Случайные процессы

Пусть случайный процесс $\xi_{t}(\omega )$ задан на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {A}, P)$, где $\Omega = \left\{ 1,2\right\} , \mathscr {A}$ — множество всех подмножеств $\Omega$, а P приписывает вероятности $1 / 2$ множествам $\left\{ 1\right\}$ и $\left\{ 2\right\}$. Пусть множество значений параметра $t$ есть отрезок $[0,1]$ и $\xi_{t}(\omega ) = \omega t$. Найти:

Пусть случайный процесс $\xi_{t}(\omega )$ определен на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathscr {A}, P), \Omega = [0,1], \mathscr {A}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств, P — мера Лебега, $t \in [0,1]$ и

Найти:

Пусть $\eta$ — случайная величина с функцией распределения $F(x), t \in R$. Найти все конечномерные распределения случайного процесса $\xi_{t} = \eta +t$.

Пусть $\eta$ и $\zeta$ — независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией $1 / 2, t > 0$. Найти все конечномерные распределения случайного процесса $\xi_{t} = (\eta +\zeta ) / t$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, причем $\eta$ имеет симметричное относительно нуля распределение и $\mathbb {P}\left(\eta = 0\right) = 0$. Найти вероятность того, что реализации случайного процесса

возрастают.

Пусть $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$ — независимые случайные величины, имеющие одинаковое равномерное на отрезке $[-1,1]$ распределение, $t = \left(t_{1}, t_{2}\right) \in R^{2}$. Найти значения $a$, при которых почти все реализации случайной функции $t_{1}\left(\eta_{1}+t_{2}\left(\eta_{2}+2 a\right)\right)$. монотонно возрастают по $t_{1}$ при $t_{2} = a$.

Привести пример случайного процесса $\xi_{t}$, такого, что множество элементарных событий, которым отвечают непрерывные реализации процесса $\xi_{t}$, не является событием.

Доказать, что если случайный процесс $\xi_{t}, t \in R$, стохастически непрерывен на компактном множестве $A \subset R$, то он равномерно стохастически непрерывен на этом множестве.

Доказать, что если случайный процесс стохастически непрерывен на компактном множестве $A \subset R$, то на этом множестве он ограничен по вероятности.

Пусть $\xi_{t}$ — стохастически непрерывный процесс, а $g(x)$ непрерывная функция. Доказать, что процесс $g\left(\xi_{t}\right)$ также стохастически непрерывен.

Привести пример стохастически непрерывного на отрезке случайного процесса, все траектории которого разрывны.

Пусть $\xi_{t}, t \in [0,1]$, — случайный процесс, такой, что все $\xi_{t}$ независимы в совокупности и имеют одинаковое невырожденное распределение. Доказать, что этот процесс не является стохастически непрерывным ни в какой точке.

Пусть случайный процесс $\xi_{t}$ непрерывен в среднем порядка $p > 0$ на компактном множестве $A$. Доказать, что $\xi_{t}$ равномерно непрерывен в среднем порядка $p$ на множестве $A$.

Пусть случайный процесс $\xi_{t}$ непрерывен в среднем порядка $p > 0$ на компактном множестве $A$. Доказать, что существует такое положительное число $C < \infty$, что

Доказать, что для того, чтобы случайный процесс $\xi_{t}$ был стохастически непрерывным на множестве $T$, необходимо и достаточно, чтобы для любых $t_{0}, s_{0} \in T$

для всех $x_{1}, x_{2}$, для которых $\mathbb {P}\left(\xi_{t_{0}} < x_{1}, \xi_{s_{0}} < x_{2}\right)$ непрерывна.

Пусть $\xi_{t}, a \leqslant t \leqslant b$ — стохастически непрерывный процесс, $f(t)$ — неслучайная функция, определенная на $[a, b]$. Доказать, что случайный процесс $\eta_{t} = \xi_{t}+f(t)$ стохастически непрерывен в тех и только тех точках отрезка $[a, b]$, где непрерывна функция $f(t)$.

