 / 2$ (см. задачу 3.143). Будут ли в этих условиях случайные величины $\xi \eta$ и $\eta$ некоррелированными?

?

Задача 3.145

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечной дисперсией. Доказать, что коэффициент корреляции случайных величин $\xi$ и sign $\xi$ неотрицателен.

?

Задача 3.146

Пусть $\xi$ — случайная величина с симметричным распределением и конечной дисперсией. Найти коэффициент корреляции случайных величин $\xi$ и $\left|\xi \right|$ .

?

Задача 3.147

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — случайные величины, $\sigma_{i j}$ — ковариация между $\xi_{i}$ и $\xi_{j}(i, j = 1, \ldots , n)$ . Доказать, что ковариационная матрица

\left[\begin{smallmatrix} \sigma _{11} & \cdots & \sigma _{1 n} \\ \cdots & \cdots & . \\ \sigma _{n 1} & \cdots & \sigma _{n n} \end{smallmatrix}\right]

неотрицательно определена.

?

Задача 3.148

Пусть $\xi$ — случайная величина.

\mathbb {P}\left(\xi > 0\right) = \alpha , \quad \mathbb {P}\left(\xi < 0\right) = \beta , \quad \mathbb {E}\left[\xi \right] = a, \quad \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] = b .

Найти $\operatorname {Cov}\left[ \xi , \operatorname {sign} \xi \right]$ .

?

Задача 3.149

Пусть случайные величины $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ независимы, одинаково распределены и имеют конечные дисперсии. Доказать, что случайные величины $\eta_{1} = \xi_{1}+\xi_{2}$ и $\eta_{2} = \xi_{1}-\xi_{2}$ некоррелированы. Можно ли утверждать, что они независимы?

?

Задача 3.150

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и коэффициентом корреляции р. Доказать, что

\mathbb {E}\left[\max \left\{ \xi ^{2}, \eta ^{2}\right\} \right] \leqslant 1+\sqrt{1-\rho ^{2}} .

?

Задача 3.151

(а)(б)

Пусть $\xi , \eta$ и $\zeta$ — попарно некоррелированные случайные величины. Можно ли утверждать, что некоррелированными будут случайные величины:

?

(а)

$\xi$ и $\eta +\xi$ ;

(б)

$\xi$ и $\eta \xi$ ?

Задача 3.152

Пусть $\xi , \eta$ и $\zeta$ — независимые случайные величины с конечными положительными дисперсиями. Могут ли быть независимыми случайные величины $\xi +\xi$ и $\eta +\xi$ ?

?

Задача 3.153

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным третьим моментом, причем $\mathbb {E}\left[\xi_{i}-\mathbb {E}\left[\xi_{i}\right]^{3}\right] = 0$ . Найти коэффициент корреляции случайных величин

\xi = \frac{1}{n} \sum _{i = 1}^{n} \xi _{i} \text{ и } s^{2} = \frac{1}{n} \sum _{i = 1}^{n}\left(\xi _{i}-\bar{\xi }\right)^{2} .

?

Задача 3.154

Доказать, что если каждая из независимых случайных величин $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ имеет геометрическое распределение, то случайная величина $\eta = \min \left\{ \xi_{1}, \xi_{2}\right\}$ также имеет геометрическое распределение. Найти параметр этого распределения, если параметры распределений $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ равны соответственно $p_{1}$ и $p_{2}$ .

?

Задача 3.155

Случайная величина $\xi$ принимает целые неотрицательные значения. Доказать, что следующие утверждения равносильны:

$\xi$ имеет геометрическое распределение;
$\mathbb {P}\left( \xi = n+k \mid \xi \geqslant k \right) = \mathbb {P}\left(\xi = n\right), \quad k, n = 0,1,2, \ldots$

?

Задача 3.156

Случайные величины $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ независимы и имеют одно и то же геометрическое распределение. Доказать, что

\mathbb {P}\left( \xi _{1} = k \mid \xi _{1}+\xi _{2} = n \right) = \frac{1}{n+1}, \quad k = 0,1, \ldots , n .

?

Задача 3.157

Случайная величина $\xi$ имеет геометрическое распределение с параметром $p$ . Найти распределение случайной величины

\eta = \frac{\xi }{2}\left(1-(-1)^{\xi }\right) .

?

Задача 3.158

Сумма двух независимых целочисленных неотрицательных случайных величин имеет биномиальное распределение. Доказать, что каждое слагаемое имеет биномиальное распределение.

?

Задача 3.159

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых принимает значение 1 с вероятностью $p$ и значение 0 с вероятностью $1-p$ , а $v$ — неотрицательная целочисленная случайная величина, не зависящая от $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ Доказать, что случайные величины $\xi_{1}+\ldots \ldots +\xi_{v}$ и $v-\left(\xi_{1}+\ldots +\xi_{v}\right)$ независимы тогда и только тогда, когда $v$ имеет пуассоновское распределение.

?

Задача 3.160

Случайные величины $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ имеют пуассоновское распределение с параметрами $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ соответственно, причем $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}$ . Доказать, что для любого $t \geqslant 0$

\mathbb {P}\left(\xi _{1} \leqslant t\right) \geqslant \mathbb {P}\left(\xi _{2} \leqslant t\right) .

?

Задача 3.161

Случайные величины $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ соответственно. Найти

\mathbb {P}\left( \xi _{1} = k \mid \xi _{1}+\xi _{2} = n \right), \quad k = 0,1, \ldots , n .

?

Задача 3.162

Случайные величины $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ нормально распределены с параметрами $\left(0, \sigma_{1}^{2}\right)$ и $\left(0, \sigma_{2}^{2}\right)$ соответственно. Доказать, что если $\sigma_{1}^{2} \geqslant \sigma_{2}^{2}$ , то

\mathbb {P}\left(\left|\xi _{1}\right| \leqslant t\right) \leqslant \mathbb {P}\left(\left|\xi _{2}\right| \leqslant t\right)

для любого $t \geqslant 0$ .

?

Задача 3.163

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение. Доказать, что случайные величины $\xi_{1}+\xi_{2}$ и $\xi_{1}-\xi_{2}$ независимы.

?

Задача 3.164

Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $\sigma^{2}$ . Найти распределение случайной величины sign $\xi$ .

?

Задача 3.165

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение случайной величины $\xi^{2}+\eta^{2}$ .

?

Задача 3.166

(Продолжение) В тех же условиях найти распределение случайной величины $\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}$ .

?

Задача 3.167

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение случайной величины $\sqrt{\xi_{1}^{2}+\ldots +\xi_{n}^{2}}$ .

?

Задача 3.168

(Продолжение) В тех же условиях найти распределение случайной величины $\xi_{1}^{2}+\ldots +\xi_{n}^{2}$ (распределение этой случайной величины называется хи-квадрат распределением с п степенями свободы).

?

Задача 3.169

Пусть $P(x)$ и $Q(x)$ — нормальные функции распределения с математическими ожиданиями $a$ и $b$ и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ соответственно. Подобрать распределение $R$ так, чтобы выполнялось равенство $P * R = Q$ . Какие условия на параметры распределений $P$ и $Q$ нужно наложить, чтобы такое распределение существовало?

?

Задача 3.170

Пусть $P$ — равномерное распределение на отрезке $[0,1]$ , $Q$ — распределение, приписывающее точкам $-\pi$ и $-\pi +1 / 2$ вероятности $1 / 2$ каждой. Найти распределение $R$ , удовлетворяющее соотношению $R * Q = P$ .

?

Задача 3.171

Пусть $\xi_{0}, \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие равномерное на отрезке $[0,1]$ распределение. Найти плотность распределения случайной величины

\eta _{n} = \prod _{k = 0}^{n} \xi _{k}

?

Задача 3.172

Пусть $\xi_{0}, \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих равномерное на отрезке [ 0,1 ] распределение. Найти распределение случайной величины

\eta = \min \left\{ n: \prod _{k = 0}^{n} \xi _{k} < e^{-\lambda }\right\} .

?

