Основные понятия теории вероятностей

Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет два раза подряд. Построить вероятностное пространство. Найти вероятность того, что число подбрасываний не превосходит 5.

Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока оша два раза подряд не выпадет одной стороной. Построить вероятностное пространство. Найти вероятность того, что число подбрасываний будет четным.

Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока герб не появится $r$ раз. Построить вероятностное пространство. Сколько элементарных событий будет содержать событие эксперимент заканчивается после $n$-го подбрасывания?

На отрезке [ 0,1 ] случайным образом выбирается точка. Пусть событие $A_{n}$ означает, что точка выбрана из полуинтервала $\left[0, \frac{n}{n+1}\right)$, событие $B_{n}$ — что точка выбрана из интервала $\left(0, \frac{1}{n}\right)$. Что означают события $\bigcup_{n = 1}^{\infty } A_{n}$ и $\bigcap_{n = 1}^{\infty } B_{n}$ ?

Доказать, что каждая алгебра является полуалгеброй.

Привести пример полуалгебры, не являющейся алгеброй.

Привести пример алгебры, не являющейся $\sigma$-алгеброй.

Пусть $\Omega = \left\{ 0,1,2\right\}$. Привести примеры $\sigma$-алгебр, содержащих множества $A = \left\{ 0,1\right\}$ и $B = \left\{ 1,2\right\}$.

Описать $\sigma$-алгебру подмножеств отрезка $[0,1]$, порожденную множествами:

Пусть $\Omega$ — несчетное множество. Описать $\sigma$-алгебру, порожденную:

Доказать, что всякая конечная $\sigma$-алгебра подмножеств пространства $\Omega$ порождается некоторым конечным разбиением $\Omega$.

Пусть $\mathscr {B}_{1}$ и $\mathscr {B}_{2}$ — две $\sigma$-алгебры подмножеств пространства $\Omega$. Являются ли $\sigma$-алгебрами классы множеств:

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — последовательность непересекающихся подмножеств пространства $\Omega$. Определить мощность $\sigma$-алгебры, порожденной этой последовательностью.

Доказать, что если $\mathscr {A}_{1}, \mathscr {A}_{2}, \ldots$ — неубывающая последовательность $\sigma$-алгебр, то $\mathscr {A} = \bigcup_{n = 1}^{\infty } \mathscr {A}_{n}$ — алгебра.

Может ли число всех событий какого-либо вероятностного пространства быть равным $129 ; 130 ; 128$ ?

Пусть $\mathscr {A}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств пространства $\Omega$. Доказать, что если $\mathscr {A}$ бесконечно, то существует счетная последовательность непустых непересекающихся элементов $\mathscr {A}$.

Доказать, что для любого пространства $\Omega$ никакая $\sigma$-алгебра его подмножеств не может иметь счетную мощность.

Может ли число элементарных событий быть строго больше, чем число всех событий?

Может ли быть:

Число элементарных событий некоторого вероятностного пространства равно $n$. Указать минимальное и максимальное возможные значения для числа событий.

Описать $\sigma$-алгебру, порожденную:

Образует ли б-алгебру множество всех событий, вероятности которых выражаются рациональными числами.

Доказать, что:

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — последовательность событий. Доказать, что события $\limsup A_{n}$ и $\liminf A_{n}$ принадлежат $\sigma$-алгебре, порожденной этой последовательностью.

Доказать следующие соотношения:

$\lim \sup A_{n} \cap \lim \inf B_{n} \subset \lim \sup \left(A_{n} \cap B_{n}\right) \subset \lim \sup A_{n} \cap \lim \sup B_{n}$.

Пусть $A_{1} \supset A_{2} \supset \ldots$ — невозрастающая последовательность событий. Доказать, что

Пусть $A_{1} \subset A_{2} \subset \ldots$ — неубывающая последовательность событий. Доказать, что

Доказать, что

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, P$) — произвольное вероятностное пространство. Доказать, что множество значений функции $\mathbb {P}\left(A\right), A \in \mathscr {A}$ представляет собой замкнутое подмножество отрезка $[0,1]$.