Пусть $\xi_{t}(\omega ), 0 \leqslant t \leqslant 1$, — измеримый случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, P$), а $\tau (\omega )$ — случайная величина, заданная на том же вероятностном пространстве, причем $\mathbb {P}\left(0 \leqslant \tau \leqslant 1\right) = 1$. Доказать, что $\xi_{\tau } = \xi_{\tau (\omega )}(\omega )$ — случайная величина.

Случайный процесс $\xi_{t},-\infty < t < \infty$, и случайная величина $\tau$ заданы на одном вероятностном пространстве. Всегда ли является случайной величиной функция $\xi_{\tau }$, если:

Пусть $\xi_{t}$ — стохастически непрерывный случайный процесс. Доказать, что для всякой непрерывной ограниченной функции $\varphi (x)$ функция $\mathbb {E}\left[\varphi \right]\left(\xi_{t}\right)$ непрерывна по $t$.

Привести пример случайного процесса $\xi_{t}, t \in [a, b]$, такого, что для любой непрерывной ограниченной функции $g(x)$ функция $\mathbb {E}\left[g\right]\left(\xi_{t}\right)$ непрерывна на $[a, b]$, но $\xi_{t}$ не является стохастически непрерывным.

Пусть $\xi_{t}$ — стохастически непрерывный случайный процесс, а $g(x)$ — непрерывная функция. Доказать, что если при некотором $\alpha > 1$

то функция $\mathbb {E}\left[g\right]\left(\xi_{t}\right)$ непрерывна по $t$.

Показать, что стохастически эквивалентные процессы имеют одинаковые конечномерные распределения.

Доказать, что процесс, стохастически эквивалентный стохастически непрерывному процессу, стохастически непрерывен.

Рассмотрим на вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, P$), представляющем собой отрезок [ 0,1 ] с $\sigma$-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, случайный процесс $\xi_{t}(\omega )$, определенный следующим образом:

Показать, что $\xi_{t}(\omega )$ стохастически непрерывен, но все его траектории разрывны в каждой точке.

Пусть $\xi_{t}$ — случайный процесс, определенный на вероятностном пространстве ($\Omega , \mathscr {A}, \mathbb {P}$). Доказать, что если $\Omega$ счетно и все одноточечные множества имеют положительную вероятность, то стохастическая непрерывность процесса $\xi_{t}$ эквивалентна непрерывности всех его траекторий.

Доказать, что если множество значений параметра $t$ случайного процесса $\xi_{t}$ счетно, то процесс измерим.

Пусть $\xi_{t}$ — случайный процесс, все траектории которого непрерывны, а множество значений параметра $t$ представляет собой отрезок прямой. Доказать, что $\xi_{t}$ измерим.

Доказать, что все траектории измеримого случайного процесса измеримы. Обязан ли случайный процесс быть измеримым, если все его траектории измеримы?

Пусть $\xi_{t}$, $a \leqslant t \leqslant b$, — случайный процесс. Доказать, что для его измеримости достаточно, чтобы все его траектории были непрерывны справа (или слева).

Пусть $\xi_{t}, a \leqslant t \leqslant b$,- стохастически непрерывный процесс. Доказать, что на $[a, b]$ существует измеримый процесс $\xi_{t}^{*}$, стохастически эквивалентный $\xi_{t}$.

Пусть $\xi_{t}$ — стохастически непрерывный на $[a, b]$ (за исключением не более чем счетного числа точек отрезка $[a, b]$) случайный процесс. Доказать, что на $[a, b]$ существует измеримый процесс $\xi_{t}^{*}$, стохастически эквивалентный $\xi_{t}$.

Пусть $\xi_{t}, t \in T$, — случайный процесс, $N = \left\{ t_{1}, \ldots , t_{n}, \ldots \right\}$ счетное всюду плотное в $T$ множество. Процесс называется $N$-сепарабельным, если для любого $t \in T$

Пусть $T = [a, b]$. Доказать, что если $\xi_{t}$ стохастически непрерывен на $[a, b]$, то для всякого счетного всюду плотного в $[a, b]$ множества $N$ существует процесс $\xi_{t}^{\prime }$, стохастически эквивалентный $\xi_{t}$ и $N$-сепарабельный.