Задача 3.173

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая равномерное на отрезке $[0,1]$ распределение. Найти распределение случайной величины

-\frac{1}{\lambda } \log \xi , \quad \lambda > 0

?

Задача 3.174

Случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром 1. Найти распределение случайной величины $e^{-\xi }$ .

?

Задача 3.175

Случайные величины $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ независимы и имеют одинаковое показательное с параметром $\lambda$ распределение. Доказать, что случайные величины

\max \left\{ \xi _{1}, \ldots , \xi _{n}\right\} \text{ и } \xi _{1}+\frac{\xi _{2}}{2}+\frac{\xi _{3}}{3}+\ldots +\frac{\xi _{n}}{n}

одинаково распределены.

?

Задача 3.176

Пусть $F(x)$ — функция распределения, $F(0) = 0$ и $F(x) < 1$ при некотором $x > 0$ . Доказать, что $F(x)$ является показательной функцией распределения тогда и только тогда, когда

F(x+y)-F(y) = F(x)(1-F(y))

при всех $x, y \geqslant 0$ .

?

Задача 3.177

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение случайной величины $\xi_{1} / \xi_{2}$ .

?

Задача 3.178

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая распределение Коши с плотностью

\frac{b}{\pi \left((x-a)^{2}+b^{2}\right)}, \quad -\infty < x < \infty .

Найти плотность распределения случайной величины $1 / \xi$ .

?

Задача 3.179

Случайная величина $\xi$ имеет равномерное на отрезке $[0,1]$ распределение. Найти плотность распределения случайной величины

\eta = \ln \frac{\xi }{1-\xi } .

?

Задача 3.180

Случайная величина $\xi$ имеет логистическое распределение с плотностью

\frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}, \quad -\infty < x < \infty .

Найти математическое ожидание и медиану $\xi$ .

?

Задача 3.181

Случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0,1]$ . Найти распределение случайной величины

\left(\frac{1}{\xi }\right)^{\alpha } \quad \alpha > 0.

?

Задача 3.182

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем $\xi$ имеет показательное с параметром $\lambda$ распределение, а $\eta$ равномерно распределена на отрезке $[0, h]$ . Найти плотности распределения случайных величин $\xi +\eta$ и $\xi -\eta$ соответственно.

?

Задача 3.183

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем $\xi$ равномерно распределена на отрезке $[0,1]$ , а $\eta$ принимает значения $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ с вероятностями $p_{0}, p_{-1}, p_{1}, \ldots$ соответственно; $p_{0}+p_{-1}+p_{1}+\ldots = 1$ . Найти плотность распределения суммы $\xi +\eta$ .

?

Задача 3.184

Найти плотность распределения суммы $\xi +\eta$ независимых случайных величин $\xi$ и $\eta$ , если $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[a, b]$ , а $\eta$ — равномерное распределение на отрезке $[c, d](a < b, c < d, b-a \leqslant d-c)$ .

?

Задача 3.185

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с одинаковой плотностью распределения

g(x) = \frac{1}{2} e^{-\left|x\right|} .

Найти плотность распределения суммы $\xi +\eta$ .

?

Задача 3.186

(а)(б)

Найти вероятность того, что функция $x^{2}-2 a x+b$ имеет комплексные корни, если коэффициенты $a$ и $b$ являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, имеющими:

?

(а)

равномерное распределение на отрезке $[0, h]$ ,

(б)

показательное распределение с параметром $\alpha$ .

Задача 3.187

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины такие, что сумма $\xi +\eta$ имеет вырожденное распределение. Доказать, что каждая из случайных величин $\xi$ и $\eta$ имеет вырожденное распределение. Можно ли это утверждать, если $\xi$ и $\eta$ зависимы?

?

Задача 3.188

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем случайные величины $\xi +\eta$ и $\xi$ одинаково распределены. Найти распределение случайной величины $\eta$ .

?

Задача 3.189

Сколько нужно произвести бросаний правильной игральной кости, чтобы с вероятностью $1 / 2$ сумма выпавших очков превысила 780?

?

Задача 3.190

Доказать, что в классе распределений операция свертки коммутативна и ассоциативна.

?

Задача 3.191

Доказать, что свертка двух дискретных распределений дискретна.

?

Задача 3.192

Доказать, что свертка непрерывной функции распределения с любой функцией распределения непрерывна.

?

Задача 3.193

Доказать, что свертка абсолютно непрерывного распределения с любым распределением абсолютно непрерывна.

?

Задача 3.194

Доказать, что свертка $n$ раз дифференцируемой функции распределения с любой функцией распределения $n$ раз дифференцируема.

?

Задача 3.195

Доказать, что свертка двух симметричиых распределений симметрична.

?

Задача 3.196

Показать, что свертка двух одновершинных распределений не обязана быть одновершинным распределением.

?

Задача 3.197

Доказать, что свертка двух симметричных одновершинных распределений одновершинна.

?

Задача 3.198

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, из которых по крайней мере одна имеет непрерывное распределение. Доказать, что $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 0$ .

?

Задача 3.199

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ — независимые случайные величины с симметричными распределениями и пусть для некоторого $M > 0$

\mathbb {P}\left(\left|\xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3}\right| \leqslant M\right) = \mathbf{1} .

Доказать, что

\mathbb {P}\left(\left|\xi _{1}\right|+\left|\xi _{2}\right|+\left|\xi _{3}\right| \leqslant M\right) = 1.

?

Задача 3.200

(а)(б)

Для каждой случайной величины $\xi$ положим

s(\xi ) = \inf \left\{ x: x \geqslant 0, \quad \mathbb {P}\left(\left|\xi \right| \leqslant x\right) = 1\right\} .

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины с симметричными распределениями. Доказать, что:

?

(а)

$s\left(\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}\right) = s\left(\xi_{1}\right)+\ldots +s\left(\xi_{n}\right)$ ,

(б)

$s\left(\xi_{1}+\ldots +\xi_{n}\right) = s\left(\left|\xi_{1}\right|+\ldots +\left|\xi_{n}\right|\right)$ .

Задача 3.201

В обозначениях предыдущей задачи (для каждой случайной величины $\xi$ положим $s(\xi ) = \inf \left\{ x: x \geqslant 0, \mathbb {P}\left(\left|\xi \right| \leqslant x\right) = 1\right\}$ ) доказать, что равенства

s\left(\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}\right) = s\left(\xi _{1}\right)+\ldots +s\left(\xi _{n}\right), \qquad s\left(\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}\right) = s\left(\left|\xi _{1}\right|+\ldots +\left|\xi _{n}\right|\right)

справедливы, если $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины (не обязательно симметричные).

?

Задача 3.202

Пусть $\xi$ — случайная величина с равномерным на отрезке $[0,1]$ распределением, а случайная величина $\eta$ не зависит от $\xi$ и принимает значения $1,2,3, \ldots$ с вероятностями $p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots$ соответственно, причем $p_{1}+p_{2}+\ldots = 1, \quad p_{i} \geqslant p_{i+1}, \quad i = 1,2, \ldots$ Доказать, что случайная величина $\xi +\eta$ имеет одновершинное распределопие.

?

Задача 3.203

Пусть $\xi$ — неотрицательная случайная величина. Положим

\xi ^{(x)} = \begin{cases} \xi , & \text{ при } \xi > x, \\ 0, & \text{ при } \xi \leqslant x, \end{cases} \quad x \geqslant 0.

Доказать, что если $\xi$ и $\eta$ — неотрицательные случайные величины с конечными математическими ожиданиями, то

\mathbb {E}\left[(\xi +\eta )^{(x)}\right] \leqslant 2\left(\mathbb {E}\left[\xi ^{\left(\frac{x}{2}\right)}\right]+\mathbb {E}\left[\eta ^{\left(\frac{x}{2}\right)}\right]\right) .

?

Задача 3.204

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, $\eta = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что если для некоторого $c > 0 \quad \mathbb {P}\left(0 < \eta < c\right) = 1$ , то

\mathbb {P}\left(0 < \xi _{i} < c / n\right) = 1

?