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$) — неатомическое вероятностное пространство. Доказать, что множество значений функции $\mathbb {P}\left(A\right)$ есть весь отрезок $[0,1]$.

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, P$) — вероятностное пространство. Назовем события $A$ и $B$ эквивалентными, если $\mathbb {P}\left(A \Delta B\right) = 0$. Пусть $\mathfrak {B}$ — множество классов эквивалентных событий. Для любых двух классов эквивалентных событий $\mathscr {B}_{1}$ и $\mathscr {B}_{2}$ положим

где $B_{1}$ и $B_{2}$ — произвольные представители классов $\mathscr {B}_{1}$ и $\mathscr {B}_{2}$ соответственно. Доказать, что $\rho$ — метрика на $\mathscr {F}$ и что $\mathscr {B}$ с таким образом введенной метрикой представляет собой полное метрическое пространство.

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$) — вероятностное пространство, причем $\mathscr {A}$ порождено некоторой алгеброй $\mathscr {B}$. Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ и любого $A \in \mathscr {A}$ существует такое $B \in \mathscr {B}$, что $\mathbb {P}\left(A \Delta B\right) \leqslant \varepsilon$.

Привести пример последовательности событий $A_{1}, A_{2}, \ldots$ такой, что $\mathbb {P}\left(A_{n}\right) \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \infty$, по

для любого $n$.

Доказать, что для любой последовательности событий $A_{1}, A_{2}, \ldots$

Справедливы ли следующие соотношения:

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — последовательность событий такая, что

Доказать, что $\mathbb {P}\left(\limsup A_{n}\right) = 0$.

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — последовательность событий. Верно ли, что если $\liminf \mathbb {P}\left(A_{n}\right) > 0$, то $\mathbb {P}\left(\lim \inf A_{n}\right) > 0$ ?

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ и $B_{1}, B_{2}, \ldots$ — две последовательности событий, причем $\mathbb {P}\left(B_{n}\right) \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что

при условии, что хотя бы один из указанных пределов существует.

Пусть $A_{4}, A_{2}, \ldots$ и $B_{1}, B_{2}, \ldots$ — две последовательности событий, причем $\mathbb {P}\left(B_{n}\right) \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что если

то

Можно ли отказаться от условия (1)?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, определенные на одном и том же вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$). Доказать, что множества

являются событиями.

Пусть $(\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство, $\xi (\omega )$ определенная на $\Omega$ вещественная функция такая, что для каждого вещественного $c$ множество

является событием. Обязана ли $\xi$ быть случайной величиной?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве. Доказать, что следующие функции являются случайными величинами:

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$) — вероятностное пространство, $\xi (\omega )$ — вещественная функция, определенная на $\Omega$. Обязана ли $\xi$ быть случайной величиной, если случайной величиной является:

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, определенных на одном вероятностном пространстве. Доказать, что функции $\inf \xi_{n}$ и $\sup \xi_{n}$ являются случайными величинами.

Пусть $\mathfrak {M}$ — несчетное семейство случайных величин. Обя$^{n}$ заны ли функции $\inf \xi$ и $\sup \xi$ быть случайными величинами?

Доказать, что если $\xi$ — случайная величина, а $f(x)$ — борелевская функция, то $\eta = f(\xi )$ — случайная величина.

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — случайные величины, определенные на одном вероятностном пространстве, $\varphi \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ — вещественная борелевская функция $n$ переменных. Доказать, что функция $\varphi \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ является случайной величиной.

Пусть $A$ и $B$ — события одного вероятностного пространства, $I_{A}$ и $I_{B}$ — их индикаторы. Доказать, что

В урне 3 белых и 2 черных шара. Эксперимент состоит в последовательном извлечении всех шаров из урны. Построить вероятностное пространство. Описать $\sigma$-алгебру, порожденную случайной величиной $\xi$, если:

Вероятностное пространство ($\Omega , \mathscr {A}, P$) представляет собой отрезок $[0,1]$ с $\sigma$-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега. Описать $\sigma$-алгебру, порожденную случайной величиной $\xi$, если:

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$) — вероятностное пространство, причем $\Omega$ — вещественная прямая, а $\mathscr {A}$ — $\sigma$-алгебра борелевских множеств. Описать $\sigma$-алгебру, порожденную случайной величиной $\xi = \cos \omega$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность случайных величин, определенных на одном вероятностном пространстве. Доказать, что следующие множества являются событиями:

Привести пример нетривиального вероятностного пространства ($\Omega , \mathscr {A}, P$) и случайной величины $\xi$ на нем, таких, что любая случайная величина $\eta$, определенная на этом вероятностном пространстве, является борелевской функцией от $\xi$.

На вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$), представляющем собой отрезок $[0,1]$ с $\sigma$-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, определена последовательность случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ следующим образом: $\xi_{n} = \omega^{n}$. Положим $A_{n} = \left\{ \omega \in \Omega : \xi_{n} \leqslant 1 / n\right\}$. Найти $\bigcup_{n = 1}^{\infty } A_{n}$ и $\bigcap_{n = 1}^{\infty } A_{n}$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ - эквивалентные случайные величины, то есть $\mathbb {P}\left(\xi \neq \eta \right) = 0$. Доказать, что если существует $\mathbb {E}\left[\xi \right]$, то существует $\mathbb {E}\left[\eta \right]$ и Е $\xi = \mathbb {E}\left[\eta \right]$.

Доказать, что $\mathbb {E}\left[\xi^{2}\right] = 0$ равносильно $\mathbb {P}\left(\xi = 0\right) = 1$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины. Доказать, что если существует $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ и $\mathbb {E}\left[\eta \right]$; то существует $\mathbb {E}\left[\max \left\{ \xi , \eta \right\} \right]$. Верно ли обратное?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины. Доказать, что если существует $\mathbb {E}\left[\max \left\{ \xi , \eta \right\} \right]$ и $\mathbb {E}\left[\min \left\{ \xi , \eta \right\} \right]$, то существуют $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ и $\mathbb {E}\left[\eta \right]$, причем

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — случайные величины, имеющие конечные математические ожидания. Доказать, что

и

Привести пример случайных величин $\xi$ и $\eta$, таких, что Е$\xi$ и Е $\eta$ существуют, а Е$\xi \eta$ не существует.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность неотрицательных случайных величин. Доказать, что

если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \xi_{n}$ сходится с вероятностью 1.

Пусть $\eta , \xi , \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — случайные величины на ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$), такие, что при каждом $\omega \xi_{n} \rightarrow \xi$ при $n \rightarrow \infty$. Известно, что $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right]$ не обязательно сходится к $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ (даже если Е$\xi$ существует). Доказать, что $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right]$, если выполнено одно из условий:

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — последовательность независимых событий. Доказать, что

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — последовательность независимых событий. Доказать, что для сходимости ряда

необходимо и достаточно, чтобы

Можно ли условие независимости заменить условием попарной независимости событий $A_{1}, A_{2}, \ldots$ ?

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$) — вероятностное пространство такое, что для любого события $A$ множество всех событий, не зависящих от $A$, образует алгебру. Доказать, что в этом случае из попарной независимости любого набора событий следует их независимость.

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$) — вероятностное пространство. Доказать, что для того, чтобы все события на нем были попарно независимы, необходимо и достаточно, чтобы каждое событие имело вероятность, равную 0 или 1.

Является ли транзитивным отношение независимости на множестве событий произвольного вероятностного пространства?

Является ли транзитивным отношение зависимости на множестве событий произвольного вероятностного пространства?

Доказать, что для того чтобы отношение независимости на некотором вероятностном пространстве было транзитивным, необходимо и достаточно, чтобы каждое событие этого вероятностного пространства имело вероятность 0 или 1.

События $A$ и $B$ называются $\varepsilon$-независимыми, если

Доказать, что если $A \varepsilon$-независимо с самим собой, то либо $\mathbb {P}\left(A\right) \leqslant \leqslant 2 \varepsilon$, либо $\mathbb {P}\left(A\right) \geqslant 1-2 \varepsilon$.