Пусть все траектории пуассоновского процесса непрерывны справа. Доказать, что тогда почти все траектории — неубывающие целочисленные функции, возрастающие только скачками величины 1.

Доказать, что для того, чтобы случайный процесс $\xi_{t}$ был непрерывен в среднем квадратическом на множестве $T$, необходимо и достаточно, чтобы функция $L(t, s) = \mathbb {E}\left[\xi_{t} \bar{\xi }_{s}\right]$ была непрерывна на множестве $T \times T$ по совокупности аргументов.

Доказать, что для того, чтобы случайный процесс $\xi_{t}$ был непрерывно дифференцируем в среднем квадратическом на интервале $(a, b)$, необходимо и достаточно, чтобы функция $L(t, s) = \mathbb {E}\left[\xi_{t} \bar{\xi }_{s}\right]$, обладала на множестве $(a, b) \times (a, b)$ непрерывной смешанной производной второго порядка по $t$ и $s$.

Доказать, что пуассоновский процесс дифференцируем по вероятности, но не дифференцируем в смысле сходимости в среднем любого порядка $p \geqslant 1$.

Найти корреляционную функцию случайного процесса $\xi_{t} = \gamma_{1} f_{1}(t)+\ldots +\gamma_{n} f_{n}(t)$, где $f_{1}(t), \ldots , f_{n}(t)$ — неслучайные функции, а $\gamma_{1}, \ldots , \gamma_{n}$ — некоррелированные случайные величины с дисперсиями $d_{1}, \ldots , d_{n}$ соответственно.

Пусть $\xi_{t}, t \in T$,- случайный процесс с корреляционной функцией $K(t, s)$. Доказать, что $K(t, s)$ неотрицательно определена.

Пусть $\xi_{t}^{(1)}, \ldots , \xi_{t}^{(n)}$ — независимые случайные процессы, такие, что $\mathbb {E}\left[\xi_{t}^{(i)}\right] = 0, i = 1, \ldots , n ; K_{1}(t, s), \ldots , K_{n}(t, s)$ — соответствующие корреляционные функции. Найти корреляционную функцию процесса $\xi_{t}^{(1)}+\ldots +\xi_{t}^{(n)}$.

Доказать положительную определенность следующих функций:

Пусть $K(t, s), t, s \in T$,- корреляционная функция некоторого случайного процесса, $Q(z)$ — полином с положительными коэффициентами. Доказать, что функция $K_{1}(t, s) = Q(K(t, s))$ также является корреляционной функцией некоторого случайного процесса.

Найти спектральную плотность случайного процесса $\xi_{t}$, корреляционная функция которого равна $K(t) = c e^{-\alpha \left|t\right|}, c, \alpha > 0$, $t \in R$.

Пусть $\xi_{t}, t \in R$, — случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией $K(t, s) = e^{s t}$. Доказать, что он бесконечно дифференцируем в среднем квадратическом.

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием $m$ и дисперсией $\sigma^{2}, b$ вещественное число. Найти корреляционную функцию процесса

Пусть $A, \eta$ и $\varphi$ — случайные величины, $\varphi$ не зависит от $A$ и $\eta , A \geqslant 0, \eta \geqslant 0, \varphi$ равномерно распределена на отрезке $[0,2 \pi ]$. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию процесса

Пусть $\varphi_{1}(t), \ldots , \varphi_{n}(t)$ — произвольные вещественные функции, $c_{1}, \ldots , c_{n}$ — неотрицательные числа. Доказать, что функция

является корреляционной функцией некоторого случайного процесса.