Задача 3.205

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем $\mathbb {P}\left(\xi_{i} = 0\right) < 1$ . Положим $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что для любого $c > 0$ существует $n = n(c)$ такое, что

\mathbb {P}\left(\left|\eta _{n}\right| > c\right) > 0

?

Задача 3.206

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных положительных случайных величин, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что для любого $c > 0$ найдется $\alpha = \alpha (c) > 0$ такое, что

\mathbb {P}\left(\eta _{n} \leqslant c\right) \leqslant e^{-\alpha n}

?

Задача 3.207

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, $\mathbb {P}\left(\xi > 0\right) = \mathbb {P}\left(\eta > 0\right) \geqslant 1 / 2$ . Верно ли, что $\mathbb {P}\left(\xi +\eta > 0\right) \geqslant 1 / 2$ ?

?

Задача 3.208

Пусть $\xi$ — целочисленная неотрицательная случайная величина, $\mathbb {P}\left(\xi = 0\right) > 0$ и пусть $\xi = \xi_{1}+\xi_{2}$ , где $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины. Доказать, что $\xi$ могут принимать только целые значения.

?

Задача 3.209

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с решетчатым распределением с шагами а и $b$ . Доказать, что сумма $\xi +\eta$ имеет решетчатое распределение тогда и только тогда, когда $a / b$ — рациональное число.

?

Задача 3.210

Пусть $F(x), F_{1}(x), F_{2}(x)$ — функции распределения, причем $F = F_{1} * F_{2}$ , и пусть $N, n, m$ — число точек разрыва функций $F(x), F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ соответственно. Доказать, что $n+m-1 \leqslant N \leqslant nm$ .

?

Задача 3.211

Пусть $\xi$ и . $\eta$ — независимые случайные величины с плотностями распределения $p(x)$ и $q(x)$ соответственно. Доказать, что плотность распределения суммы $\xi +\eta$ равна

r(x) = \int _{-\infty }^{\infty } p(x-t) q(t) d t = \int _{-\infty }^{\infty } p(t) q(x-t) d t

?

Задача 3.212

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем $\xi$ имеет плотность распределения, нигде не обращающуюся в нуль. Доказать, что плотность распределения суммы $\xi +\eta$ также нигде не обращается в нуль.

?

Задача 3.213

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределенные целочисленные случайные величины, $p_{i} = \mathbb {P}\left(\xi = i\right), \quad i = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ Доказать, что

\mathbb {P}\left(\xi -\eta = 0\right) = \sum _{i = -\infty }^{\infty } p_{i}^{2}

?

Задача 3.214

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины с одинаковой плотностью распределения $p(x)$ . Обозначим $q(x)$ плотность распределения случайной величины $\xi -\eta$ . Доказать, что

q(0) = \int _{-\infty }^{\infty } p^{2}(x) d x

?

Задача 3.215

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ и $\eta_{1}, \ldots , \eta_{n}$ — две совокупности независимых в каждой совокупности случайных величин. Доказать, что если для любого вещественного а и любого $k = 1,2, \ldots , n$

\mathbb {P}\left(\xi _{k} \geqslant a\right) \geqslant \mathbb {P}\left(\eta _{k} \geqslant a\right),

то

\mathbb {P}\left(\xi _{1}+\ldots +\xi _{n} \geqslant a\right) \geqslant \mathbb {P}\left(\eta _{1}+\ldots +\eta _{n} \geqslant a\right) .

?

Задача 3.216

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины. Доказать, что функция концентрации их суммы не превосходит функций концентрации слагаемых:

Q_{\xi +\eta }(x) \leqslant \min \left\{ Q_{\xi }(x), Q_{\eta }(x)\right\}

(определение функции концентрации см. в задаче 3.54).

?

Задача 3.217

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — независимые случайные величины. Доказать, что для любых неотрицательных $x_{1}$ и $x_{2}$

Q_{\xi _{1}}\left(x_{1}\right) Q_{\xi _{2}}\left(x_{2}\right) \leqslant Q_{\xi _{1}+\xi _{2}}\left(x_{1}+x_{2}\right) .

?

Задача 3.218

(теорема И. В. Романовского)Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — независимые случайные величины, $\xi = \xi_{1}+\xi_{2}$ . Доказать, что для любого $x \geqslant 0$

Q_{\xi }(x) \leqslant Q_{\xi _{1}}(x) Q_{\xi _{2}}(x)+\left(1-Q_{\xi _{1}}(x)\right)\left(1-Q_{\xi _{2}}(x)\right) .

?

Задача 3.219

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — независимые случайные величины, $\xi = \xi_{1}+\xi_{2}$ ; пусть для некоторого борелевского множества $A$

\mathbb {P}\left(\xi \in A\right) > 1-\varepsilon , \quad 0 < \varepsilon \leqslant 1

Доказать, что для некоторого вещественного а

\mathbb {P}\left(\xi _{1} \in A+a\right) > 1-\varepsilon .

?

Задача 3.220

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем $\xi$ имеет плотность распределения $p(x)$ . Обозначим $q(x)$ плотность распределения суммы $\xi +\eta$ . Доказать, что

\sup _{x} q(x) \leqslant \sup _{x} p(x) .

?

Задача 3.221

Привести пример случайной величины $\xi$ такой, что ее функция распределения $F(x)$ представима в виде $F = F_{1} * F_{2}$ , где $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ — некоторые невырожденные функции распределения, по не существует двух независимых случайных величин $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ таких, что $\xi_{i}$ имеет функцию распределения $F_{i}(x), i = 1,2$ , и $\xi = \xi_{1}+\xi_{2}$ .

?

Задача 3.222

Пусть $\xi$ — случайная величина, $\mathbb {P}\left(0 < \xi < c\right) = 1, c > 0$ , $\mathbb {E}\left[\xi \right] = a, \operatorname {Var}\left[\xi \right] = b$ . Доказать, что если $b > a$ , то при $n \geqslant c \xi$ не может быть представлена как сумма $n$ независимых одинаково распределенных случайных величин.

?

Задача 3.223

Пусть $\xi$ — случайная величина, принимающая значения $0^{n}, 1^{n}, 2^{n}, \ldots (n \geqslant 2)$ с положительными вероятностями и

\sum _{i = 0}^{\infty } \mathbb {P}\left(\xi = i^{n}\right) = 1

Доказать, что $\xi$ не может быть представлена как сумма двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет невырожденное распределение.

?

Задача 3.224

Пусть случайная величина $\xi$ принимает ровно два значения. Доказать, что она не может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет невырожденное распределение.

?

Задача 3.225

Случайная величина $\xi$ принимает значения $-1,0$ и 1 с вероятностями $p_{1}, p_{2}$ и $p_{3}$ соответственно $\left(p_{1} p_{2} p_{3} > 0, p_{1}+p_{2}+\right. +p_{3} = 1$ ). Какие условия нужно наложить на $p_{1}, p_{2}$ и $p_{3}$ , чтобы распределение $\xi$ было представимо в виде свертки двух одинаковых распределений?

?

Задача 3.226

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем функция распределения $\xi$ строго возрастает. Доказать, что функция распределения суммы $\xi +\eta$ также строго возрастает.

?

Задача 3.227

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые целочисленные случайные величины. Доказать, что

\mathbb {P}\left(\xi +\eta \sqrt{2} = 0\right) = \mathbb {P}\left(\xi = 0\right) \mathbb {P}\left(\eta = 0\right) .

?

Задача 3.228

Вещественные числа $a_{1}, \ldots , a_{n}$ называются рационально независимыми, если ни одно из них не представимо в виде линейной комбинации остальных с рациональными коэффициентами.

Пусть $a_{1}, \ldots , a_{n}$ — рационально независимые числа, $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ независимые случайные величины, принимающие целые значения. Доказать, что для любых вещественных $b_{1}, \ldots , b_{n}$

\mathbb {P}\left(\sum _{i = 1}^{n} a_{i} \xi _{i} = 0\right) \leqslant \mathbb {P}\left(\sum _{i = 1}^{n} b_{i} \xi _{i} = 0\right) .