Пусть событие $A$ таково, что $\mathbb {P}\left(A\right) \leqslant \varepsilon$ или $\mathbb {P}\left(A\right) \geqslant 1-\varepsilon$. Доказать, что $A$ и любое событие $B$ с-независимы.

Пусть $A$ и $B$ — е-независимые события. Доказать, что события:

Пусть $\mathscr {A}_{1}$ и $\mathscr {A}_{2}$ — независимые полуалгебры. Доказать, что порожденные ими алгебры также независимы.

Пусть $\mathscr {A}_{1}$ и $\mathscr {A}_{2}$ — независимые алгебры. Доказать, что порожденные ими $\sigma$-алгебры также независимы.

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, P$) — вероятностное пространство, $\mathscr {B}_{1}$ и $\mathscr {B}_{2}$ две под-б-алгебры $\mathscr {A}$, причем $\mathscr {B}_{1} \subset \mathscr {B}_{2}$. Могут ли $\mathscr {B}_{1}$ и $\mathscr {B}_{2}$ быть независимыми, если $\mathscr {B}_{1}$ содержит событие, вероятность которого отлична от 0 и 1?

Доказать, что объединение двух независимых $\sigma$-алгебр, каждая из которых содержит событие, вероятность которого отлична от 0 и 1 , не может быть алгеброй.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины. Обязаны ли они быть независимыми, если независимы случайные величины $\xi^{2}$ и $\eta^{2}$ ?

Пусть $\xi , \eta$ и $\zeta$ — случайные величины, причем $\xi$ не зависит от $\eta +\xi$. Верно ли, что $\xi$ не зависит от $\eta$ и от $\zeta$ ?

Доказать, что случайная величина не зависит от самой себя тогда и только тогда, когда она с вероятностью 1 равна постоянной.

Какие условия нужно наложить на $\xi$, чтобы случайные величины $\xi$ и $\sin \xi$ были независимы?

Пусть на вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$), представляющем собой отрезок $[0,1]$ с $\sigma$-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, заданы случайные величины $\xi$ и $\eta$. Будут ли $\xi$ и $\eta$ независимы, если:

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, P$) — вероятностное пространство, причем $\Omega$ состоит ровно из $n$ точек, каждая из которых имеет положительную вероятность. Доказать, что на этом вероятностном пространстве не существует двух независимых случайных величин, каждая из которых принимает $n$ различных значений.

Пусть ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$) — вероятностное пространство такое, что $\mathscr {A}$ содержит ровно $n$ событий, $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n-1}$ — попарно независимые случайные величины, определенные на этом вероятностном пространстве. Доказать, что по крайней мере одна из них есть с вероятностью единица постоянная.

Определим вероятностное пространство ($\Omega , \mathscr {A}, P$) следующим образом: $\Omega = \left\{ 1,2,3\right\} , \mathscr {A}$ — множество всех подмножеств $\Omega$, $\mathbb {P}\left(1\right) = \mathbb {P}\left(2\right) = \mathbb {P}\left(3\right) = 1 / 3$. Доказать, что на этом вероятностном пространстве нельзя определить две независимые случайные величины, каждая из которых принимает по крайней мере два значения.

Вероятностное пространство ($\Omega , \mathscr {A}, P$) определено следующим образом: $\Omega = \left\{ 1,2,3,4\right\} , \mathscr {A}$ — множество всех подмножеств $\Omega , \mathbb {P}\left(1\right) = \mathbb {P}\left(2\right) = \mathbb {P}\left(3\right) = \mathbb {P}\left(4\right) = 1 / 4$. Построить на этом вероятностном пространстве две независимые случайные величины, не равные с вероятностью единица постоянным.