Пусть $\xi_{t}^{(1)}$ и $\xi_{t}^{(2)}$ — два независимых случайных процесса с корреляционными функциями $K_{1}(t, s)$ и $K_{2}(t, s)$ соответственно. Найти корреляционную функцию процесса

Найти производящую функцию числа частиц в $n$-м поколении, если производящая функция непосредственных потомков одной частицы равна:

Найти вероятности вырождения для ветвящихся процессов с производящей функцией числа потомков одной частицы:

Найти распределение времени вырождения $T$ для ветвящихся процессов с производящей функцией числа потомков одной частицы:

Пусть $X_{0}, X_{1}, \ldots$ — ветвящийся процесс, $X_{0} = 1$. Доказать, что

Найти производящую функцию общего числа частиц в первых $n$ поколениях, если производящая функция числа потомков одной частицы равна $p z+1-p$.

Рассмотрим ветвящийся процесс $X_{0}, X_{1}, \ldots$ с производящей функцией

Найти $\lim_{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left( X_{n} = k \mid X_{n} > 0 \right)$.

Пусть в ветвящемся процессе $X_{0}, X_{1}, \ldots$ из задачи 10.53 $1-b-c = c(1-c)$. Найти $\lim_{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left( X_{n} \leqslant n x \mid X_{n} > 0 \right)$.

Пусть $X_{0}, X_{1}, \ldots$ — ветвящийся процесс, $X_{0} = 1, \mathbb {E}\left[X_{1}\right] = m$. Доказать, что

Пусть $X_{0}, X_{1}, \ldots$ — ветвящийся процесс, $X_{0} = 1, \varphi (z) = \mathbb {E}\left[z^{X_{1}}\right], \quad \varphi_{n}(z) = \mathbb {E}\left[z^{X_{n}}\right], \quad \varphi^{\prime }(1) > 1$. Обозначим через $Y_{n}$ число всех частиц в $n$-м поколении, имеющих бесконечное число поколений потомков. Доказать, что

где $q$ — вероятность вырождения.

Найти производящую функцию числа частиц в момент $t$ для ветвящегося процесса с непрерывным временем и производящей функцией инфинитезимальных параметров:

Найти вероятности вырождения ветвящихся процессов из задачи 10.57.

Пусть $X_{t}$ — ветвящийся процесс с производящей функцией инфинитезимальных параметров $f(z) = a_{2} z^{2}+a_{1} z-\left(a_{1}+a_{2}\right)$, где $a_{2} > 0, a_{1}+2 a_{2} < 0$. Доказать, что

Доказать, что для ветвящегося процесса $X_{t}$ с производящей функцией $f(z) = 3-5 z+z^{2}+z^{3}$

Пусть $X_{t}$ — ветвящийся процесс с производящей функцией $f(z) = z^{2}-z$. Доказать, что $X_{t} e^{-t}$ сходится при $t \rightarrow \infty$ в среднем квадратическом к случайной величине $\xi$, имеющей показательное распределение с параметром 1.

Пусть $X_{t}$ — ветвящийся процесс с производящей функцией $f(z) = z^{2}-2 z+1$. Доказать, что

Доказать, что следующие определения марковского процесса $\xi_{t}$ эквивалентны:

1. для любого $t$ и любых $A \in \mathscr {F}_{ < t}, B \in \mathscr {F}_{ > t}$

   $$\mathbb {P}\left( A B \mid \mathscr {F}_{ = t} \right) = \mathbb {P}\left( A \mid \mathscr {F}_{ = t} \right) \mathbb {P}\left( B \mid \mathscr {F}_{ = t} \right) \text{ п. н.; }$$

2. для любого $t$ и любого $B \in \mathscr {F}_{ > t}$:

   $$\mathbb {P}\left( B \mid \mathscr {F}_{ < t} \right) = \mathbb {P}\left( B \mid \mathscr {F}_{ = t} \right) \text{ п. в.; }$$

3. для любого $t$ и любого $A \in \mathscr {F}_{ < t}$

   $$\mathbb {P}\left( A \mid \mathscr {F}_{ > t} \right) = \mathbb {P}\left( A \mid \mathscr {F}_{ = t} \right) \text{ п. н. }$$