?

Задача 3.229

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые целочисленные случайные величины, $a_{1}, \ldots , a_{n}$ — рационально независимые числа. Доказать, что

\sup _{x} \mathbb {P}\left(\sum _{i = 1}^{\infty } a_{i} \xi _{i} = x\right) = \prod _{i = 1}^{n} \sup _{x_{i}} \mathbb {P}\left(\xi _{i} = x_{i}\right) .

?

Задача 3.230

(а)(б)

Пусть $\xi$ — целочисленная случайная величина. Положим

V(\xi ) = \sum _{i = -\infty }^{\infty }\left|\mathbb {P}\left(\xi = i\right)-\mathbb {P}\left(\xi = i+1\right)\right| .

?

(а)

Доказать, что $V(\xi ) \leqslant 2$ ,

(б)

пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины. Доказать, что

V(\xi +\eta ) \leqslant \min \left\{ V(\xi ), V(\eta )\right\} .

Задача 3.231

Пусть $\xi$ — неотрицательная случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что

\sum _{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\xi \geqslant n\right) \leqslant \mathbb {E}\left[\xi \right] \leqslant 1+\sum _{n = 1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\xi \geqslant n\right) .

?

Задача 3.232

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечной дисперсией. Доказать, что

\left|m \xi -\mathbb {E}\left[\xi \right]\right| \leqslant \sqrt{2 \operatorname {Var}\left[\xi \right]}

( $m \xi$ — медиана $\xi$ ).

?

Задача 3.233

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$

\mathbb {P}\left(\xi \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \mathbb {E}\left[\max \left\{ 0, \xi \right\} \right] / \varepsilon .

?

Задача 3.234

Пусть $\xi$ — неотрицательная случайная величина, $\mathbb {E}\left[e^{h \xi }\right] < \infty$ , $h > 0$ . Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$

\mathbb {P}\left(\xi \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \mathbb {E}\left[e^{h \xi }\right] / e^{h \xi } .

?

Задача 3.235

Пусть $\xi$ — случайная величина, $f(x)$ — неотрицательная неубывающая функция. Доказать, что для любого вещественного $c$

\mathbb {P}\left(\xi \geqslant c\right) \leqslant \mathbb {E}\left[f(\xi )\right] / f(c) .

?

Задача 3.236

Пусть $\xi$ — случайная величина, $f(x)$ — положительная, не возрастающая при $x \geqslant 0$ функция. Доказать, что для любого $a \geqslant 0$

\mathbb {P}\left(\xi \leqslant a\right) \leqslant \mathbb {E}\left[f(\xi )\right] / f(a)

?

Задача 3.237

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием и конечной дисперсией. Доказать, что для любого $x > 0$

\mathbb {P}\left(\xi \leqslant -x\right) \leqslant \frac{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}{\operatorname {Var}\left[\xi \right]+x^{2}}, \quad \mathbb {P}\left(\xi \geqslant x\right) \leqslant \frac{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}{\operatorname {Var}\left[\xi \right]+x^{2}} .

?

Задача 3.238

(неравенство Гаусса)Случайная величина $\xi$ имеет симметричное одновершинное распределение. Доказать, что для любого $\varepsilon \geqslant 0$

\mathbb {P}\left(\left|\xi \right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{4}{9} \frac{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}{\varepsilon ^{2}} .

?

Задача 3.239

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая одновершинное распределение с вершиной в точке $x_{0}$ и конечную дисперсию. Положим

\tau ^{2} = \operatorname {Var}\left[\xi \right]+\left(x_{0}-\mathbb {E}\left[\xi \right]\right)^{2} .

Доказать, что для любого $\varepsilon \geqslant 0$

\mathbb {P}\left(\left|\xi -x_{0}\right| \geqslant \varepsilon \tau \right) \leqslant \frac{4}{9 \tau ^{2}} .

?

Задача 3.240

Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Положим

s = \frac{\mathbb {E}\left[\xi \right]-x_{0}}{\sqrt{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}} .

Доказать, что для любого $\varepsilon > \left|s\right|$ справедливо неравенство

\mathbb {P}\left(\left|\xi -\mathbb {E}\left[\xi \right]\right| \geqslant \varepsilon \sqrt{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}\right) \leqslant \frac{4\left(1+s^{2}\right)}{9(\varepsilon -\left|s\right|)^{2}} .

?

Задача 3.241

(а)(б)

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины. Доказать, что:

?

(а)

$\frac{1}{2} \mathbb {P}\left(\xi_{1}-m \xi_{1} \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \mathbb {P}\left(\xi_{1}-\xi_{2} \geqslant \varepsilon \right)$ ,

(б)

$\frac{1}{2} \mathbb {P}\left(\left|\xi_{1}-m \xi_{1}\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \mathbb {P}\left(\left|\xi_{1}-\xi_{2}\right| \geqslant \varepsilon \right)$ .

Задача 3.242

Доказать, что для любого вещественного а

\mathbb {P}\left(\left|\xi _{1}-\xi _{2}\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant 2 \mathbb {P}\left(\left|\xi _{1}-a\right| \geqslant \varepsilon / 2\right) .

?

Задача 3.243

(а)(б)

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, причем $\eta$ имеет нулевую медиану. Доказать, что для любого $a$ :

?

(а)

$\mathbb {P}\left(\xi +\eta \geqslant a\right) \geqslant \frac{1}{2} \mathbb {P}\left(\xi \geqslant a\right)$ ,

(б)

$\mathbb {P}\left(\left|\xi +\eta \right| \geqslant a\right) \geqslant \frac{1}{2} \mathbb {P}\left(\left|\xi \right| \geqslant a\right)$ .

Задача 3.244

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — независимые случайные величины. Доказать, что для любых неотрицательных $x_{1}$ и $x_{2}$

\mathbb {P}\left(\left|\xi _{1}\right| \leqslant x_{1}\right) \mathbb {P}\left(\left|\xi _{2}\right| \leqslant x_{2}\right) \leqslant \mathbb {P}\left(\left|\xi _{1}+\xi _{2}\right| \leqslant x_{1}+x_{2}\right) .

?

Задача 3.245

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — случайные величины с конечными математическими ожиданиями, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$

\mathbb {P}\left(\max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|\eta _{k}\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{\sum _{k = 1}^{n} \mathbb {E}\left[\left|\xi _{k}\right|\right]}{\varepsilon } .

?

Задача 3.246

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными абсолютными моментами порядка $k \geqslant 1, \eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$

\mathbb {P}\left(\max _{1 \leqslant j \leqslant n}\left|\eta _{j}\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \frac{\mathbb {E}\left[\left|\eta _{n}\right|^{k}\right]}{\varepsilon ^{k}}

(при $k = 2$ — неравенство Колмогорова).

?

Задача 3.247

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины с симметричными распределениями, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что для любого вещественного $a$

\mathbb {P}\left(\max _{1 \leqslant h \leqslant n} \eta _{k} \geqslant a\right) \leqslant 2 \mathbb {P}\left(\eta _{n} \geqslant a\right) .

?

Задача 3.248

(а)(б)

(неравенства Леви)Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ :

?

(а)

$\mathbb {P}\left(\max_{k \leqslant n}\left(\eta_{k}-m\left(\eta_{k}-\eta_{n}\right)\right) \geqslant \varepsilon \right) \leqslant 2 \mathbb {P}\left(\eta_{n} \geqslant \varepsilon \right)$ ;

(б)

$\mathbb {P}\left(\max_{k \leqslant n}\left|\eta_{k}-m\left(\eta_{k}-\eta_{n}\right)\right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant 2 \mathbb {P}\left(\left|\eta_{n}\right| \geqslant \varepsilon \right)$ ( $m(\cdot )$ — медиана).