Существует ли на вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$), представляющем собой отрезок $[0,1]$ с $\sigma$-алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега, случайная величина, не равная с вероятностью единица постоянной и не зависящая от случайной величины $\xi (\omega ) = \omega$ ?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины. Доказать, что случайные величины $\min \left\{ 1, \xi \right\}$ и $\min \left\{ 1, \eta \right\}$ независимы.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, причем для любых вещественных $a$ и $b$ случайные величины $\min \left\{ a, \xi \right\}$ и $\min \left\{ b, \eta \right\}$ независимы. Доказать, что $\xi$ и $\eta$ независимы.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, $f(x)$ п $g(x)$ — борелевские функции. Доказать, что случайные величины $f(\xi )$ и $g(\eta )$ независимы.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — зависимые случайные величины, $f(x)$ и $g(x)$ — борелевские функции. Могут ли случайные величины $f(\xi )$ и $g(\eta )$ быть независимыми? Изменится ли ответ, если дополнительно предположить, что $f(\xi )$ и $g(\eta )$ имеют невырожденные распределения?

Может ли существовать случайная величина $\xi$ и две борелевские функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что случайные величины $f(\xi )$ и $g(\xi )$ независимы и имеют невырожденные распределения? Изменится ли ответ, если дополнительно предположить, что $f$ и $g$ строго монотонные функции?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, $\mathbb {P}\left(\xi > 0\right) = \mathbb {P}\left(\eta > 0\right) = 3 / 4, \mathbb {P}\left(\xi +\eta > 0\right) = 1 / 2$. Доказать, что $\xi$ и $\eta$ зависимы.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределенные случайные величины, $p = \mathbb {P}\left(\xi > 0\right), q = 1-p$. Доказать, что $p^{2} \leqslant \leqslant \mathbb {P}\left(\xi +\eta > 0\right) \leqslant 1-\eta^{2}$.

Пусть $\xi , \eta$ и $\zeta$ — случайные величины, причем $\xi$ не зависит от $\eta$ и от $\zeta$. Верно ли, что $\xi$ не зависит от $\eta +\zeta$ ?

Пусть $\xi , \eta$ и $\zeta$ — независимые в совокупности случайные величины. Будут ли независимыми случайные величины $\xi$ и $\eta +\xi$ ? Изменится ли ответ, если предположить лишь попарную независимость $\xi , \eta$ и $\zeta ?$

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины, $\varphi \left(x_{1}, \ldots , x_{k}\right)$ и $\psi \left(x_{1}, \ldots , x_{n-k}\right)$ — борелевские функции $k$ и $n-k$ аргументов соответственно. Доказать, что случайные величины $\varphi \left(\xi_{1}, \ldots , \xi_{h}\right)$ и $\psi \left(\xi_{h+1}, \ldots , \xi_{n}\right)$ независимы.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин, определенных на некотором вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$). Доказать, что на этом же вероятностном пространстве существует двойная последовательность случайных величин

удовлетворяющая следующим условиям:

1. все $\xi_{i j}$ припимают не более чем счетное число значений;

2. при каждом $k \xi_{1 k}, \xi_{2 k}, \ldots$ независимы;

3. при каждом $n$ последовательность $\xi_{n k}$ равномерно по $\omega$ сходится при $k \rightarrow \infty$ к $\xi_{n}$.

Существуют ли случайные величины $\xi$ и $\eta$ такие, что $\xi$ и $\eta$ не равны с вероятностью единица постоянным и:

Показать, что из равенства $\mathbb {E}\left[\xi \eta \right] = \mathbb {E}\left[\xi \right] \mathbb {E}\left[\eta \right]$ не следует, вообще говоря, независимость $\xi$ и $\eta$.

Доказать, что если случайные величины $\xi$ и $\eta$ припимают по два значения, то из равенства $\mathbb {E}\left[\xi \eta \right] = \mathbb {E}\left[\xi \right] \mathbb {E}\left[\eta \right]$ следует независимость $\xi$ и $\eta$.

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ — борелевские функции. Доказать, что

если паписанные математические ожидания существуют.

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — случайные величины, каждая из которых принимает не более чем счетное число значений. Доказать, что они независимы тогда и только тогда, когда для любых $x_{1}, \ldots , x_{n}$

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, не равные с вероятностью единица постояниым, причем $\mathbb {P}\left(\xi < \eta \right) = 1$. Могут ли $\xi$ и $\eta$ быть независимыми? Изменится ли ответ, если дополнительно нредположить, что для любого $a > 0 \quad \mathbb {P}\left(\xi > a\right) > 0$ ?