Докажите, что случайный процесс $\xi_{t}, t \in T$, со значениями в фазовом пространстве ($X, \mathscr {B}$) является марковским, тогда и только тогда, когда для любых $s_{1} \leqslant s_{2} \leqslant \ldots \leqslant s_{m} \leqslant t \leqslant t_{1} \leqslant \ldots \leqslant t_{n}$, $s_{i}, t, t_{j} \in T$, и любых $A_{1}, \ldots , A_{m}, B_{1}, \ldots , B_{n} \in \mathscr {B}$

Для того чтобы случайный процесс $\xi_{t}, t \in T$, со значениями в фазовом пространстве $(X, \mathscr {B})$ был марковским, необходимо и достаточно, чтобы для любых $s_{1} \leqslant s_{2} \leqslant \ldots \leqslant s_{m} \leqslant t \leqslant t_{1} \leqslant \ldots \leqslant t_{n}$, $s_{i}, t, t_{j} \in T$, и любых ограниченных $\mathscr {B}$-измеримых функций $f_{1}, \ldots , f_{m}, g_{1}, \ldots , g_{n}$ $\mathbb {E}\left[ \prod_{i = 1}^{m} f_{i}\left(\xi_{s_{i}}\right) \prod_{j = 1}^{n} g_{j}\left(\xi_{t_{j}}\right) \mid \xi_{t} \right] =\mathbb {E}\left[ \prod_{i = 1}^{m} f_{i}\left(\xi_{s_{i}}\right) \mid \xi_{t} \right] \mathbb {E}\left[ \prod_{j = 1}^{n} g_{j}\left(\xi_{t_{j}}\right) \mid \xi_{t} \right]$ п. н.

Пусть $\xi_{t}, t \geqslant 0$, — марковский процесс. Доказать, что $\xi_{n}$, $n = 0,1, \ldots$ — марковский процесс с дискретным временем.

Пусть $\xi_{t}, t \geqslant 0$, — марковский процесс. Будет ли последовательность

где $[x]$ — целая часть $x$, цепью Маркова?

Пусть $\left\{ \xi_{n}\right\}$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковую плотность распределения $p(x)$, $p(x) > 0,-\infty < x < \infty$. Будет ли последовательность $\left\{ \eta_{n}\right\}$ марковской, если:

Пусть $\left\{ \xi_{n}\right\}$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковую плотность распределения $p(x)$, $p(x) > 0,-\infty < x < \infty$. Положим

Будет ли процесс $S_{t}$ марковским?

Пусть $\xi_{t}, t \geqslant 0$,- однородный марковский процесс со счетным числом состояний $(0,1, \ldots )$. Доказать, что если переходные функции $P_{i j}(t)$ непрерывны при $t = 0$, то они равномерно непрерывны при $t \geqslant 0$.

Пусть $\xi_{t}$ и $\eta_{t}, t \geqslant 0$,- два однородных марковских процесса со счетным числом состояний, $P_{i j}(t)$ и $Q_{i j}(t)$ — соответствующие переходные функции. Доказать, что если для некоторого $t_{0} > 0$ и всех $i$ и $j P_{i j}(t) = Q_{i j}(t)$ при $0 \leqslant t \leqslant t_{0}$, то $P_{i j}(t) = Q_{i j}(t)$ при всех $t \geqslant 0$.

Пусть $\xi_{t}, t \geqslant 0$,- однородный марковский процесс с конечным числом состояний $\left\{ 0,1, \ldots , N\right\}$ и переходными функциями $P_{i j}(t)$. Доказать, что определитель матрицы $P(t)$ с элементами $P_{i j}(t), 0 \leqslant i, j \leqslant N$, положителен для всех $t > 0$.

Пусть $\xi_{t}, t \geqslant 0$, — однородный марковский процесс с конечным числом состояний $\left\{ 0,1, \ldots , N\right\}$ и переходными функциями $P_{i j}(t)$. Предположим, что $P_{i j}(t)$ непрерывны при всех $t \geqslant 0$. Доказать, что существуют конечные пределы

причем $\sum_{j \neq i} a_{i j} = -a_{i i}$.