Задача 3.249

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что для любого $\varepsilon \geqslant 0$

\mathbb {P}\left(\max _{1 \leqslant k \leqslant n} \eta _{k} \geqslant \varepsilon \right) \leqslant 2 \mathbb {P}\left(\eta _{n} \geqslant \varepsilon -\sqrt{2 \operatorname {Var}\left[\eta _{n}\right]}\right) .

?

Задача 3.250

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины с симметричными распределениями и конечными абсолютными моментами порядка $r \geqslant 1, \eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что

\mathbb {E}\left[\max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|\eta _{k}\right|^{r}\right] \leqslant 2 \mathbb {E}\left[\left|\eta _{n}\right|^{r}\right] .

?

Задача 3.251

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными абсолютными моментами порядка $r \geqslant 1, \eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что

\mathbb {E}\left[\max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|\eta _{k}\right|^{r}\right] \leqslant 2^{2 r+1} \mathbb {E}\left[\left|\eta _{n}\right|^{r}\right] .

?

Задача 3.252

Функция $\varphi (x)$ четна, неотрицательна и не возрастает при $x \geqslant 0$ , $\xi$ и $\eta$ — случайные величины. Доказать, что если при любом $a \geqslant 0$

\mathbb {P}\left(\left|\xi \right| \leqslant a\right) \geqslant \mathbb {P}\left(\left|\eta \right| \leqslant a\right),

то

\mathbb {E}\left[\varphi (\xi )\right] \geqslant \mathbb {E}\left[\varphi (\eta )\right]

и наоборот.

?

Задача 3.253

Доказать неравенство треугольника для расстояния по вариации, то есть доказать, что для любых трех вероятностных распределений $\mathbf{F}, \mathbf{G}$ и $\mathbb {P}$ справедливо неравенство

\operatorname {Var}(\mathbf{F}, \mathbf{G}) \leqslant \operatorname {Var}(\mathbf{F}, \mathbb {P})+\operatorname {Var}(\mathbb {P}, \mathbf{G}) .

Доказать неравенство треугольника для равномерного расстояния $\sup_{x}\left|F(x)-G(x)\right|$ .

?

Задача 3.254

Пусть $\mathbb {P}$ и $\mathbf{Q}$ — абсолютно непрерывные вероятностные распределения, $p(x)$ и $q(x)$ — соответствующие плотности распределения. Доказать, что

\operatorname {Var}(\mathbb {P}, \mathbf{Q}) = \frac{1}{2} \int _{-\infty }^{\infty }\left|p(x)-q(x)\right| d x .

?

Задача 3.255

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно. Доказать, что

\sup _{x}\left|F(x)-G(x)\right| \leqslant \mathbb {P}\left(\xi \neq \eta \right) .

?

Задача 3.256

Найти равномерное расстояние между двумя нормальными распределениями с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ .

?

Задача 3.257

Равномерное расстояние между распределениями случайных величин $\xi$ и $\eta$ равно $\rho$ . Найти равномерное расстояние между распределениями случайных величин $c \xi$ и $c \eta \quad (c \neq 0)$ .

?

Задача 3.258

Найти равномерное расстояние между двумя равномерными распределениями с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ .

?

Задача 3.259

Указать распределение, равноудаленное в равномерной метрике от двух нормальных распределений с математическими ожиданиями $a_{1}$ и $a_{2}$ и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ соответственно.

?

Задача 3.260

Пусть $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ — произвольные функции распределения. Указать функцию распределения $F(x)$ , равноудаленную в равномерной метрике от функций распределения $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ .

?

Задача 3.261

Найти равномерное на отрезке распределение, равноудаленное в равномерной метрике от двух равномерных распределений на отрезках $[-a, a]$ и $[-b, b]$ соответственно.

?

Задача 3.262

Доказать неравенство треугольника для расстояния Леви.

?

Задача 3.263

Найти расстояние Леви между двумя равномерными распределениями с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}\left(\sigma_{1} \leqslant \sigma_{2}\right)$ .

?

Задача 3.264

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно. Доказать, что если

\mathbb {P}\left(\left|\xi -\eta \right| \geqslant \varepsilon \right) \leqslant \varepsilon

для некоторого положительного $\varepsilon > 0$ , то

L(F, G) \leqslant \varepsilon .

?

Задача 3.265

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с вероятностными распределениями $\mathbf{F}$ и $\mathbf{G}$ соответственно. Доказать, что

\operatorname {Var}(\mathbf{F}, \mathbf{G}) \leqslant \mathbb {P}\left(\xi \neq \eta \right) .

?

Задача 3.266

Доказать, что для любых функций распределения $F(x)$ и $G(x)$ справедливы неравенства

L(F, G) \leqslant \sup _{x}\left|F(x)-G(x)\right| \leqslant (1+\beta ) L(F, G),

где $\beta = \sup_{x} G^{\prime }(x)$ , если $G(x)$ дифференцируема, и $\beta = \infty$ в противном случае.

?

Задача 3.267

Доказать, что для любых двух функций распределения $F(x)$ и $G(x)$

L^{2}(F, G) \leqslant \int _{-\infty }^{\infty }\left|F(x)-G(x)\right| d x

?

Задача 3.268

Пусть $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ — две функции распределения с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}$ и $\sigma_{2}^{2}$ соответственно. Доказать, что

L\left(F_{1}, F_{2}\right) \leqslant 2\left(2 \max \left\{ \sigma _{1}, \sigma _{2}\right\} \right)^{2 / 3} .

?

Задача 3.269

Пусть $F(x)$ — функция распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, Ф $(x)$ — стандартная нормальная функция распределения. Доказать, что

\sup _{x}\left|F(x)-\Phi (x)\right| \leqslant 0,5416.

?

Задача 3.270

Доказать, что для любых трех функций распределения $F_{1}(x), F_{2}(x)$ и $G(x)$ справедливо неравенство

\sup _{x}\left|F_{1} * G(x)-F_{2} * G(x)\right| \leqslant \sup _{x}\left|F_{1}(x)-F_{2}(x)\right| .

?

Задача 3.271

Доказать, что для любых трех вероятностных распределений $\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}$ и $\mathbf{G}$ справедливо неравенство

\operatorname {Var}\left[\mathbf{F}_{1} * \mathbf{G}, \mathbf{F}_{2} * \mathbf{G}\right] \leqslant \operatorname {Var}\left[\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}\right] .

?

Задача 3.272

Доказать, что для любых трех функций распределения $F_{1}, F_{2}$ и $G$ справедливо неравенство

L\left(F_{1} * G, \quad F_{2} * G\right) \leqslant L\left(F_{1}, F_{2}\right) .

?

Задача 3.273

Пусть $F_{1}(x), \ldots , F_{n}(x), G_{1}(x), \ldots , G_{n}(x)$ — произвольные функции распределения. Доказать, что

\sup _{x}\left|F_{1} * \ldots * F_{n}(x)-G_{1} * \ldots * G_{n}(x)\right| \leqslant \sum _{i = 1}^{n}\left(\sup _{x}\left|F_{i}(x)-G_{i}(x)\right|\right) .

?

Задача 3.274

Доказать, что для любых вероятностных распределений $\mathbf{F}_{1}(x), \ldots , \mathbf{F}_{n}(x), \mathbf{G}_{1}(x), \ldots , \mathbf{G}_{n}(x)$

\operatorname {Var}\left[\mathbf{F}_{1} * \ldots * \mathbf{F}_{n}, \mathbf{G}_{1} * \ldots * \mathbf{G}_{n}\right] \leqslant \sum _{i = 1}^{n} \operatorname {Var}\left[\mathbf{F}_{i}, \mathbf{G}_{i}\right] .

?

Задача 3.275

Доказать, что для любых функций распределения $F_{1}(x), \ldots , F_{n}(x), \quad G_{1}(x), \ldots , G_{n}(x)$

L\left(F_{1} * \ldots * F_{n}, G_{1} * \ldots * G_{n}\right) \leqslant \sum _{i = 1}^{n} L\left(F_{i}, G_{i}\right)

?