Привести пример однородного марковского процесса со счетным числом состояний, для которого существуют конечные пределы

но $\sum_{j \neq i} a_{i j} \neq -a_{i i}$.

Доказать, что любая однородная цепь Маркова является строго марковской относительно семейства $\sigma$-алгебр $\mathscr {F} \leqslant n$, $n = 0,1, \ldots$.

Привести пример марковского, но не строго марковского семейства.

Пусть $\xi_{t}, t \geqslant 0$, — марковский случайный процесс со счетным множеством состояний $\left\{ 0,1, \ldots \right\}$. Предположим, что в момент $t = 0$ процесс находится в состоянии $i$. Найти функцию распределения времени до первого изменения состояния процесса.

Найти все инвариантные меры, соответствующие матрице вероятностей перехода

Привести пример марковского семейства с двумя не пропорциональными друг другу конечными инвариантными мерами.

Показать, что не существует марковского процесса $\xi_{t}$, $t \geqslant 0, \xi_{0} = 0$, с двумя состояниями $\left\{ 0,1\right\}$ и непрерывными почти наверное траекториями, переходные вероятности которого равны $P_{00}(t) = e^{-t}, P_{01}(t) = 1-e^{-t}, P_{11}(t) = 1$,

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые неотрицательные случайные величины

Доказать, что

в частности, для любого $t \geqslant 0$

(Свойство отсутствия памяти у показательного распределения.)

Доказать, что случайный поток является пуассоновским с интенсивностью $\lambda$ тогда и только тогда, когда он является рекуррентным потоком с $A(t) = 1-e^{-\lambda t}, t \geqslant 0$.

Доказать, что случайный поток $v_{t}$, полученный в результате наложения $k$ независимых пуассоновских потоков $v_{t}^{(1)}, \ldots , v_{t}^{(k)}$ с интенсивностями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}$, является пуассоновским с интенсивностью $\lambda = \lambda_{1}+\ldots +\lambda_{k}$.

Пусть задан пуассоновский поток с интенсивностью $\lambda$. Каждое требование этого потока с вероятностью $p_{i}, i = 1, \ldots , k$, $\sum_{i = 1}^{k} p_{i} = 1$, отнесем к $k$-му подпотоку независимо от остальных требований. Доказать, что $i$-й подпоток является пуассоновским с интенсивностью $\lambda p_{i}$.

Пусть пуассоновский поток с интенсивностью $\lambda$ подвергается следующей операции просеивания: первые $k$ требований теряются, ($k+1$)-е — остается, затем снова $k$ теряются, следующее остается и т. д. Доказать, что просеянный поток (он называется потоком Эрланга порядка $k$) является рекуррентным потоком, определяемым функцией распределения

Обозначим через $v_{t}$ случайное число требований пуассоновского потока, поступивших в интервале $[0, t)$. Доказать, что при $t \leqslant T, k \leqslant n$

Доказать, что если известно, что на отрезке $[0, T], T > 0$, поступило $N$ требований пуассоновского потока, то поток требований на этом отрезке является потоком Бернулли.

Пусть задан рекуррентный поток требований, определяемый функцией распределения $A(t)$. Каждое требование независимо от остальных либо с вероятностью $p$ выбрасываем из потока, либо с вероятностью 1 — р оставляем. Показать, что поток оставленных требований является рекуррентным потоком, определяемым функцией распределения $B(t)$, где

а преобразование Лапласа функции $P(z, t)$ равно

Доказать, что для любого стационарного потока существует

где $P_{0}(t)$ — вероятность того, что за время $t$ не поступит ни одного требования. Число $\mu$ (конечное или бесконечное) называется параметром стационарного потока.

Пусть $\mu$ — параметр, а $\lambda$ — интенсивность (т. е. среднее число требований, поступивших в единицу времени) стационарного потока. Доказать, что если параметр является конечным положительным числом, то поток ординарен $\iff \lambda = \mu$.