Задача 3.276

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно, $\zeta$ — случайная величина, не зависящая от $\xi$ и $\eta$ и имеющая функцию распределения $H(x)$ . Доказать, что

\sup _{x}\left|F(x)-G(x)\right| \leqslant \sup _{x}\left|F * H(x)-G * H(x)\right|+\mathbb {P}\left(\zeta \neq 0\right) .

?

Задача 3.277

Доказать, что в условиях предыдущей задачи

\operatorname {Var}(\mathbf{F}, \mathbf{G}) \leqslant \operatorname {Var}(\mathbf{F} * \mathbf{H}, \mathbf{G} * \mathbf{H})+\mathbb {P}\left(\zeta \neq 0\right) .

?

Задача 3.278

Каким условиям должны удовлетворять числа $a, b$ и $c$ для того, чтобы при подходящем выборе нормирующего множителя $A$ функция

A \exp \left\{ -\left(a x^{2}+2 b x+c y^{2}\right)\right\}

являлась плотностью распределения вероятностей на плоскости?

?

Задача 3.279

Пусть $\xi$ — случайный вектор, принимающий значения в $\mathbb {R}^{n}$ . Доказать, что

\| \mathbb {E}\left[\xi \right]\| \leqslant \mathbb {E}\left[\| \xi \| \right] .

?

Задача 3.280

Показать, что функция

G(x, y) = \begin{cases} 1, & \text{ при } x+y \geqslant 0, \\ 0, & \text{ при } x+y < 0 \end{cases}

является непрерывной справа, возрастающей по каждой переменной, но не является функцией распределения в $\mathbb {R}^{2}$ . Показать то же самое для функции $G(x, y) = [x+y]$ (целой части $x+y$ ).

?

Задача 3.281

Случайные величины $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ и $\xi_{4}$ независимы. Доказать, что случайные векторы $\eta = \left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)$ и $\zeta = \left(\xi_{3}, \xi_{4}\right)$ независимы. Верно ли обратное?

?

Задача 3.282

Привести пример разрывной двумерной плотности распределения вероятностей, у которой обе маргинальные плотности непрерывны.

?

Задача 3.283

Найти и сравнить маргинальные распределения равномерного распределения в единичном квадрате с равномерным распределением на его диагонали.

?

Задача 3.284

Случайный вектор ( $\xi , \eta$ ) равномерно распределен в квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с осями координат. Найти коэффициент корреляции величин $\xi$ и $\eta$ .

?

Задача 3.285

Пусть ( $\xi , \eta$ ) — случайный вектор, распределение которого сосредоточено на некоторой прямой. Найти коэффициент корреляции величин $\xi$ и $\eta$ .

?

Задача 3.286

Каждая из случайных величин $\xi , \eta , \zeta$ имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию, причем выполнено соотношение

a \xi +b \eta +c \zeta = 0

( $a, b$ и $c$ — вещественные числа, $a b c \neq 0$ ). Найти ковариационную матрицу случайного вектора ( $\xi , \eta , \zeta$ ) и доказать, что

a^{4}+b^{4}+c^{4} \leqslant 2\left(a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}\right)

?

Задача 3.287

Случайные векторы $\xi$ и $\eta$ независимы и каждый из них имеет равномерное распределение в круге единичного радиуса с центром в нуле. Найти плотность распределения суммы $\xi +\eta$ .

?

Задача 3.288

Пусть $\xi = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ и $\eta = \left(\eta_{1}, \ldots , \eta_{n}\right)$ — независимые случайные векторы, принимающие значения в $\mathbb {R}^{n}$ . Доказать, что для любых $x, y \in \mathbb {R}^{n}$ случайные величины $\langle \xi , x\rangle$ и $\langle \eta , y\rangle (\langle \cdot , \cdot \rangle$ — скалярное произведение) независимы.

?

Задача 3.289

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \eta_{1}, \eta_{2}$ — случайные векторы, принимающие значения в $\mathbb {R}^{n}$ причем и $\xi_{1}$ , и $\xi_{2}$ не зависят от $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$ . Будут ли независимыми случайные величины $\left\langle \xi_{1}, \xi_{2} \right\rangle$ и $\left\langle \eta_{1}, \eta_{2} \right\rangle$ ?

?

Задача 3.290

Случайный вектор $\xi = \left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)$ принимает значения $(0,0)$ , $(0,1),(1,0),(1,1),(0,2),(1,2)$ , каждое с вероятностью $1 / 6$ . Найти распределение случайной величины $\langle \xi , e\rangle$ , где $e$ — вектор с координатами (1, 1).

?

Задача 3.291

Случайный вектор $\xi = \left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)$ имеет равномерное распределение в треугольнике с вершинами в точках $(-1,0),(0,1),(1,0)$ .

Найти распределение случайной величины $\langle \xi , e\rangle$ , где $e$ — вектор с координатами (1/2, 1/2).

?

Задача 3.292

Пусть $0 < a \leqslant 1$ и

f(x, y) = ((1+a x)(1+a y)-a) e^{-x-y-a x y}

при $x > 0, y > 0$ и $f(x, y) = 0$ при остальных $x$ и $y$ . Доказать, что $f(x, y)$ — двумерная плотность распределения вероятностей, и найти ее маргинальные распределения.

?

Задача 3.293

Коэффициент корреляции случайных величин $\xi$ и $\eta$ равен единице. Может ли случайный вектор ( $\xi , \eta$ ) иметь плотность распределения?

?

Задача 3.294

Пусть $\xi$ — случайная величина с функцией распределения $F(x)$ . Найти функцию распределения $F_{2}(x, y)$ случайного вектора ( $\xi , \xi$ ).

?

Задача 3.295

Случайная величина $\xi$ имеет плотность распределения. Будет ли иметь плотность распределения случайный вектор $\left(\xi , \xi^{2}, \ldots , \xi^{n}\right)$ ?

?

Задача 3.296

Пусть $\xi$ — случайная величина с функцией распределения $F(x)$ . Найти функцию распределения $F_{2}(x, y)$ случайного вектора $(\xi ,\left|\xi \right|)$ .

?

Задача 3.297

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины с одинаковой функцией распределения $F(x)$ . Положим $\xi = \min \left\{ \xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right\}$ и $\eta = \max \left\{ \xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right\}$ . Найти функцию распределения случайного вектора ( $\xi , \eta$ ).

?

Задача 3.298

Пусть $\xi = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ — случайный вектор, принимающий значения в $\mathbb {R}^{n}, A$ — неслучайная матрица из $m$ строк и $n$ столбцов. Доказать, что

\mathbb {E}\left[A \xi \right] = A(\mathbb {E}\left[\xi \right]) .

?

Задача 3.299

Случайный вектор $\xi$ принимает значения в $\mathbb {R}^{n}$ и имеет дискретное распределение. Доказать, что в $\mathbb {R}^{n}$ найдется вектор $e$ такой, что распределение $\xi$ однозначно восстанавливается по распределению случайной величины $\langle \xi , e\rangle$ .

?

Задача 3.300

Вероятностное распределение в $\mathbb {R}^{n}$ называется сферически симметричным, если оно инвариантно относительно поворотов вокруг нуля.

Пусть случайные векторы $\xi$ и $\eta$ независимы и каждый из них имеет сферически симметричное распределение. Доказать, что их сумма $\xi +\eta$ также имеет сферически симметричное распределение.

?

Задача 3.301

Пусть случайный вектор $\xi = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ имеет сферически симметричное распределение. Доказать, что случайные величины $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ попарно некоррелированы.

?

Задача 3.302

Доказать, что двумерное распределение, сосредоточенное в $n$ точках, полностью определяется своими проекциями на $n+1$ попарно неколлинеарных векторов.

?

Задача 3.303

Привести пример независимых случайных векторов $\xi$ и $\eta$ , принимающих значения в $\mathbb {R}^{n}$ и таких, что при любом $a \in \mathbb {R}^{n} \xi +a$ и $\eta +a$ имеют распределения, не являющиеся сферически симметричными, но распределение их суммы $\xi +\eta$ сферически симметрично.

?

Задача 3.304

Пусть $\varphi_{1}(x, y)$ и $\varphi_{2}(x, y)$ — две нормальные двумерные плотности распределения с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, но разными ковариационными матрицами. Положим

\psi (x, y) = \frac{1}{2}\left(\varphi _{1}(x, y)+\varphi _{2}(x, y)\right) .

Является ли плотность распределения $\psi (x, y)$ нормальной?

?

Задача 3.305

(Продолжение) Являются ли нормальными маргинальные распределения у распределения с плотностью $\psi (x, y)$ ?

?

Задача 3.306

Пусть $u(x)$ — нечетная непрерывная функция на прямой, равная нулю вне интервала $[-1,1]$ , причем $\left|u(x)\right| < \frac{1}{\sqrt{2 \pi e}}$ . Доказать, что функция

f(x, y) = \frac{1}{2 \pi } e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+u(x) u(y)

есть двумерная плотность распределения, которое не является нормальным, но его маргинальные распределения нормальны.

?

Задача 3.307

Пусть $\xi = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ — случайный вектор, принимающий значения в $\mathbb {R}^{n}$ и имеющий нормальное распределение с матрицей ковариаций

A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & & & 0 \\ & \ddots & & \\ 0 & & & 1 \end{smallmatrix}\right]

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины $\langle \xi , e\rangle$ , где $e$ — произвольный единичный вектор в $\mathbb {R}^{n}$ .

?

Задача 3.308

Случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение случайного вектора

\eta = (\ln \left|\xi \right|, \operatorname {sign} \xi ) .

?

Задача 3.309

Доказать, что $n$ -мерный случайный вектор $\xi = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ имеет нормальное распределение тогда и только тогда, когда для любого набора $n$ вещественных чисел $c_{1}, \ldots , c_{n}$ линейная комбинация

\sum _{i = 1}^{n} c_{i} \xi _{i}

имеет нормальное распределение в $\mathbb {R}^{1}$ .

?

Задача 3.310

Доказать, что если случайный вектор $\xi = \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ распределен нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей, то случайная точка, представляющая собой конец вектора $\xi /\| \xi \|$ , равномерно распределена на единичной сфере в $\mathbb {R}^{n}$ . Доказать, что то же самое справедливо для любого случайного вектора, имеющего сферически симметричное распределение.

?

Задача 3.311

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины,

\mathbb {E}\left[e^{i t \xi _{j}}\right] = f(t), \quad j = 1,2,3, \quad -\infty < t < \infty .

Найти

\mathbb {E}\left[e^{i\left(u\left(\xi _{2}-\xi _{1}\right)+v\left(\xi _{3}-\xi _{1}\right)\right)}\right], \quad -\infty < u, v < \infty .

?

Задача 3.312

Доказать, что для того чтобы квадратная матрица размера $n \times n$ была ковариационной матрицей некоторого $n$ -мерного вероятностного распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была симметрична и неотрицательно определена.

?

Задача 3.313

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с коэффициентом корреляции $\rho$ . Доказать справедливость следующего двумерного аналога неравенства Чебышёва:

\mathbb {P}\left(\left|\xi -\mathbb {E}\left[\xi \right]\right| \geqslant \varepsilon \sqrt{\operatorname {Var}\left[\xi \right]} \text{ или }\left|\eta -\mathbb {E}\left[\eta \right]\right| \geqslant \varepsilon \sqrt{\operatorname {Var}\left[\eta \right]}\right) \leqslant \frac{1}{\varepsilon ^{2}}\left(1+\sqrt{1-\rho ^{2}}\right) .

?

Задача 3.314

Пусть

A =\left[\begin{smallmatrix} \xi _{11}, \ldots , \xi _{1 n} \\ \cdots , \\ \xi _{n_{1}}, \ldots , \xi _{n n} \end{smallmatrix}\right], \quad n \geqslant 2,

матрица, составленная из случайных величин, имеющих одинаковое конечное математическое ожидание. Обозначим $\left|A\right|$ определитель матрицы $A$ . Доказать, что если строки матрицы независимы, то есть случайные векторы $\xi_{1} = \left(\xi_{11}, \ldots , \xi_{1 n}\right), \ldots , \xi_{n} = \left(\xi_{n 1}, \ldots , \xi_{n n}\right)$ независимы, то математическое ожидание определителя равно нулю: $\mathbb {E}\left[\left|A\right|\right] = 0$ . Верно ли обратное? Будет ли справедливо утверждение задачи в том случае, когда элементы матрицы имеют различные математические ожидания?

?

Задача 3.315

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, $\mathbb {P}\left(\xi_{i} = j\right) = 1 / N, j = 1,2, \ldots , N$ . Найти вероятность $\mathbb {P}\left(\xi_{1} = \ldots = \xi_{n}\right)$ .

?

Задача 3.316

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения $1,2, \ldots , N$ , $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что

\mathbb {P}\left(\eta _{n} \text{ делится на } n\right) \geqslant 1 / N^{n-1} \text{. }

?

Задача 3.317

(а)(б)(в)(г)

Пусть $a, b$ и $c$ — независимые случайные величины, $a$ и $b$ имеют равномерное распределение на отрезке $[-1,1]$ , а $c$ принимает значения $-1,0,1$ с вероятностями $1 / 4,1 / 2,1 / 4$ соответственно. Найти вероятность того, что (случайная) функция $f(x)$ не убывает при $x \geqslant 0$ , если:

?

(а)

$f(x) = \frac{x}{2}+a \sin x ;$

(б)

$f(x) = \exp \left\{ a x-b x^{2}\right\}$ ;

(в)

$f(x) = \cos c x ;$

(г)

$f(x) = (a b+c) x$ .

Задача 3.318

Пусть $\xi$ — случайная величина с медианой $m \xi$ . Доказать, что для любого вещественного $a$ $m(a \xi ) = a m \xi$ .

?

Задача 3.319

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — случайные величины с функциями распределения $F_{1}(x)$ и $F_{2}(x)$ соответственно. Доказать, что если $F_{1}(x) \leqslant \leqslant F_{2}(x)$ для всех $x$ , то

\mathbb {E}\left[\max \left\{ x, \xi _{1}\right\} \right] \geqslant \mathbb {E}\left[\max \left\{ x, \xi _{2}\right\} \right] .

?

Задача 3.320

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными третьими моментами. Доказать, что

\mathbb {E}\left[(\xi _{1}+\ldots +\xi _{n})^{3}\right] = \mathbb {E}\left[\xi _{1}^{3}\right]+\ldots +\mathbb {E}\left[\xi _{n}^{3}\right] .

?

Задача 3.321

Пусть $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — независимые случайные величины, $\xi = \xi_{1}+\xi_{2}, \lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ — медианы распределений $\xi_{1}$ и $\xi_{2}, y_{1}$ и $y_{2}$ — соответственно нижняя и верхняя квартили распределения случайной величины $\xi$ , то есть $y_{1}$ — число, удовлетворяющее условию

\mathbb {P}\left(\xi < y_{1}\right) \leqslant \frac{1}{4} \leqslant \mathbb {P}\left(\xi \leqslant y_{1}\right)

а $y_{2}$ — число, удовлетворяющее условию

\mathbb {P}\left(\xi < y_{2}\right) \leqslant \frac{3}{4} \leqslant \mathbb {P}\left(\xi \leqslant y_{2}\right) .

Доказать, что

y_{1} \leqslant \lambda _{1}+\lambda _{2} \leqslant y_{2} .

?

Задача 3.322

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией $\sigma^{2}$ . Положим

\bar{\xi } = \frac{\xi _{1}+\ldots +\xi _{n}}{n} .

Найти математическое ожидание случайной величины

\frac{1}{n-1} \sum _{k = 1}^{n}\left(\xi _{k}-\bar{\xi }\right)^{2} .

?

Задача 3.323

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечной дисперсией. Доказать, что

\mathbb {P}\left(-3,2 < \frac{\xi -\mathbb {E}\left[\xi \right]}{\sqrt{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}} < 3,2\right) > 0,9.

?

Задача 3.324

Пусть $\xi$ — случайная величина и

a = \mathbb {E}\left[\xi \right], \quad 0 < b = \left(\mathbb {E}\left[(\xi -a)^{10}\right]\right)^{1 / 10} .

Доказать, что

\mathbb {P}\left(-2 < \frac{\xi -a}{b} < 2\right) > 0,999.

?

Задача 3.325

Пусть $\xi$ — случайная величина с математическим ожиданием а и дисперсией $\sigma^{2}$ . Доказать, что вероятность того, что $\xi$ отклонится от $a$ больше чем на $3 \sigma$ , не превосходит 1/9.

?

Задача 3.326

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины с конечными моментами второго порядка. Доказать, что

\mathbb {E}\left[(\eta -a \xi -b)^{2}\right] \geqslant \mathbb {E}\left[(\eta -a_{0} \xi -b_{0})^{2}\right] = \left(1-\rho ^{2}\right) \cdot \operatorname {Var}\left[\eta \right]

для любых вещественных $a$ и $b$ , где

a_{0} = \frac{\operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right]}{\operatorname {Var}\left[\xi \right]}, \quad b_{0} = \mathbb {E}\left[\eta \right]-a_{0} \mathbb {E}\left[\xi \right], \quad \rho = \operatorname {Cov}\left[ \xi , \eta \right]

и $a_{0} = 0$ , если $\operatorname {Var}\left[\xi \right] = 0$ .

?

Задача 3.327

Доказать, что последовательность моментов любой непрерывной функции распределения $F(x)$ положительно определена, то есть для любого целого положительного $m$ и любых вещественных $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{m}$

\sum _{i, k = 0}^{m} \alpha _{i+k} x_{i} x_{k} > 0,

где

\alpha _{l} = \int _{-\infty }^{\infty } x^{l} d F(x) .

?

Задача 3.328

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке $[0,1]$ , и пусть $v$ — случайная величина, равная тому $k$ , при котором впервые сумма $\eta_{k} = \xi_{1}+\ldots \ldots +\xi_{k}$ превосходит единицу. Найти $\mathbb {E}\left[v\right]$ .

?

Задача 3.329

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая симметричное распределение и принимающая не менее трех значений. Доказать, что на том же вероятностном пространстве найдутся независимые невырожденные случайные величины $\eta$ и $\zeta$ такие, что $\xi = \eta \cdot \zeta$ .

?

Задача 3.330

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины. Доказать, что если для любой непрерывной ограниченной функции $f(x)$

\mathbb {E}\left[f(\xi )\right] = \mathbb {E}\left[f(\eta )\right],

то $\xi$ и $\eta$ одинаково распределены.

?

Задача 3.331

Имеется $n$ шаров, среди которых $k$ белых и $n-k$ черных. Наудачу выбирается $v$ шаров, где $v$ — случайная величина, принимающая значения от 1 до $n$ с равными вероятностями. Найти математическое ожидание числа белых шаров среди отобранных.

?

Задача 3.332

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, таких, что $\mathbb {P}\left(\xi_{i} = \xi_{j}\right) = 0$ при $i \neq j$ . Положим $\zeta_{j i} = 1$ , если $\xi_{j} \leqslant \xi_{i}$ , и $\zeta_{j i} = 0$ в остальных случаях, $i, j = 1,2, \ldots$ Пусть

\eta _{i} = \sum _{j = 1}^{i} \zeta _{j i}, \quad i = 1,2, \ldots

Доказать, что $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины. Найти распределение $\eta_{i}$ .

?

Задача 3.333

(а)(б)

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве. Расстоянием Ки-Фана между $\xi$ и $\eta$ называется точная нижняя грань таких положительных $\varepsilon$ , что $\mathbb {P}\left(\left|\xi -\eta \right| > \varepsilon \right) < \varepsilon$ .

На вероятностном пространстве ( $\Omega , \mathscr {A}, P$ ), представляющем собой отрезок $[0,1]$ с $\sigma$ -алгеброй борелевских подмножеств в качестве $\mathscr {A}$ и мерой Лебега в качестве $\mathbb {P}$ заданы две случайные величины $\xi$ и $\eta$ . Найти между ними расстояние Ки-Фана, если:

?

(а)

$\xi = \xi (\omega ) = \begin{cases} 1, & \text{ при } 0 \leqslant \omega \leqslant 1 / 2, \\ 0, & \text{ при } 1 / 2 < \omega \leqslant 1, \end{cases} \quad \eta = \eta (\omega ) = \begin{cases} 0, & \text{ при } 0 \leqslant \omega \leqslant 1 / 2, \\ 1, & \text{ при } 1 / 2 < \omega \leqslant 1. \end{cases}$

(б)

$\xi = \xi (\omega ) = \omega , \quad \eta = \eta (\omega ) = \omega / 2$ .

Задача 3.334

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием, а случайная величина $\nu$ не зависит от $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ и принимает целые положительные значения. Положим $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}$ . Доказать, что $\mathbb {E}\left[\eta_{\nu }\right] = \mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] \cdot \mathbb {E}\left[\nu \right]$ .

?

Задача 3.335

Пусть

A =\left[\begin{smallmatrix} \xi _{11} & \ldots & \xi _{1 n} \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \xi _{n 1} & \ldots & \xi _{n n} \end{smallmatrix}\right]

матрица, элементами которой являются независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями $\sigma^{2}$ . Найти математическое ожидание и дисперсию определителя матрицы $A$ .

?

Задача 3.336

(теорема Бирнбаума) Пусть $\xi , \eta , \zeta$ — случайные величины, причем $\zeta$ не зависит от $\xi$ и $\eta$ и имеет симметричное одновершинное распределение. Доказать, что если

\mathbb {P}\left(\left|\xi \right| \leqslant t\right) \geqslant \mathbb {P}\left(\left|\eta \right| \leqslant t\right)

для любого $t \geqslant 0$ , то

\mathbb {P}\left(\left|\xi +\zeta \right| \leqslant t\right) \geqslant \mathbb {P}\left(\left|\eta +\zeta \right| \leqslant t\right) .

?

Задача 3.337

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ и $\eta_{1}, \ldots , \eta_{n}$ — две совокупности независимых в каждой совокупности случайных величин, имеющих симметричные одновершинные распределения. Доказать, что если

\mathbb {P}\left(\left|\xi _{k}\right| \leqslant t\right) \geqslant \mathbb {P}\left(\left|\eta _{k}\right| \leqslant t\right)

для любого $t \geqslant 0$ и всех $k = 1,2, \ldots , n$ , то

\mathbb {P}\left(\left|\sum _{k = 1}^{n} \xi _{k}\right| \leqslant t\right) \geqslant \mathbb {P}\left(\left|\sum _{k = 1}^{n} \eta _{k}\right| \leqslant t\right) .

?

Задача 3.338

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины, $\eta_{n} = \xi_{1}+\ldots +\xi_{n}, F_{n}(x)$ — функция распределения $\eta_{n}, F\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) = \mathbb {P}\left(\eta_{1} \leqslant x_{1}, \ldots , \eta_{n} \leqslant x_{n}\right)$ . Доказать, что

F\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \geqslant \prod _{k = 1}^{n} F_{k}\left(x_{k}\right)

для любых $x_{1}, \ldots , x_{n}$ .

?

Задача 3.339

Доказать, что ни при каком целом положительном $n \geqslant 2$ ни на каком вероятностном пространстве не существует трех положительных целочисленных случайных величин $\xi , \eta , \zeta$ , каждая из которых приписывает всем числам $1,2, \ldots$ положительные вероятности, таких, что $\xi$ и $\eta$ независимы и

\xi ^{n}+\eta ^{n} = \zeta ^{n}

?

Задача 3.340

Правомерно ли следующее рассуждение: «От дома до работы 1 км, хожу я в среднем со скоростью $5 \text{ км/час}$ , следовательно, в среднем на дорогу у меня будет уходить 12 мин»?

?

Распределения случайных величин